Divulgación Consulta sobre herramientas matemáticas de mecánica cuántica, (producto escalar)

[inakigarber]

Buenas noches;
Estoy repasando un capítulo del Cohen relativo a las herramientas matemáticas de la mecánica cuántica y me he encontrado con algo que no he debido entenderlo muy bien.
$(\varphi,\psi)=(\psi,\varphi)*$
$(\varphi,\lambda_1\psi_1+\lambda_2\psi_2)=\lambda_1(\varphi,\psi_1)+\lambda_2(\varphi,\psi_2)$
$(\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2,\psi)=\lambda_1*(\varphi_1,\psi)+\lambda_2*(\varphi_2,\psi)$

Me doy cuenta repasándolo que no he entendido la demostración de estas ecuaciones y el significado de los asteriscos que aparecen en la primera y última ecuación, asi como el valor de las variables $\lambda_1$ y $\lambda_2$, ¿son números reales o complejos?

Lo que sí he entendido es el párrafo siguiente en el que dice (traducción mia, el original está en Ingles) Si $If(\varphi,\psi)=0,\ \varphi_(r)\ \ y\ \psi_(r)$, son perpendiculares.

¿Como podría entender el conjunto de ecuaciones arriba expuesto?

Saludos y gracias,

[sater]

Re: Consulta sobre herramientas matemáticas de ma mecánica cuántica, (producto escalar)

Buenas Inakigarber.

Lo que estas poniendo entiendo que es el producto escalar entre dos vectores $\varphi,\psi$. Como estos vectores pertenecen a un espacio vectorial complejo, su producto escalar tiene algunas propiedades curiosas. Quitando la segunda que listas (que ocurre igual con los vectores de toda la vida), tenemos que:

- El producto escalar es un número. Cuando los vectores son reales, el número es real, luego no importa hacer $\vec u \cdot \vec v$ que $\vec v \cdot \vec u$ (se dice que el producto es conmutativo). Ahora el resultado es un número complejo, y resulta que el orden importa. Si multiplicar en cierto orden nos da un número complejo, multiplicar en el orden contrario resulta su conjugado (de ahí el asterisco) (se dice que el producto es hermítico, esto tiene su explicación técnica pero creo que no interesa en este nivel).

- En la tercera, resulta que cuando se quiere aplicar la propiedad distributiva y es en el primer vector donde tenemos una combinación lineal de vectores, los coeficientes de la combinación (que pueden ser números complejos) "salen" del producto como los conjugados complejos. Esta se deriva de la anterior realmente y de la distributiva.

- La última que citas es la definición usual de vectores perpendiculares: aquellos cuyo producto escalar es nulo.

[arivasm]

Re: Consulta sobre herramientas matemáticas de ma mecánica cuántica, (producto escalar)

Aunque la pregunta de Iñaki es de tipo matemático, me parece interesante destacar el trasfondo para la mecánica cuántica.

El corazón de la cuestión es que la función de onda que describe un estado cuántico se puede expresar como combinación lineal de una base de funciones de onda. Es decir, se trata de un vector (formado por números complejos, de ahí que aparezcan los conjugados, como ha señalado sater).

Por poner un ejemplo sencillito, de esos que nos enseñan en secundaria, aunque pasando de puntillas por encima de sus detalles, una base posible para los estados cuánticos del átomo de hidrógeno son los conocidos orbitales, 1s, 2s, 2px, 2py, 2pz, 3s, etc. (obsérvese que son infinitos, por lo que se trata de un espacio vectorial de dimensión infinita). Por ejemplo, un posible estado del átomo de hidrógeno es el $|a>=(1,1,0,0,0,0,0...)$ [aunque usualmente preferiremos multiplicarlo por $1/\sqrt{2}$ para que sea normalizado y el producto escalar por si mismo $<a|a>$ valga 1]. Fíjate que lo que acabo de escribir es que la función de onda del sistema en ese estado sería $\Psi_a=\Psi_{1s}+\Psi_{2s}$.

Por supuesto, el producto escalar tiene una definición previa importante: $<a|b>=\int \Psi_a^*\Psi_b\dd V$, donde la integral se extiende a todo el espacio de coordenadas que representen el sistema (en el ejemplo del átomo de hidrógeno, el espacio tridimensional ordinario).

El interés de adoptar este punto de vista es que de algún modo nos libramos de la complejidad de las funciones de onda y podemos pensar en exactamente los mismos términos que los vectores de toda la vida. Así, por ejemplo, podemos ver fácilmente que el estado $|b>=(1,-1,0,0,0...)$ es perpendicular al $|a>$, es decir, que $<a|b>=0$. Y esto tiene un significado muy preciso: del mismo modo que el que dos vectores de toda la vida sean perpendiculares implica que la proyección de uno sobre el otro es nula, en este caso tras el colapso de la función de onda que se produce al medir un átomo de hidrógeno que esté en el estado $|a>$ la probabilidad de que lo haga al estado $|b>$ es nula. Y como ves, no hemos tenido que hacer ningún cálculo complicado.

De todos modos, seguro que aquí habrá gente con más capacidad que yo para aclararte estas ideas, e incluso para corregir los errores que yo haya podido cometer en esta exposición.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre herramientas matemáticas de ma mecánica cuántica, (producto escalar)

Gracias por vuestras respuestas, creo que estoy bastante despistado.

Buenas Inakigarber.
….- El producto escalar es un número. Cuando los vectores son reales, el número es real, luego no importa hacer $\vec u \cdot \vec v$ que $\vec v \cdot \vec u$ (se dice que el producto es conmutativo). Ahora el resultado es un número complejo, y resulta que el orden importa. Si multiplicar en cierto orden nos da un número complejo, multiplicar en el orden contrario resulta su conjugado (de ahí el asterisco) (se dice que el producto es hermítico, esto tiene su explicación técnica pero creo que no interesa en este nivel).....

No se si lo que he hecho es correcto, he imáginado $\varphi$ y $\psi$ como dos vectores de la forma $\varphi=a+ib$ y $\psi=c-id$, el producto $(\varphi,\psi)=(a+ib)\cdot(c-id)=ac-bd$, la suma de ese producto escalar me devuelve un escalar de valor $ac-bd$. Siempre habia imaginado que el producto escalar me devolvería un número real, pero ahora al leer tu párrafo me sale la pregunta ¿podría un producto escalar de dos vectores devolvernos un valor imaginario?

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Aunque la pregunta de Iñaki es de tipo matemático, me parece interesante destacar el trasfondo para la mecánica cuántica.

El corazón de la cuestión es que la función de onda que describe un estado cuántico se puede expresar como combinación lineal de una base de funciones de onda. Es decir, se trata de un vector (formado por números complejos, de ahí que aparezcan los conjugados, como ha señalado sater)...

De manera que los coeficientes $\lambda_1$ y $\lambda_2$ son números complejos ¿no?

- - - Actualizado - - -

Buenas Inakigarber.

...- En la tercera, resulta que cuando se quiere aplicar la propiedad distributiva y es en el primer vector donde tenemos una combinación lineal de vectores, los coeficientes de la combinación (que pueden ser números complejos) "salen" del producto como los conjugados complejos. Esta se deriva de la anterior realmente y de la distributiva.
....

Luego, los coeficientes $\lambda_1$ y [FONT=Verdana]$\lambda_2$[/FONT][FONT=Verdana], si son números complejos, o pueden serlos, este parrafo se me habia escapado.[/FONT]

[sater]

Re: Consulta sobre herramientas matemáticas de ma mecánica cuántica, (producto escalar)

Gracias por vuestras respuestas, creo que estoy bastante despistado.


No se si lo que he hecho es correcto, he imáginado $\varphi$ y $\psi$ como dos vectores de la forma $\varphi=a+ib$ y $\psi=c-id$, el producto $(\varphi,\psi)=(a+ib)\cdot(c-id)=ac-bd$, la suma de ese producto escalar me devuelve un escalar de valor $ac-bd$. Siempre habia imaginado que el producto escalar me devolvería un número real, pero ahora al leer tu párrafo me sale la pregunta ¿podría un producto escalar de dos vectores devolvernos un valor imaginario?

Lo que te has imaginado no son vectores, sino números complejos a secas. En mecánica cuántica, usamos vectores donde cada componente puede ser un número complejo,

$\phi=(a_1,a_2,\ldots,a_n),\quad a_i\in \mathbb{C}$

y los coeficientes con los que hacemos combinaciones lineales de vectores también son números complejos (realmente las componentes de un vector también son coeficientes con los que se ha hecho una combinación lineal, pues expresan el vector en términos de vectores de una base dada). Fíjate que me estoy restringiendo a imaginar los vectores como columnas (o filas) de números, pero la definición de vector es más general (y en mecánica cuántica se hace uso de ello, por ejemplo las funciones de onda pertenecen a un espacio vectorial, etc).

[inakigarber]

Re: Consulta sobre herramientas matemáticas de ma mecánica cuántica, (producto escalar)

Lo que te has imaginado no son vectores, sino números complejos a secas. En mecánica cuántica, usamos vectores donde cada componente puede ser un número complejo....

Bien, esto me lleva a una generalización más amplia, asi como los números reales (y los imaginarios), son un caso particular de otro más amplio (los números complejos), ya los anteriores serían casos particulares de los números complejos en los que o bien la parte imaginaria o bien la real, una de ellas vale cero. Parece podríamos hacer la misma generalización con los vectores entre unos vectores "reales" del tipo $\vec{v}=a+ib$ en los que los coeficientes a y b son números reales y otros "complejos" del tipo $\vec{V}=A+ib$ en los que los coeficientes A y B son números complejos (el entrecomillado es mío y no se si muy acertado). Ahora bien, la cuestión es como se opera con este segundo tipo de vectores.

En el caso de los vectores "reales" existen tres casos distintos, al menos que yo sepa;
1-) producto de un vector por un escalar.


$\vec{v}=\lambda \begin{pmatrix}a \\b\end{pmatrix}$
donde $\lambda$, a y b son números reales.
En este caso el producto es conmutativo y nos devuelve un vector de la misma dirección del vector origen y de módulo del producto de multiplicar el módulo del vector por el escalar. Vale cero cuando uno de los dos es nulo.

2-) producto escalar de dos vectores.(producto punto)

$\vec{v_1}=\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}$
$\vec{v_2}=\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$
$(\vec{v_1}\vec{v_2})=(ab)+(cd)$
Este producto nos devuelve un escalar y también es conmutativo (este es el caso que nos atañe) y a,b,c y d son números reales. Vale cero cuando uno de los dos es nulo o ambos son perpendiculares.

3-) producto vectorial de dos vectores. (producto cruz)
$\vec{v_1}\times \vec{v_2}$

Este producto nos devuelve un vector perpendicular a ambos vectores y no es conmutativo, ya que;
$\vec{v_1}\times \vec{v_2}=-\vec{v_2}\times \vec{v_1}$.
Vale cero cuando uno de los dos vectores en nulo o ambos son paralelos o antiparalelos.

Hasta aquí, creo que todo esta bien, pero no tengo claro el como se opera con ellos cuando los coeficientes $\lambda$, a y b pasan de ser números reales a ser complejos. Por ejemplo si se dieran los valores $\lambda=5+3i$, $a=2-i$ y $b=-1+1i$ (valores elegidos al azar), donde $\lambda$ es el escalar del producto escalar y a y b los componentes del vector "complejo", ¿Cómo debería operar para obtener los tres productos arriba mencionados?

Saludos y gracias.

[arivasm]

Re: Consulta sobre herramientas matemáticas de ma mecánica cuántica, (producto escalar)

3-) producto vectorial de dos vectores. (producto cruz)
$\vec{v_1}\times \vec{v_2}$

Este producto nos devuelve un vector perpendicular a ambos vectores y no es conmutativo, ya que;
$\vec{v_1}\times \vec{v_2}=-\vec{v_2}\times \vec{v_1}$.
Vale cero cuando uno de los dos vectores en nulo o ambos son paralelos o antiparalelos.

Ojo, porque no es una operación aplicable en cualquier espacio vectorial, pues tan solo está definida en los de dimensión 3. No existe el producto vectorial en dimensiones superiores (aunque es posible definir operaciones semejantes, pero implicando n-1 vectores, siendo n la dimensión del espacio).

no tengo claro el como se opera con ellos cuando los coeficientes $\lambda$, a y b pasan de ser números reales a ser complejos. Por ejemplo si se dieran los valores $\lambda=5+3i$, $a=2-i$ y $b=-1+1i$ (valores elegidos al azar), donde $\lambda$ es el escalar del producto escalar y a y b los componentes del vector "complejo", ¿Cómo debería operar para obtener los tres productos arriba mencionados?

Saludos y gracias.

Exactamente igual, por ejemplo

$\lambda \vec a=(5+3i)\begin{pmatrix} 2-i \\ -1+i \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (5+3i)(2-i) \\ (5+3i)(-1+i) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 13+i \\ -8+2i \end{pmatrix}$

Con respecto al producto escalar también es igual. Por ejemplo
$(1+i,2+i)\cdot\begin{pmatrix} 2-i \\ -1+2i \end{pmatrix} =(1+i)(2-i)+(2+i)(-1+2i)=3+i-4+3i = -1+4i$

Es posible que haya errado algún número, pues he hecho las operaciones de cabeza, pero espero que se entienda la idea.

Edito: Añadido como consecuencia de lo que se cuenta más adelante

El último ejemplo es el producto $<u|v>$ con $|u>\begin{pmatrix} 1-i \\ 2-2i \end{pmatrix}$ y $|v>=\begin{pmatrix} 2-i \\ -1+2i \end{pmatrix}$.

[Weip]

Re: Consulta sobre herramientas matemáticas de ma mecánica cuántica, (producto escalar)

$\vec{V}=A+ib$ en los que los coeficientes A y B son números complejos (el entrecomillado es mío y no se si muy acertado). Ahora bien, la cuestión es como se opera con este segundo tipo de vectores.

Fíjate que si $A=a+bi$ y $B=c+di$ son números complejos entonces:

$A+Bi=a+bi+(c+di)i=a+bi+ci-d=(a-d)+(b+c)i$

Es decir, $A+Bi$ no es ningún número nuevo: Es un complejo normal y corriente. Si quieres generalizaciones de los números complejos de verdad entonces te puede interesar leer sobre los cuaterniones y los octoniones (o números hipercomplejos en general). Son parecidos a los complejos pero con más unidades imaginarias. Lo importante acerca de ellos es que contra más generalizaciones se hacen más propiedades pierden las operaciones. Por ejemplo en los octoniones la multiplicación no es conmutativa, y ni siquiera es asociativa.

Sobre el producto vectorial en dimensiones superiores que ha comentado arivasm quizás te pueden interesar los siguientes links:

https://arxiv.org/pdf/1212.3515v7.pdf
https://forum.lawebdefisica.com/thre...ucto+vectorial
https://forum.lawebdefisica.com/thre...ucto-vectorial

Aunque bueno esto te aleja mucho del propósito inicial. Para Mecánica Cuántica realmente pensar en los vectores como lista de números no ayuda demasiado al principio, tómatelo como funciones que tienen definido un producto escalar a través de la integral que te escribió arivasm, lo demás ya lo irás viendo.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre herramientas matemáticas de ma mecánica cuántica, (producto escalar)

Gracias por vuestras respuestas;
Vamos a ver si entiendo las cosas con claridad, reproduzco de nuevo las tres ecuaciones que puse al principio.

$$(\varphi,\psi)=(\psi,\varphi)*$$

$$(\varphi,\lambda_1\psi_1+\lambda_2\psi_2)=\lambda_1(\varphi,\psi_1)+\lambda_2(\varphi,\psi_2)$$

$$(\varphi,\lambda_1\psi_1+\lambda_2\psi_2)=\lambda_1(\varphi,\psi_1)+\lambda_2(\varphi,\psi_2)(\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2,\psi)=\lambda_1*(\varphi_1,\psi)+\lambda_2*(\varphi_2,\psi)$$

Voy a tratar de resolverlo con los ejemplos que he puesto anteriormente.
He empezado por la ecuación (1), pero debo estar equivocándome en algo. Para facilitar las cosas (al menos eso me ha parecido a mi), he preferido expresar los vectores en función de números complejos y no de funciones. Por poner valores he definido;
$\varphi=\begin{pmatrix}2-i\\-1+i\end{pmatrix}$ y $\psi=\begin{pmatrix}5+i\\1+i\end{pmatrix}$
$(\varphi,\psi)=\begin{pmatrix}2-i\\-1+i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5+i\\1+i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11-3i\\-2+0i\end{pmatrix}=9-3i$
pero cuando hago el producto inverso y hallo su conjugado, me sale $(\psi,\varphi)*=9+3i$

[Weip]

Re: Consulta sobre herramientas matemáticas de ma mecánica cuántica, (producto escalar)

Sale mal porque esa no es la forma de calcular un producto escalar complejo. Tienes:

$(\varphi, \psi)=\varphi^{\dagger}\psi=...=9+5i$

$(\psi, \varphi)=\psi^{\dagger}\phi=...=9-5i$

Así pues $(\varphi, \psi)=(\psi, \varphi)^*$. Recuerdo que $\varphi^{\dagger}$ significa hacer el vector traspuesto y luego el conjugado. Las otras dos propiedades también se cumplen, cuestión de sustituir en un lado y calcular hasta llegar al otro miembro de la igualdad.

[inakigarber]

Re: Consulta sobre herramientas matemáticas de ma mecánica cuántica, (producto escalar)

Buenas tardes;

Cuando puse en mi post anterior

[FONT=Verdana]$(\varphi,\psi)=\begin{pmatrix}2-i\\-1+i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5+i\\1+i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11-3i\\-2+0i\end{pmatrix}=9-3i$, me [/FONT]

equivoque. Debiera de haber puesto (como sí lo hizo Arisvam en el post #7);

[FONT=Verdana]$(\varphi,\psi)=\begin{pmatrix}2-i &-1+i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5+i\\1+i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11-3i\\-2+0i\end{pmatrix}=9-3i$, el resultado es el mismo que me salía. Se trata de multiplicar el primer elemento de la matriz fila por el primero de la matriz columna (de izquierda a derecha y de arriba a abajo respectivamente) mas el producto de sumar los segundos elementos. el resultado que me da es el mismo que puse. Pero cuando hago el producto inverso;

[FONT=Verdana]$(\psi,\varphi)=\begin{pmatrix}5+i &1+i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2-i\\-1+i\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}11-3i\\-2+0i\end{pmatrix}=9-3i$, me da el mismo resultado y no $9+3i$ que es el que debiera darme para cumplir la condición $(\psi,\varphi)*=(\varphi,\psi)$, con lo que o bien estoy equivocándome de nuevo o he escogido un ejemplo que no me sirve.

Saludos y gracias.[/FONT]

[/FONT]

[Weip]

Re: Consulta sobre herramientas matemáticas de ma mecánica cuántica, (producto escalar)

[FONT=Verdana]Se trata de multiplicar el primer elemento de la matriz fila por el primero de la matriz columna (de izquierda a derecha y de arriba a abajo respectivamente) mas el producto de sumar los segundos elementos.
[/FONT]

Ciertamente la notación que usaste es incorrecta y lo sigue estando en tu nuevo mensaje, pero los cálculos expreses como los expreses los has repetido otra vez y como consecuencia siguen estando mal. Como he dicho en mi comentario anterior, el producto escalar está definido de la siguiente manera:

$(\varphi, \psi)=\varphi^{\dagger}\phi$

Es decir, lo que te falta en tus cálculos es conjugar el primer vector. Debería ser:

$(\varphi,\psi)=\begin{pmatrix}2+i &-1-i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5+i\\1+i\end{pmatrix}=(2+i)(5+i)+(-1-i)(1+i)=9+5i$

$(\psi,\varphi)=\begin{pmatrix}5-i &1-i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2-i\\-1+i\end{pmatrix}=(5-i)(2-i)+(1+i)(-1+i)=9-5i$

Fíjate en la notación pues ésta es la forma correcta de escribirlo.

[arivasm]

Re: Consulta sobre herramientas matemáticas de ma mecánica cuántica, (producto escalar)

Con respecto al producto escalar también es igual. Por ejemplo
$(1+i,2+i)\cdot\begin{pmatrix} 2-i \\ -1+2i \end{pmatrix} =(1+i)(2-i)+(2+i)(-1+2i)=3+i-4+3i = -1+4i$

pero cuando hago el producto inverso y hallo su conjugado, me sale $(\psi,\varphi)*=9+3i$

De algún modo culpa mía, pues en mi explicación se notó "el óxido" que tengo al respecto. Como bien dice Weip

Es decir, lo que te falta en tus cálculos es conjugar el primer vector.

De manera que el ejemplo que puse era para el producto escalar $<u|v>$ con $|u>=\begin{pmatrix} 1-i \\ 2-2i \end{pmatrix}$ y $|v>=\begin{pmatrix} 2-i \\ -1+2i \end{pmatrix}$.

Editaré mi mensaje para no confundir a quien lo lea (no vaya a ser que no siga leyendo el hilo).

[inakigarber]

Re: Consulta sobre herramientas matemáticas de ma mecánica cuántica, (producto escalar)

Bueno, ahora creo que ya me ha quedado claro. Se trata de aplicar el transpuesto del conjugado del primer operador (empezando por la izquierda), asi si que es cierto que sale. Ahora trataré de entender los siguientas pasos.

- - - Actualizado - - -

De algún modo culpa mía, pues en mi explicación se notó "el óxido" que tengo al respecto. Como bien dice Weip....

Tranquilo, no creo que un poco de "oxido" empañe tus brillantes aportaciones a este foro.

[Weip]

Re: Consulta sobre herramientas matemáticas de ma mecánica cuántica, (producto escalar)

Se trata de aplicar el transpuesto del conjugado del primer operador (empezando por la izquierda), asi si que es cierto que sale.

Cuidado que no es un operador, es un vector. La notación te dice que objeto es: Para los operadores se usan letras mayúsculas $A$ o con gorrito $\hat{A}$ y para los vectores se suelen usar $\varphi$, $\psi$.