Otras carreras Leyes de Kepler,aplicación teorema del cambio de variable y formas diferenciales en R^n

[Elias]

Hola por favor si me pueden ayudar

Leyes de Kepler
1ra Todos los planetas se desplazan alrededor del Sol describiendo órbitas elípticas, estando el Sol situado en uno de los focos.
2da El radio vector que une un planeta y el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales.
Sea $\overrightarrow{r}(t)$ el vector posición de un planeta dado tomando como origen el sol ubicado en el foco de la elipse según la primera ley de kepler. Usando el teorema de cambio de variable muestre que el área barrida A(t) viene dada por la tercera componente de la expresión:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Cocluya de la segunda ley de Kepler que $\displaystyle\frac{dA(t)}{dt}=k$ donde k es constante

[Arri]

Re: Leyes de Kepler,aplicación teorema del cambio de variable y formas diferenciales en R^n

Yo puedo demostrarte la 2ª Ley de Kepler, pero no sé si te servirá tal y como te lo preguntan. En fin, allá va:

La fuerza que hace girar a un planeta alrededor del sol es central, por lo que ${\vec M} = 0$ y, según la conservación del momento angular, ${\vec L = cte}$. Ahora desarrollaremos la expresión del módulo del momento angular:

$L = rmv sen 90 = rmv = rm \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = rmr \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} = mr^2 \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}$

Ahora, ayudándonos de este dibujo (el cual he buscado en google y por eso no tiene las indicaciones suficientes) encontraremos una expresión para el área.

Tomamos, por ejemplo, el área entre $P_3$ y $P_4$, a la que llamaremos [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Llamamos a la distancia entre dichos puntos [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y al radio $r$.

Al tratarse de cálculo infinitesimal, consideramos [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] como recta, al ser una distancia muy corta. de esta manera, podemos expresar [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] como si fuera el área de un triángulo cuya altura es $r$, ya que, como digo, tratamos con cálculo infinitesimal y, en estas medidas tan reducidas, podemos considerar el lado del triángulo como su altura. Con este razonamiento hallamos la expresión:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

$r^2\mathrm{d}\phi = 2 \mathrm{d}A$

Volviendo a la expresión anterior

$L = mr^2 \frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t} = m2\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}$

$\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = \frac{L}{2m}$

Siendo $L = cte$ y $m = cte$ entonces tenemos que

$\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = cte$

[angel relativamente]

Re: Leyes de Kepler,aplicación teorema del cambio de variable y formas diferenciales en R^n

Tenemos en el foro un blog de demostraciones, donde están demostradas las 3 leyes de Kepler. Te dejo el enlace de la 2º
http://forum.lawebdefisica.com/entri...-ley-de-Kepler

A ver si sacas algo en claro.
Suerte!

[Elias]

Re: Leyes de Kepler,aplicación teorema del cambio de variable y formas diferenciales en R^n

Gracias igual coloque la parte completa del ejercicio si me pueden ayudar se los agradezco

Saludos

[pod]

Re: Leyes de Kepler,aplicación teorema del cambio de variable y formas diferenciales en R^n

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