regulador centrifugo

[_RenE_]

por favor espero que me ayuden con este problema que la verdad no se como abordarlo, dice asi:

La figura muestra el regulador centrifugo de una maquina de vapor. Dos bolas, cada una de masa m están adjuntadas por medio de cuatro brazos articulados, cada una de longitud L, a las mangas que se localizan sobre una varilla vertical. La manga superior esta abrochada a la varilla, la manga inferior tiene una masa M y un momento de inercia despreciable, y se desliza libremente hacia arriba o hacia abajo por la varilla, en la medida que las bolas se alejan de la varilla o se acercan hacia ella. El sistema bolas-varilla rota con velocidad angular constante w. a) Determine la ecuación de movimiento, despreciando el peso de los brazos y de la varilla. Analice el movimiento por el método de la energía. b) Calcular el valor de la altura z de la manga inferior, por encima de su punto mas bajo, como una función de w para una rotación estacionaria de las bolas, y encuentre la frecuencia de las oscilaciones pequeñas de z alrededor de este valor fijo.


si alguien sabe como desarrollarlo se lo agradecere mucho
salu2

[[Beto]]

Re: regulador centrifugo

[FONT=Comic Sans MS]Hola, para resolver este problema tienes que tener en cuenta que "durante el movimiento de un sistema con ligaduras ideales, en cada instante la suma de los trabajos elementales de todas las fuerzas activas aplicadas y de las fuerzas de inercia, en cualquier desplazamiento virtual, será igual a cero". Ten en cuenta la siguiente figura:[/FONT]

[FONT=Comic Sans MS]Entonces del diagrama que se muestra se tiene que:[/FONT]

$2mg\delta x_1+2f\delta y_1+Mg\delta x_2=0$ .... (1)

[FONT=Comic Sans MS]Donde $f=mg\omega^2 l\sin\theta$ representa la fuerza de inercia.
[/FONT]
[FONT=Comic Sans MS]Además se puede observar de la figura que:
[/FONT]

$x_1=l\cos\theta$; $y_1=l\sin\theta$; $x_2=2l\cos\theta$

[FONT=Comic Sans MS]Diferenciando estas expresiones se tiene que:[/FONT]

$\delta x_1=-l\sin\theta\delta\theta$; $\delta y_1=l\cos\theta\delta\theta$; $\delta x_2=-2l\sin\theta\delta\theta$ .... (2)

[FONT=Comic Sans MS]Luego reemplazando (2) en (1) obtienes que:[/FONT]

$(-2mgl\sin\theta+2ml^2\omega^2\sin\theta\cos \theta-2Ql\sin\theta)\delta\theta=0$

[FONT=Comic Sans MS]A partir de acá ya se te hará más sencillo.[/FONT]

[FONT=Comic Sans MS]Pd: La parte de las oscilaciones pequeñas no me ha salido .[/FONT]

[_RenE_]

Re: regulador centrifugo

Antes que todo gracias por la ayuda. Bueno la verdad es que no tengo mucha experiencia resolviendo problemas usando la ecuacion de lagrange, pero yo aplique la ecuaciond de lagrange para cordenadas generalizadas independientes, para este caso use coordenadas cilindricas, hallando oscilaciones en la cordenada radial, y en la cordenada z para las bolas, pero no estoy seguro de este resultado , no se si alguien lo habra resuelto??

[pod]

Re: regulador centrifugo

Si se hace en mecánica analítica, es un problema de un sólo grado de libertad, el ángulo $\theta$ que forman los brazos con la columna vertical. En lo sucesivo, ignoraré la masa de los brazos, que es lo que el enunciado sugiere

Analicemos la energía cinética y potencial de una de las bolas, situaré el origen de potenciales a la altura de la manga fija,

$<br /> \begin{aligned}<br /> T_1 & = \frac12 m \Big( \dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2 \Big) \ , \\<br /> V_1 & = mg z\ .<br /> \end{aligned}<br />$

Con un poco de trigonometría, podemos ver que la parametrización es la siguiente

$<br /> \begin{aligned}<br /> x & = L \sin\theta \, \cos\omega t \ , \\<br /> y & = L \sin\theta \, \sin\omega t \ , \\<br /> z & = - L \cos\theta \ .<br /> \end{aligned}<br />$

Inyectando esto en las energías tenemos,

$<br /> \begin{aligned}<br /> T_1 & = \frac12 m \Big( L^2 \dot\theta^2 + L^2 \omega^2 \sin^2\theta \Big) \ , \\<br /> V_1 & = - mg L\cos\theta\ .<br /> \end{aligned}<br />$

Nos queda estudiar el movimiento de la manga inferior. En este caso, sólo hay movimiento en la coordenada vertical, que por trigonometría es

$z_2 = -2L \cos\theta \ ,$

por lo que tenemos

$<br /> \begin{aligned}<br /> T_2 & = 2 M L^2 \dot\theta^2 \sin^2\theta \ , \\<br /> V_2 & = - 2M g L\cos\theta\ .<br /> \end{aligned}<br />$

Por lo tanto, el lagrangiano total será

$<br /> \begin{aligned}<br /> L & = m \Big( L^2 \dot\theta^2 + L^2 \omega^2 \sin^2\theta \Big) + 2 mg L\cos\theta + 2 M L^2 \dot\theta^2 \sin^2\theta + 2M g L\cos\theta \\<br /> & = L^2 \dot\theta^2 \Big( m + 2M \sin^2\theta \Big) + m L^2\omega^2 \sin^2\theta + 2g L (m+M)\cos\theta<br /> \ .\end{aligned}$

La ecuación del movimiento se obtiene a través de Euler-Lagrange

$<br /> 2L \ddot\theta \Big( m + 2M \sin^2\theta \Big) + 2L \dot\theta^2 M \sin 2\theta - m L\omega^2 \sin 2\theta + 2g (m+M)\sin\theta<br /> = 0$

Donde he usado $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$. Para encontrar una solución estacionaria, $\theta = \theta_0$ (constante), simplemente, consideramos que todas las derivadas sean cero,

$2m L\omega^2 \cos\theta_0 = 2g (m+M) \ ,$

y por tanto,

$\displaystyle z_\text{manga} = -2L\cos\theta_0 = -2L \frac{g(m+M)}{mL\omega^2} = - \frac{2g}{\omega^2} \left(1+\frac{M}{m}\right) \ .$

Es curioso que no dependa de L, aunque si se piensa un poco no hay más remedio. Para dar el resultado tal y como lo pide el enunciado (medido desde el punto más bajo), debes sumar 2L.

Consideramos ahora pequeñas oscilaciones, $\theta = \theta_0+\delta$. Para hacerlo, tenemos en cuenta que

$\sin(\theta_0+\delta) = \sin\theta_0 \cos\delta + \cos\theta_0 \sin\delta \approx \sin\theta_0 + \delta \cos\theta_0 \ .$

$\sin^2(\theta_0+\delta) \approx \sin^2\theta_0 + \delta \sin 2\theta_0 \ .<br />$

Poniendo esto en la ecuación del movimiento, a orden $o(\delta)$, y teniendo en cuenta que, por definición de $\theta_0$ los terminos sin $\delta$ se cancelan, tenemos

$2L \ddot\delta (m+2M\sin^2\theta_0) +\delta\Big( 4g(m+M)\sin2\theta_0 - 2 mL\omega^2 \cos2\theta_0\Big)= 0 \ .$

o, dicho de otra forma,

$\displaystyle \ddot\delta + \delta \dfrac{ 4g(m+M)\sin2\theta_0 - 2 mL\omega^2 \cos2\theta_0}{m+2M\sin^2\theta_0} = 0 \ ,$

de donde leemos que la frecuencia de las pequeñas oscilaciones es

$\displaystyle\nu = \frac{1}{2\pi L} \dfrac{ 4g(m+M)\sin2\theta_0 - 2 mL\omega^2 \cos2\theta_0}{m+2M\sin^2\theta_0} \ .$

El $2\pi$ vine de que queremos la frecuencia en oscilaciones por segundo, en vez de radianes por segundo.

En fin, salvo error u omisión, este debe de ser el resultado. Que alguien compruebe los cálculos

[_RenE_]

Re: regulador centrifugo

Si se hace en mecánica analítica, es un problema de un sólo grado de libertad, el ángulo $\theta$ que forman los brazos con la columna vertical. En lo sucesivo, ignoraré la masa de los brazos, que es lo que el enunciado sugiere

Analicemos la energía cinética y potencial de una de las bolas, situaré el origen de potenciales a la altura de la manga fija,

$<br /> \begin{aligned}<br /> T_1 & = \frac12 m \Big( \dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2 \Big) \ , \\<br /> V_1 & = mg z\ .<br /> \end{aligned}<br />$

Con un poco de trigonometría, podemos ver que la parametrización es la siguiente

$<br /> \begin{aligned}<br /> x & = L \sin\theta \, \cos\omega t \ , \\<br /> y & = L \sin\theta \, \sin\omega t \ , \\<br /> z & = - L \cos\theta \ .<br /> \end{aligned}<br />$

Inyectando esto en las energías tenemos,

$<br /> \begin{aligned}<br /> T_1 & = \frac12 m \Big( L^2 \dot\theta^2 + L^2 \omega^2 \sin^2\theta \Big) \ , \\<br /> V_1 & = - mg L\cos\theta\ .<br /> \end{aligned}<br />$

Nos queda estudiar el movimiento de la manga inferior. En este caso, sólo hay movimiento en la coordenada vertical, que por trigonometría es

$z_2 = -2L \cos\theta \ ,$

por lo que tenemos

$<br /> \begin{aligned}<br /> T_2 & = 2 M L^2 \dot\theta^2 \sin^2\theta \ , \\<br /> V_2 & = - 2M g L\cos\theta\ .<br /> \end{aligned}<br />$

Por lo tanto, el lagrangiano total será

$<br /> \begin{aligned}<br /> L & = m \Big( L^2 \dot\theta^2 + L^2 \omega^2 \sin^2\theta \Big) + 2 mg L\cos\theta + 2 M L^2 \dot\theta^2 \sin^2\theta + 2M g L\cos\theta \\<br /> & = L^2 \dot\theta^2 \Big( m + 2M \sin^2\theta \Big) + m L^2\omega^2 \sin^2\theta + 2g L (m+M)\cos\theta<br /> \ .\end{aligned}$

La ecuación del movimiento se obtiene a través de Euler-Lagrange

$<br /> 2L \ddot\theta \Big( m + 2M \sin^2\theta \Big) + 2L \dot\theta^2 M \sin 2\theta - m L\omega^2 \sin 2\theta + 2g (m+M)\sin\theta<br /> = 0$

Donde he usado $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$. Para encontrar una solución estacionaria, $\theta = \theta_0$ (constante), simplemente, consideramos que todas las derivadas sean cero,

$2m L\omega^2 \cos\theta_0 = 2g (m+M) \ ,$

y por tanto,

$\displaystyle z_\text{manga} = -2L\cos\theta_0 = -2L \frac{g(m+M)}{mL\omega^2} = - \frac{2g}{\omega^2} \left(1+\frac{M}{m}\right) \ .$

Es curioso que no dependa de L, aunque si se piensa un poco no hay más remedio. Para dar el resultado tal y como lo pide el enunciado (medido desde el punto más bajo), debes sumar 2L.

Consideramos ahora pequeñas oscilaciones, $\theta = \theta_0+\delta$. Para hacerlo, tenemos en cuenta que

$\sin(\theta_0+\delta) = \sin\theta_0 \cos\delta + \cos\theta_0 \sin\delta \approx \sin\theta_0 + \delta \cos\theta_0 \ .$

$\sin^2(\theta_0+\delta) \approx \sin^2\theta_0 + \delta \sin 2\theta_0 \ .<br />$

Poniendo esto en la ecuación del movimiento, a orden $o(\delta)$, y teniendo en cuenta que, por definición de $\theta_0$ los terminos sin $\delta$ se cancelan, tenemos

$2L \ddot\delta (m+2M\sin^2\theta_0) +\delta\Big( 4g(m+M)\sin2\theta_0 - 2 mL\omega^2 \cos2\theta_0\Big)= 0 \ .$

o, dicho de otra forma,

$\displaystyle \ddot\delta + \delta \dfrac{ 4g(m+M)\sin2\theta_0 - 2 mL\omega^2 \cos2\theta_0}{m+2M\sin^2\theta_0} = 0 \ ,$

de donde leemos que la frecuencia de las pequeñas oscilaciones es

$\displaystyle\nu = \frac{1}{2\pi L} \dfrac{ 4g(m+M)\sin2\theta_0 - 2 mL\omega^2 \cos2\theta_0}{m+2M\sin^2\theta_0} \ .$

El $2\pi$ vine de que queremos la frecuencia en oscilaciones por segundo, en vez de radianes por segundo.

En fin, salvo error u omisión, este debe de ser el resultado. Que alguien compruebe los cálculos

bueno muchas gracias por tu ayuda, aunque la ecuacion de movimiento y el valor de z ya los tenia,no los escribi pues tengo problemas con el latex xDD, tenia muchos problemas con las oscilaciones pero ahora lo comprendo, gg justo hoy expuse este problema,. y ahora veo que estaba correcto.

[pod]

Re: regulador centrifugo

bueno muchas gracias por tu ayuda, aunque la ecuacion de movimiento y el valor de z ya los tenia,no los escribi pues tengo problemas con el latex xDD, tenia muchos problemas con las oscilaciones pero ahora lo comprendo, gg justo hoy expuse este problema,. y ahora veo que estaba correcto.

Puedes practicar el latex aquí: http://latex.lawebdefisica.com/

Podías haberlo dicho y me hubiera ahorrado trabajo Bueno, no tanto, ya q hacía falta la ecuación para hacerlo...

[_RenE_]

Re: regulador centrifugo

\theta_0[/TEX] los terminos sin $\delta$ se cancelan, tenemos

potçr favor podrias explicarme mejor este detalle
salu2

[pod]

Re: regulador centrifugo

potçr favor podrias explicarme mejor este detalle
salu2

Antes de empezar a buscar las oscilaciones pequeñas, hemos buscado el punto de equilibrio poniendo $\theta = \theta_0$, lo cual equivale a $\delta = 0$, y hemos buscado el valor de $\theta_0$ que hacía que la ecuación del movimiento fuera cero. Por lo tanto, cuando nos desplazamos un poco del equilibrio, todos los términos deben ser proporcionales a $\delta$ ya que es la única forma (a primer orden) que se anulen cuando $\delta = 0$.

[_RenE_]

Re: regulador centrifugo

xDD, es verdad xDD es curiososo co,mo aveces uno se complica la vidda y se olvida de cosas tan basicas xDD

[Sir Xico]

Re: regulador centrifugo

Hola, ya se que este foro lleva algun tiempo desactivo, pero tengo un problema en justo este ejercicio. Es esactamente el mismo, lo único es que a mi me piden el angulo tita (comprendido entre el eje vertical y ambas ramas) en funcion de la velocidad angular. Me piden que lo haga por lagrange y la verdad no tengo ni idea.

Podrian ayudarme? desde ya se lo agradezco

[[Beto]]

Re: regulador centrifugo

Hola, la solución está mas arriba, fíjate en lo siguiente:

La ecuación del movimiento se obtiene a través de Euler-Lagrange



Donde he usado . Para encontrar una solución estacionaria, (constante), simplemente, consideramos que todas las derivadas sean cero,

De ahi puedes despejar $\theta_0$ en función de la velocidad angular, ya que te piden la solución estacionaria

[Sir Xico]

Re: regulador centrifugo

gracias -N30F3B0-, yo también pensé en despejar de ahí, pero como dije antes no tengo ni idea de Lagrange, asique preferí preguntar.

De nuevo, gracias

[marianita23]

regulador centrifugo Momento de Inercia

Hola Buenos Dias

mi pregunta va orientada a calcular el momento de inercia del regulador centrifugo con respecto al eje de giro.

Yo realice el calculo de los momentos de inercia individuales de los componentes del regulador y luego los sume pero tengo una duda, como el momento de inercia depende de la distancia al eje de giro y esta distancia a su vez depende de la velocidad estaria bien suponer una distancia o al realizar el calculo tomo la distancia como un valor dependiente de la
velocidad aplicada?

Como seria esto?

Agradeceria mucho que me ayudaran con mi pregunta

ah y otra cosa supongamos que la barra inferior que se encuentra conectada directamente a las esferas ahora esta conectada a la mitad de las barras superiores, el calculo del momento de inercia cambiaria? es decir Yo podria seguir suponiendo que el momento de inercia total es la suma individual de cada uno de los componentes del regulador?

[[Beto]]

Re: regulador centrifugo Momento de Inercia

Yo realice el calculo de los momentos de inercia individuales de los componentes del regulador y luego los sume pero tengo una duda, como el momento de inercia depende de la distancia al eje de giro y esta distancia a su vez depende de la velocidad estaria bien suponer una distancia o al realizar el calculo tomo la distancia como un valor dependiente de la
velocidad aplicada?

Hola marianita23, me parece que está bien tal y como lo has hecho, si el regulador centrífugo gira a velocidad angular constante, entonces la distancia al eje de giro no variará, pero si dependerpa de la velocidad con la que gire.

[marianita23]

Re: regulador centrifugo

gracias Beto

ahora te tengo otra pregunta cual es el momento de inercia de la barra con respecto al eje de giro que esta conectada a la parte superior del regulador? puesto que esta inclinada como seria el calculo?