1r ciclo Integración de la ecuación de movimiento.

[mjhelal]

Buenos días, necesito ayuda con el siguiente problema:

Una bala de masa m es disparada hacia arriba con una velocidad inicial ${v}_{0 }$ vertical.

Asumiendo que la misma está sometida a su peso y a una fuerza viscosa del tipo:$F = -b{v}^{2 }$ (o sea, una fuerza viscosa que depende del cuadrado de la velocidad, siempre oponiéndose en sentido al movimiento, es decir, a la velocidad), plantear la ecuación de movimiento y hallar:

1) El tiempo que demora en detenerse

2) La altura máxima a la que llega

Bueno, la primera parte la resolvi planteando $m \dot{v } = -b{v}^{2 }-mg$ e integrando respecto al tiempo.

Pero la segunda parte se me hace muy complicada, en realidad pensé en integrar la velocidad (hallada en a) para obtener la posicion en función del tiempo y luego calcular para el tiempo de 1). Pero la integral me queda imposible.

En el ejercicio hacen la siguiente sugerencia (la cual no logré descifrar):

"Ambas cantidades pueden hallarse en forma completamente
independiente integrando en forma diferente la ecuación de movimiento"

Cualquier ayuda es bienvenida ya que trate de buscar otra forma de integrar la ecuación pero sin éxito.

Saludos

[Jose D. Escobedo]

Re: Integración de la ecuación de movimiento.

Hola
Puedes tratar de hacer un cambio, $\dst \ddot y = \dot y \frac{d \dot y}{dy } \Rightarrow$

$\dst m \dot y \frac{d \dot y}{ dy}=-b({\dot y}^2 )- mg$

Saludos
Jose

[pod]

Re: Integración de la ecuación de movimiento.

No sé a que truquito se referirá el enunciado, pero yo lo haría así (me voy a comer todas las constantes, te toca a ti ponerlas bien):

$$\frac{\dd v}{\dd t} = - (v^2 + 1) \longrightarrow \int_{v_0}^v \frac{\dd v}{v^2 + 1} = - \dd t,$$

integrando,

$$\arctan v - \arctan v_0 = - t \longrightarrow v = \tan(c-t) ,$$

donde $c = \arctan v_0$. Luego

$$x = \int_0^t \dd t \tan(c-t) = \ln \cos(t-c) .$$

Parece obvio que solo te queda substituir $t = c = \arctan v_0$.

[carmelo]

Re: Integración de la ecuación de movimiento.

Hola:

Pod, no entiendo la ecuación diferencial que planteas. La que habría que resolver es:

$$m\dst\frac {\dd v}{\dd t}=-mg-bv^2$$

la cual se puede resolver como sigue:

$$\dst\frac{\dd v}{\dd t}=\dst\frac{\dd v}{\dd y}\frac{\dd y}{\dd t}=v\dst\frac{\dd v}{\dd y}$$

Sustituyendo en (1) se tiene:

$$v\dst\frac{\dd v}{\dd y}=-g-\dst\frac bmv^2$$

Separando variables e integrando nos queda:

$$-\dst\int_{v_0}^0 \frac{v}{g+\dst\frac bm v^2}\dd v=\dst\int_0^{\dst y_{\text{max}}}\dd y=y_{\text{max}}$$

Ahora hacemos el cambio de variable $u=g+\dst\frac bmv^2$, con lo que nos queda:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Por lo tanto la altura alcanzada sería:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Saludos
Carmelo

[Jose D. Escobedo]

Re: Integración de la ecuación de movimiento.

Hola:

Pod, no entiendo la ecuación diferencial que planteas. La que habría que resolver es:

$$m\dst\frac {\dd v}{\dd t}=-mg-bv^2$$

la cual se puede resolver como sigue:

$$\dst\frac{\dd v}{\dd t}=\dst\frac{\dd v}{\dd y}\frac{\dd y}{\dd t}=v\dst\frac{\dd v}{\dd y}$$

Sustituyendo en (1) se tiene:

$$v\dst\frac{\dd v}{\dd y}=-g-\dst\frac bmv^2$$

Separando variables e integrando nos queda:

$$-\dst\int_{v_0}^0 \frac{v}{g+\dst\frac bm v^2}\dd v=\dst\int_0^{\dst y_{\text{max}}}\dd y=y_{\text{max}}$$

Ahora hacemos el cambio de variable $u=g+\dst\frac bmv^2$, con lo que nos queda:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Por lo tanto la altura alcanzada sería:
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Saludos
Carmelo

Parece ser que es lo mismo que le propuse a mjhelal, pero no lo resolví porque creí que mjhelal tenía la intención de resolverlo.

En cuanto a que no entiendes lo que hizo Pod, fue seguir lo que mjhelal tenía intenciones de hacer, integrar de nuevo, porque tenía $v(t)$, y lo que se requería era $y(t)$ para relacionar las dos ecuaciones. Ademas, Pod esta usando algo que en ingles se llama "natural units" y que ha decir verdad no se la exacta traducción al español de ese termino.

Si te interesa puedes verlo en la wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Natural_units

Saludos
Jose

[pod]

Re: Integración de la ecuación de movimiento.

Pod, no entiendo la ecuación diferencial que planteas. La que habría que resolver es:

$$m\dst\frac {\dd v}{\dd t}=-mg-bv^2$$

Como dije, puse todas las constantes iguales a uno, o por lo menos $m = b = 1$. Era simplemente para arrastrar menos símbolos, como dice José después se pueden restaurar por análisis dimensional (en este problema, hay un sólo parámetro, $b/m$).

Por lo tanto, sacando "factor común" del signo negativo, queda directamente lo que puse yo:

$$\frac{\dd v}{\dd t} = - (v^2 + 1) \longrightarrow \int_{v_0}^v \frac{\dd v}{v^2 + 1} = - \dd t,$$

"natural units"

Unidades naturales

$$\dst\frac{\dd v}{\dd t}=\dst\frac{\dd v}{\dd y}\frac{\dd y}{\dd t}=v\dst\frac{\dd v}{\dd y}$$

Este es el procedimiento típico. Pero en este problema no hace falta, la integral de la tangente es muy sencilla.

[mjhelal]

Re: Integración de la ecuación de movimiento.

Bueno muchas gracias a todos. El cambió de variable que propuso Juan D Escobedo y luego Carmelo me pareció de gran utilidad. La respuesta de Pod también me parece muy útil ya que no se me había ocurrido integrar dos veces la ecuación , probé por ambos caminos y me dio correcto.

Saludos