1r ciclo Momentos de inercia (eje instantáneo de rotación)

[MOS]

Un saludo a toda la comunidad.

Estoy estudiando CC Matemáticas por la UNED y aquí me hallo, comiéndome la cabeza en casa con el libro de Alonso-Finn. Puede que la duda que plantee sea ridícula, pero apiadaros de un estudiante a distancia desesperado.

Bueno. Tengo, dentro de un ejercicio, la siguiente situación:

Tenemos un sistema de dos ruedas (discos) iguales de masa M y radio R rígidamente unidas por un eje de masa m y radio r.

Se piden realizar unos cálculos en el ejercicio para los que es necesario conocer el momento de inercia del conjunto cuando rueda.

Según tengo entendido, para calcular el momento de inercia de un conjunto debemos sumar lo siguiente para cada uno de los tres elementos:

I + mR*R <- siendo I el momento de el elemento en cuestión y R es mi duda.

Porque según tengo en la solución del ejercicio, el momento sería:

I = 2 ( 1/2 * MR^2 + MR^2) + 1/2 * mr^2 + mR^2

Porque yo hubiera puesto r en lugar de la R marcada en rojo. ¿Por qué se ha de poner en la componente correspondiente al eje el radio de la rueda y no el del propio eje? ¿Hay que colocar la distancia al suelo o algo así?

No sé, si alguien pierde unos minutos en aclararme este concepto y comentarme en el caso general cómo se aplica este teorema le estaría muy agradecido.

Un saludo a todos.

[[Beto]]

Re: Momentos de inercia

I + mR*R <- siendo I el momento de el elemento en cuestión y R es mi duda.

Hola, Bienvenido!!!

Vamos a ver supongo que te refieres al teorema de steiner, en este caso tienes que tener en cuenta que en:

$$I=I_{\mbox{cm}}+mr^2$$

$I$ es el momento de inercia total, $I_{\mbox{cm}}$ es el momento de inercia con respecto al centro de masa y el término $mr^2$ aparece cuando el centro de giro no es el centro de masa si no un punto fijado a una distancia "$r$" del centro de masa.

Espero que con esto tus dudas se esclarezcan un poco.

Un saludo.

[MOS]

Re: Momentos de inercia

Gracias por responder y por la bienvenida.

Conozco ese teorema y pensando en él es como sigo sin verlo claro...

La cosa es que el centro de giro es el centro de masa para los tres elementos (las ruedas y el eje) por lo que sigo sin ver por qué hay que usar el Radio de la rueda y no el del eje para la componente del eje.

Un saludo.

[aLFRe]

Re: Momentos de inercia

Gracias por responder y por la bienvenida.

Conozco ese teorema y pensando en él es como sigo sin verlo claro...

La cosa es que el centro de giro es el centro de masa para los tres elementos (las ruedas y el eje) por lo que sigo sin ver por qué hay que usar el Radio de la rueda y no el del eje para la componente del eje.

Un saludo.

Hola.
Ya te lo ha explicado bién N30F3B0,
pero a ver si puedo insistir yo un poco.

El momento de inercia de un sólido rígido relaciona momento angular
y velocidad angular en una expresión sencilla cuando la rotación
tiene lugar a lo largo de un eje principal.
Cuando Vd. gira en torno a un eje distinto
por ejemplo si lo desplaza manteniendo la dirección paralela una cantidad R
se tiene su expresión

I + mR*R <- siendo I el momento de el elemento en cuestión y R es mi duda.

que en general se llama Teorema de Steiner.
Observe que esa R no tiene porque ser una longitud del sólido...
es simplemente la distancia entre el eje original ( respecto al que conoce
el momento de inercia I ) y el nuevo.

Cuando un cilindro de masa M y radio R gira en torno a su eje de simetría
que para por el centro de gravedad del cilindro su momento de inercia
es como Vd. dice
$I_1=\frac{1}{2}MR^2$

Cuando un cilindro rueda, el movimiento se puede describir como una rotación pura
en torno a un eje perpendicular al punto de contacto ( eje instantáneo de rotación )
observe que su expresión simplemente indica que la distancia a usar en el teorema
de Steiner por condición de rodadura es R.
$I_2=\frac{1}{2}MR^2+ MR^2$
Puesto que son dos cilindros los momentos se inercia asi calculados se suman.
$I_3=2(\frac{1}{2}MR^2+ MR^2)$

Para el eje que los une pues tengo un problema...
- No... ya está -
la distancia al eje instantáneo de rotación
en torno al cual el eje efectúa una rotación pura
sería R por lo cual

$I_4=(\frac{1}{2}mr^2+ mR^2)$
y finalmente
$I=2(\frac{1}{2}MR^2+ MR^2)+ \frac{1}{2}mr^2+ mR^2$
y no puedo explicar la discrepancia con su resultado

Un saludo.

[MOS]

Re: Momentos de inercia

Muchísimas gracias a los dos por las respuestas.

Alfre, creo que me acabas de sacar de dudas.

Si te he interpretado bien, cuando un cilindro gira, su momento angular es el que todos conocemos, pero cuando un cilindro rueda... ¿se considera el eje de giro ela perpendicular al punto de contacto con el suelo?

Claro eso lo explicaría todo. Porque entonces, la distancia del eje que pasa por el centro del cilindro a ese eje instantáneo es R, lo que explicaría la solución que he encontrado en el texto.

Qué bien. Muchísimas gracias. Me habéis sacado de una duda con la que llevo zumbándome varios días.

[aLFRe]

Re: Momentos de inercia

Muchísimas gracias a los dos por las respuestas.

De nada.

Alfre, creo que me acabas de sacar de dudas.

Si te he interpretado bien, cuando un cilindro gira, su momento angular es el que todos conocemos, pero cuando un cilindro rueda... ¿se considera el eje de giro ela perpendicular al punto de contacto con el suelo?

Claro eso lo explicaría todo. Porque entonces, la distancia del eje que pasa por el centro del cilindro a ese eje instantáneo es R, lo que explicaría la solución que he encontrado en el texto.

Qué bien. Muchísimas gracias. Me habéis sacado de una duda con la que llevo zumbándome varios días.

La condición de rodadura perfecta entre dos sólidos es que la velocidad del punto de contacto sea la misma. En este caso el suelo está inmóvil por lo cual la velocidad
del punto de contacto de la rueda con el suelo debe de ser cero.
Hay dos formas pra dibujar el campo de velocidades del sólido:

1. una rotación en torno al eje de simetría que para por su cdg y una traslación
o
2. una rotación pura ( sólo hay rotación ) en torno al eje instantáneo
de rotación ( pasa por el punto de contacto )
- creo que esto siempre se podía hacer en 2 dimensiones -

Saluditos.

[MOS]

Re: Momentos de inercia

Perfecto. De Fábula.

He cambiado el título al post por si alguien se acerca con una duda parecida, porque me parece que has dejado muy bien explicado un concepto que no suele venir muy comentado en algunos textos cuando hablan de momentos de inercia.

Un saludo.

[pod]

Re: Momentos de inercia (eje instantáneo de rotación)

Perfecto. De Fábula.

He cambiado el título al post por si alguien se acerca con una duda parecida, porque me parece que has dejado muy bien explicado un concepto que no suele venir muy comentado en algunos textos cuando hablan de momentos de inercia.

Un saludo.

De hecho sólo cambiaste el título al primer mensaje del hilo, no al hilo en si mismo (tras cierto tiempo de escrito, cambiar el título al hilo sólo se puede hacer desde el panel de moderación ).

El eje instantáneo de rotación es una herramienta muy útil ya que te permite hacer cálculos sin tener en cuenta la fuerza de rozamiento en el punto de contacto. De esta forma, muchas veces con el movimiento de rotación ya tienes suficiente para describir todo el movimiento; una sola ecuación.

Me parece que podría ser didáctico que intentaras resolver este problema utilizando el eje permanente de rotación, que sería el centro del sistema planteado. Verás que ahora en la ecuación de rotación no interviene el peso pero sí el rozamiento... y para saber el rozamiento tienes que hacer las dos ecuaciones de traslación (dirección normal y paralela a la superfície). Es decir, en total tres ecuaciones en vez de sólo una.

En el foro hay por lo menos un par de problemas del eje instantáneo de rotación, que seguramente podrás encontrar usando la función de búsqueda.

Espero que te quedes por el foro, para plantear tus dudas y ayudar las que vengan de matemáticas

[MOS]

Re: Momentos de inercia (eje instantáneo de rotación)

Oh, vaya... Pensé que había cambiado el título del post...

Bueno, pues gracias por la sugerencia. Es posible que me lo plantee. Seguro que sigo por aquí en adelante, sobre todo y muy probablemente aparezca de aquí al viernes que es cuando tengo el examen.

Ayer me quedé gratamente sorprendido de la prontitud y calidad de las respuestas, en ambas cosas superando notablemente a la web "curso virtual" de la UNED. Y descuidad que recomendaré vuestro foro si sé de alguien preparando física por su cuenta.

Un saludo a todos.

[MOS]

Re: Momentos de inercia (eje instantáneo de rotación)

Un saludo a todos. Otra duda en torno a lo mismo.

Léase el siguiente enunciado:

Una bicicleta de 14 kg de masa tiene unas ruedas de 1,2 m de diámetro y 3 kg de masa cada una. Estimar la fracción de la energía cinética total de la bicicleta que corresponde a la rotación de las ruedas.

Para calcular la energía cinética realizaré la suma de la propia de la traslación de la bicicleta y las de rotación de las dos ruedas. Para ello me surge una duda a la hora de calcular el momento de las ruedas, necesario para calcular la energía cinética.

Suponiendo que la bici va avanzando por alguna superficie y no volando, para calcular el momento de inercia ¿no debería aplicar lo del eje instantáneo de rotación?

Es decir, según creo yo, si he entendido bien la historia, el momento de inercia de una de las ruedas debería ser:
$\displaystyle I = \frac{1}{2} M R^2 + MR^2$

En cambio, en la solución propuesta, considera el momento de inercia igual que si la rueda girase libremente en el aire, es decir:

$\displaystyle I = \frac{1}{2} M R^2$

¿Es correcto mi planteamiento o el de la solución?

Un saludo.

[carroza]

Re: Momentos de inercia (eje instantáneo de rotación)

Un saludo a todos. Otra duda en torno a lo mismo.

Léase el siguiente enunciado:

Una bicicleta de 14 kg de masa tiene unas ruedas de 1,2 m de diámetro y 3 kg de masa cada una. Estimar la fracción de la energía cinética total de la bicicleta que corresponde a la rotación de las ruedas.

Para calcular la energía cinética realizaré la suma de la propia de la traslación de la bicicleta y las de rotación de las dos ruedas. Para ello me surge una duda a la hora de calcular el momento de las ruedas, necesario para calcular la energía cinética.

Suponiendo que la bici va avanzando por alguna superficie y no volando, para calcular el momento de inercia ¿no debería aplicar lo del eje instantáneo de rotación?

Es decir, según creo yo, si he entendido bien la historia, el momento de inercia de una de las ruedas debería ser:
$\displaystyle I = \frac{1}{2} M R^2 + MR^2$

En cambio, en la solución propuesta, considera el momento de inercia igual que si la rueda girase libremente en el aire, es decir:

$\displaystyle I = \frac{1}{2} M R^2$

¿Es correcto mi planteamiento o el de la solución?

Un saludo.

Hola. Cambia el titulo del post, que te va a reñir el moderador.

Vamos a tu problema.

Cuando quieres separar la energia cinetica de un objeto en energia cinetica de traslacion, y energia cinetica de rotacion, en tonces esta claro que las rotaciones debes definirlas con respecto al centro de masas del objeto que se mueve. Esto es independiente de que el objeto ruede, flote o deslice. En tu caso, tomas el eje de las ruedas, que está en reposo con respecto al centro de masas de la bicicleta (salvo que la bici este dando vueltas por el aire).


En tu caso, la energia cientica de traslacion es
$T_t = 1/2 M v^2$

y la energia cinetica de rotacion es
$T_r = 1/2 I w^2$

donde, suponiendo que la rueda sea un disco homogeneo,
$I=1/2 m R^2$


A mi me sale 3/17, para la fraccion de energia cinetica de rotacion.

[pod]

Re: Momentos de inercia (eje instantáneo de rotación)

Hola. Cambia el titulo del post, que te va a reñir el moderador.

¿Cuál de los moderadores?

Cuando quieres separar la energia cinetica de un objeto en energia cinetica de traslacion, y energia cinetica de rotacion, en tonces esta claro que las rotaciones debes definirlas con respecto al centro de masas del objeto que se mueve. Esto es independiente de que el objeto ruede, flote o deslice. En tu caso, tomas el eje de las ruedas, que está en reposo con respecto al centro de masas de la bicicleta (salvo que la bici este dando vueltas por el aire).


En tu caso, la energia cientica de traslacion es
$T_t = 1/2 M v^2$

y la energia cinetica de rotacion es
$T_r = 1/2 I w^2$

donde, suponiendo que la rueda sea un disco homogeneo,
$I=1/2 m R^2$


A mi me sale 3/17, para la fraccion de energia cinetica de rotacion.

Para complementar esto, fíjate que el término de Steiner en el centro instantáneo de rotación es justamente lo que tiene en cuenta la translación del centro de masas; $I = I_\text{cm} + M R^2$ nos da

$$T = \frac12 I \omega^2 = \frac12 I_\text{cm} \omega^2 + \frac12 M (R\omega)^2 \ ,$$

y $v = R \omega$ es justamente la velocidad del centro de masas. Así que la rotación instantánea, en realidad, no es sólo rotación: para tener sólo rotación tienes que ir al centro de masas, como ya te han dicho.