Problema de dinámica

[arivasm]

Re: Problema de dinámica

A ver si esta vez sí está correcto!

A partir de la aplicación de la segunda ley de Newton a las componentes radial y tangencial de la fuerza resultante, tenemos que la ecuación a resolver es

$\frac{\dd v}{\dd t} = g \left( \sin \alpha - \mu \cos \alpha \right) + \mu \frac{v^2}{R}$

Introduciendo $v = R \dot \alpha$, tenemos

$\ddot \alpha - \mu {\dot \alpha}^2 = \frac{g}{R} \left( \sin \alpha - \mu \cos \alpha \right)$

Ahora introduciremos la función auxiliar $u(\alpha) = {\dot \alpha}^2$. Usando la regla de la cadena (éste es el paso de polonio) tenemos que

$\ddot \alpha = \frac{\dd \sqrt{u}}{\dd t} = \frac{\dd \sqrt{u}}{\dd \alpha} \frac{\dd \alpha}{\dd t} = \frac{1}{2} \frac{\dd u}{\dd \alpha}$

De esta manera, la ecuación diferencial se convierte en

$u' - 2\mu u = \frac{2 g}{R} \left( \sin \alpha - \mu \cos \alpha \right)$

Esta ecuación lineal no homogénea se resuelve fácilmente mediante el método de los coeficientes indeterminados, expresando la solución como

$u = u_c + u_p$

donde $u_c$ es solución de la ecuación auxiliar $u' - 2\mu u = 0$, es decir,

$u_c = A e^{2 \mu \alpha}$

y $u_p$ es una solución particular de nuestra ecuación, de la forma genérica

$u_p = B \sin \alpha + C \cos \alpha$

Para esta última, substituyendo encontramos que

$B = - \frac{2g}{R} \frac{3 \mu}{1+4\mu^2}$

$C = -\frac{2g}{R}\frac{1-2\mu^2}{1+4\mu^2}$

Así pues, la solución buscada es

$u(\alpha) = A e^{2\mu\alpha} + B \sin \alpha + C \cos \alpha$

[Lo que sigue ahora lo edité posteriormente a la publicación del post]
Para determinar A hay que tener en cuenta las condiciones iniciales. Así, si suponemos que el objeto comienza a deslizar a partir del punto más alto en el que el rozamiento estático permite que se inicie el movimiento, es decir, para $\mu_s = \tan \alpha_0$, como $u(\alpha_0)=0$, tenemos

$A = -(B \mu_s + C) \cos \alpha_0 e^{-2 \mu \alpha_0}$

con lo que finalmente ya conocemos $u(\alpha)$, que de manera explícita es

$u(\alpha) = \frac{2g}{R} \frac{1}{1+4\mu^2} \left[ (1+3 \mu \mu_s - 2 \mu^2) \cos \alpha_0 e^{2\mu(\alpha-\alpha_0)} - 3 \mu \sin \alpha - (1-2\mu^2) \cos \alpha \right]$

Para terminar, sólo necesitamos aplicar la condición de que la normal sea nula, lo que equivale a que

$u(\alpha) = \frac{g}{R} \cos \alpha$

con lo que finalmente, y teniendo en cuenta que $\cos \alpha_0 = 1/\sqrt{1+\mu_s^2}$, llegamos a la ecuación implícita

$2 \mu \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{2}{3} (1+3\mu\mu_s-2\mu^2) \frac{1}{\sqrt{1+\mu_s^2}} e^{2\mu(\alpha-\text{arctg}\mu_s)}$

Su resolución requiere de métodos numéricos. Debo decir que, en mi experiencia, si se aplica un método iterativo conviene emplear el que resulta de despejar el ángulo como arco coseno, que será útil para coeficientes estáticos pequeños, y también el que resulta de despejar el ángulo a partir del exponente de la exponencial (valga la redundancia).

Las gráficas siguientes recogen el comportamiento correspondiente, en primer lugar con la dependencia con el coeficiente dinámico, para diversos coeficientes estáticos:

y, al revés, la dependencia con el coeficiente estático, para diversos coeficientes dinámicos:

Terminaré haciendo la conjetura de que el ángulo final es siempre menor que 90º (siempre y cuando $\mu \leqslant \mu_s$) y también reconociendo que este post mío lo único que aporta es la resolución de la ecuación, puesto que en su conjunto el problema ya fue abordado en el hilo que se indicaba anteriormente, del que quisiera destacar las aportaciones de AI2000 y de madridista0175 (que también recoge un método semejante al que expuse, con la única pega de que su lectura es un tanto incómoda)

[xXminombreXx]

Re: Problema de dinámica

Creo que entiendo lo que he hecho mal, pero es raro que mi solución también diera un coseno de 2/3 para un coeficiente de 0. Por eso me convencí de que estaba bien.

De todos modos, en esa resolución has usado métodos que nunca he visto así que estoy un poco perdido. Entiendo conceptualment lo que haces, pero no se cómo lo haces.

De todos modos gracias, si en el examen de mañana me ponen esta pregunta, estoy jodido, aunque es un problema que me había inventado, no creo que me pongan nada cercanamente parecido.

Gracias de nuevo, supongo que será casualidad que mi solución también de el ángulo bueno para coeficiente de 0.

[arivasm]

Re: Problema de dinámica

Por si te tranquiliza, soy profesor de Física y Química de educación secundaria. Salvo que seas alumno de uno de esos centros privados donde justifican sus tarifas sobre la base de meterle a los pobres alumnos ejercicios muy fuera de su nivel, o que tengas un profesor bastante pirado, te aseguro que la probabilidad de que te caiga este ejercicio, con rozamiento, es bastante más pequeña que la que hay de que nos suban el sueldo a los profesores de la pública mañana, 21 de noviembre!

[xXminombreXx]

Re: Problema de dinámica

Jaja, bueno, estoy en 1º de físicas. Se que es poco probable. En los problemas que nos pasan hay uno igual solo que sin rozamiento, ese sí se que es probable que caiga, y de hecho sabría hacerlo porque es sencillo, sólo me pregunté que pasaría con rozamiento, no creíq ue fuese a complicarse tanto.

En realidad conocimientos físicos para hacerlo los tengo, lo que me faltan son matemáticas. No sabría resolver la ecuación no homogenea. El método ese de los coeficientes indeterminados no lo había oido nunca.

Muchas gracias por tu ayuda.

[polonio]

Re: Problema de dinámica

En realidad conocimientos físicos para hacerlo los tengo, lo que me faltan son matemáticas. No sabría resolver la ecuación no homogenea. El método ese de los coeficientes indeterminados no lo había oido nunca.

Ya lo verás en algunos de los Métodos Matemáticos (en el segundo cuatrimestre o en segundo).

[xXminombreXx]

Re: Problema de dinámica

Tengo los dos métodos en segundo, supongo que ahí.

[polonio]

Re: Problema de dinámica

Pues, ahí. Cada universidad tiene nombre distintos...