1r ciclo Problema de dinámica

[xXminombreXx]

Tengo un problema al plantear un ejercicio y quiero ver si alguien me puede ayudar, no quiero que me lo resolváis, tan solo ayuda para plantear las fuerzas y demás.

Un objeto de masa m se deja caer por una superficie circular de radio r, con velocidad inicial despreciable (no 0 para que no se quede arriba, pero como si fuese cero). ¿En qué momento se despega de la superficie? No hay fricción entre la masa y la superficie.

No se muy bien como plantear el problema teóricamente. He probado algunas cosas, pero no se si están bien o no.

Gracias.

[xXminombreXx]

Re: Problema de dinámica

Bueno, lo he visto resuelto aquí por pod:
http://www.lawebdefisica.com/problem...inRotacion.php

Así que gracias. Cuando la normal sea igual que la centrípeta, a partir de ahí empieza a separarse y hay movimiento paraólico.

Gracias a pod.

[angel relativamente]

Re: Problema de dinámica

Un usuario hace muy poco planteó la misma pregunta, y se le responde para poder calcularlo por varios métodos. Échales un vistazo y pregunta si tienes alguna duda
He aquí el hilo.

¡Saludos!

PD: Veo que tu también has encontrado en el foro otra resolución, quizá te ayude a contrastar

[xXminombreXx]

Re: Problema de dinámica

Muchas gracias, lo he estado mirando y entiendo todas las soluciones, aunque la segunda de cat nunca se me hubiese ocurrido. Pero los resultados son los mismos.

Lo que sigo viendo un poco oscuro es el planteamiento de fuerzas, que en este tipo de problemas siempre hago nada más empezar.

Lo que yo hacía era suponer que la normal y la componente radial del peso eran siempre iguales, y claro no me salía nada.
Aquí supongo que el origen de la fuerza centrípeta, puesto que no hay nada que empuje el cuerpo hacia la superficie, es la radial del peso, ¿no? Todas las fuerzas deben salir del peso porque la gravedad es la unica fuerza que actúa, ¿estoy en lo cierto?

Quiero saber cómo hacer mejor este tipo de planteamientos. No los suelo hacer mal, pero me equivoco.

Por cierto, he visto lo de la Casio en tu blog, lo he probado y me he quedado flipando, xD

[carmelo]

Re: Problema de dinámica

Hola:

Bueno, lo he visto resuelto aquí por pod:
http://www.lawebdefisica.com/problem...inRotacion.php

Así que gracias. Cuando la normal sea igual que la centrípeta, a partir de ahí empieza a separarse y hay movimiento paraólico.

Gracias a pod.

Estuve viendo este problema y el planteamiento del mismo es inconsistente con la condición de que la bolita no debe de deslizar en ningún momento. Supongo que debe de haber sido para simplificar la situación.

Ell máximo valor de la fuerza de rozamiento estático está dado por $f_r,_\text{max}=\mu_s N$, por lo tanto para que no deslize deberíamos tener que la fuerza de rozamiento estático debería ser menor que $f_r,_\text{max}$. Pero si planteamos el caso límite,

$$\mu_sN=f$$

o sea

$$\dst\frac{\mu_smg}7(17\cos\theta-10)=\dst\frac27mg\sin\theta$$

De esta ecuación trigonométrica obtenida (se reduce a una ecuación de segundo grado), se obtiene el águlo para el cual la bolita comienza a deslizar. Analizando la solución obtenida vemos que que el ángulo para el cual la bolita comienza a deslizar es menor que el ángulo para el cual la bolita se despega de la semiesfera, aun para valores de $\mu_s$ elevados.

Saludos
Carmelo

[xXminombreXx]

Re: Problema de dinámica

gracias. Y si, seguro es para simplificar, ademas en mi problema se considera que no hay friccion, y en ese problema parecen considerarlo tambien, no se porque han puesto eso.

por cierto, no veo lo que has hecho para incluir la fjuerza de rozamiento. En el caso limite la f, que fuerza es? ¿Y que caso limite es? ¿En el que se depega o en el que empieza a deslizar? Porque al evaluar el valor maximo de la fuerza de rozamiento parece que seria en el que empieza a deslizar, pero lo usas para hallar el que se despega.

[carmelo]

Re: Problema de dinámica

Hola;

Si te dicen que rueda sin deslizar existe rozamiento, lo único que este es [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y no existe disipación de energía. O sea que en tu ejercicio si existe rozamiento.

El caso límite, me refería para cuando comienza a deslizar. Sabras que la siguiente relación se cumple para fuerza de rozamiento estático:

$$f_r \leqslant \mu_sN$$

El caso límite cuando:

$$f_r=\mu_sN=f_{r,\text{max}}$$

Saludos
Carmelo

[xXminombreXx]

Re: Problema de dinámica

De acuerdo, gracias por explicarme eso.

De todos modos, de ese ejercicio sólo saqué la relación de fuerzas. En mi ejercicio (lee el primer post), no hay rozamiento, por eso no me molesté en mirarlo. No dice nada de si se desliza o rueda. De todos modos, muchas gracias.

[xXminombreXx]

Re: Problema de dinámica

Bueno, me gustaría que le echáseis un vistazo a esto a ver si está bien. He generalizado el problema (el mio, no el 7 de los que hay en la web), a que hubiese fuerza de rozamiento. Y tenemos un bloque (que trato como si fuese una partícula), que se va deslizando hasta separarse.

Creo que está bien, porque me sale que depende tan solo del coeficiente de rozamiento. Y si lo pruebo para un coeficiente de 0, me sale el ángulo del problema si no hubiese rozamiento, así que supongo que está bien, pero lo pongo aquí.

La superficie circular tiene radio $R$

Pues bien, tendremos las siguientes fuerzas (no se qué software usáis para hacer esos esquemas, si alguien me lo dice se lo agradezco).

• Una componente del peso radial $P_r$
• Una componente tangencial $P_t$
• Una normal $N$
• Una fuerza de rozamiento $F_r$

El bloque se separará, como se ha dicho antes, cuando la normal sea cero, y por lo tanto cuando $P_r = F_c$ Supuesta fuerza centrípeta para que el movimiento circular continuase.

$$P_r - N = m\omega^2r$$

$$mg\cos \alpha=\frac{v^2}{R}m ; g\cos \alpha=\frac{v^2}{R}$$

Queda tener la velocidad, que voy a hallar por medio de energías. En el punto en el que se separe, tendremos una energía cinética $E_c$ igual a la energía potencial arriba menos la energía potencial en ese punto menos el trabajo que haya hecho la fuerza de rozamiento:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]
Calculemos el $W_{Fr}$, como el ángulo va cambiando, y por lo tanto la normal también, lo haremos integrando en todo el recorrido.

$$W_{Fr} = -\int_{A}^{B}F_r\cdot dr$$

El dr es diferencial de posición.

$$W_{Fr} = -\int_{A}^{B}\mu mg\cos \alpha dr = -\mu mg\int_{A}^{B}\cos \alpha dr$$

Un diferencial de posición a lo largo de la circunferencia equivale al radio por un diferencial del angulo, así que sustituyo dr e integro:

$$W_{Fr} =-\mu mg\int_{0}^{\alpha}\cos \alpha \cdot Rd\alpha = -\mu mgR\sin a$$

Sustituimos en (3):

$$E_c = \frac{1}{2}mv^2 = mgR-mgR\cos \alpha -\mu mgR\sin a = \frac{1}{2}mv^2$$

El trabajo de rozamiento es negativo, pero hay que restar su valor absoluto porque resta energía al sistema.

$$v^2 = 2gR(1-\cos \alpha -\mu \sin \alpha$$

Sustitiumos en 2:

$$g\cos \alpha = \frac{2gR(1-\cos \alpha -\mu \sin \alpha}{R}$$

Simplificamos

$$\cos \alpha=2-2\cos \alpha-\mu \sin \alpha$$

$$3\cos \alpha + \mu \sin \alpha = 2$$

Resolvemos la ecuación, yo lo he dejado en función del seno, sale una cuadrática, y me queda así.

$$\sin \alpha= \frac{4\mu + \sqrt{16\mu ^2+20\mu ^2 + 180} }{2(\mu ^2+9)}$$

Me sale, como debería ser, que depende sólo del coeficiente de rozamiento, ya que sin fricción, no depende de nada. Si supongo un coeficiente de 0, esa fórmula me da un ángulo de 48º, que es el que sale si hago el ejercicio sin fricción, pero eso no se si TIENE que significar que está bien hecho. ¿Qué os parece?

[Cat_in_a_box]

Re: Problema de dinámica

Hola,

No he mirado en detalle tu resolución pero en principio parece razonable. Cuando tenga algo más de tiempo le echaré un vistazo

Mientras tanto, mírate este hilo en el que se resuelve este problema contando la fuerza de rozamiento. Las soluciones, gráficos y demás ideas que dan son realmente interesantes.

Saludos,

[xXminombreXx]

Re: Problema de dinámica

Pues lo he estado mirando por encima y parece que me da lo mismo, pero las fórmulas puestas sin LaTeX, yo por lo menos soy incapaz de leerlas, sobre todo en resoluciones tan largas.

Gracias.

EDITO: Pues vamos apañaos. En el post que me has dejado llegan primero a una solución que (creo) coincide con la mia. Más abajo AL2000 llega a otra solución un poco rara, y su gráfica cae de repente en un valor de $\mu$ cercano a 0.3, mi gráfica es esta:



Que no deja de tener sentido. Tenemos una función de forma que el ángulo va subiendo junto con el coeficiente de rozamiento hasta que el ángulo llegue a 90º, en ese punto no tiene sentido continuar con la función, si se nos pasa de ese valor significa que es 90 (no va a resbalar por debajo de la superficie). La solución de AL2000, puede que sea equivalente, la linea recta parece ser igual, salvo por que su máximo está en un coeficiente de 0.27 y el mio alrededor de 2. Ambas coinciden en que para coeficiente de 0 el resultado es el mismo que resolviendo el problema por la via fácil sin fricción.

[arivasm]

Re: Problema de dinámica

Siento incordiar, pero creo que hay un error en el post de xXminombreXx.

$$W_{Fr} = -\int_{A}^{B}\mu mg\cos \alpha dr = -\mu mg\int_{A}^{B}\cos \alpha dr$$

Como $N = P_r - m R \omega^2 = mg \cos \alpha - m \frac{v^2}{R}$ está claro que falta un término, que invalida el tratamiento anterior.

En realidad, el problema es muy semejante a otro expuesto en este hilo iniciado por Caballero777, y del que debo citar la aportación realizada por polonio.


A partir de aquí inicié una exposición que contenía un error de cálculo que corregí en otro post posterior. Por ese motivo, para no complicar el hilo, prefiero editar éste dejando sólo la objeción.

[xXminombreXx]

Re: Problema de dinámica

El trabajo de la fuerza de rozamiento va a ser independientemente de lo que pase, porque es la deifnición de fuerza de rozamiento.

Si he anulado la normal, ha sido porque en el momento que se separa, la normal es cero, no entiendo lo que quieres decir.

[arivasm]

Re: Problema de dinámica

Veamos, la fuerza de rozamiento es $F_r = \mu N = \mu m g cos \alpha - \mu m \frac{v^2}{R}$, por tanto en el trabajo realizado por el rozamiento tendrás un término que incluye la velocidad:

$W_r = - \mu m g R \int \cos \alpha \dd \alpha + \mu m R \int {\omega(\alpha)}^2 \dd \alpha$

y el problema está en que no has incluido la segunda integral.

Con respecto a anular la normal es totalmente cierto, pero sólo para el punto en que la partícula pierde el contacto con la esfera.

Se me olvidaba: el trabajo de rozamiento no es independiente de lo que pase, pues es una fuerza no conservativa.

[xXminombreXx]

Re: Problema de dinámica

Pero el trabajo de rozamiento sólo depende de la normal, y la normal es lo que he puesto ahí, ¿no? ¿Por qué habría que restarle la fuerza centrípeta?

Como yo lo veo, no hay ninguna fuerza que impulse al objeto a seguir la trayectoria circular. Simplemente el peso lo mantiene pegado. La supuesta fuerza centrípeta no existe, sólo es algo que supongo que existe para que el objeto haga el movimiento circular, y digo que en el momento en el que se separe es porque el peso radial no es tan grande como la centrípeta necesaria para continuar en esa trayectoria.

En el movimiento del objeto, la normal, tiene que ser igual a la componente radial del peso, ¿no?

Veo por donde vas, pero creo que tengo algún fallo a la hora de plantear todas las fuerzas.