Otras carreras expresiones de newton

[LauraLopez]

La forma mas general de la Segunda Ley de Newton es

$m\vec{a} = \vec{F} (x,v,t)$

A) Halle la velocidad v, en funcion de la posicion x, cuando F es una funcion solo de x

Este iniciso creo que lo pude hacer quiero saber si les parece que este bien

Tengo que F(x) = ma entonces $a(x) = \frac{F(x)}{m }$

$a(x) = v \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} x }$

entonces

$\int_{v_0}^{v}\!\! v dv = \int_{x_0}^{x}\!\!a(x) dx$

Luego

$\dst v(x) = \sqrt{{v_0}^{2 } + \frac{2}{m } \int_{x_0}^{x}\!\! F(x) dx }$
Les parece que este bien?

B) Halle la posicion x, en funcion del tiempo, cuando F es una funcion solo de x

aca nose...si lo anterior esta bien puedo usarlo tendria:

$v(x) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t }$

$dt= \frac{\mathrm{d} x}{ v(x) }$

Luego

$t(x) = \int_{v_0}^{v}\!\! \frac{1}{v(x) } dx$ que aca puedo reemplazar por lo que encontre en el inciso a entonces:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

y de aca nose como "hacer" esa integral para que quede un mejor resultado y luego tendria que despejar x para obtener x(t) ... alguna ayuda?

[[Beto]]

Re: expresiones de newton

Acá quizás sea conveniente tener en cuenta que $a=\dfrac{\dd v}{\dd t}=\dfrac{\dd v}{\dd x}\dfrac{\dd x}{\dd t}\Rightarrow a=v\dfrac{\dd v}{\dd x}$

[LauraLopez]

Re: expresiones de newton

Eso es lo que hice para el inciso a justamente, decis que ese inciso este bien?
y para el inciso b tambien como te dije use eso mismo y luego llego a eso que no se como continuar

[Al2000]

Re: expresiones de newton

...
$v(x) = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t }$

$dt= \frac{\mathrm{d} x}{ v(x) }$

Luego

$t(x) = \int_{v_0}^{v}\!\! \frac{1}{v(x) } dx$ ...

Mas bien sería $\dst \int_{t_0}^{t}\!\! dt = \int_{x_0}^{x}\!\! \frac 1 {v(x)}\, dx$

Saludos,

Al

[angelo]

Re: expresiones de newton

Hola!

El A) está perfecto. De hecho, puedes comprobar que el resultado es físicamente correcto: el término $F(x)dx$ no es más que el diferencial de trabajo $dW$ realizado por el campo $F(x)$ sobre una partícula para moverla de la posición $x$ a $dx$. Por tanto, el trabajo acumulado será $W(x)=\frac{1}{2}m[v^2(x)-v_o^2]=\Delta E_c(x)$, que no es más que la energía cinética ganada por la partícula al moverse desde $x_o$ a $x$

En cuanto al B), si el campo de fuerzas solamente depende de la posición, creo que no es posible hallar una expresión explícita de la trayectoria en función del tiempo. Así que el resultado debe dejarse expresado de forma implícita. Aprovechando el resultado anterior, podríamos escribir (cuidado con los límites de integración, estás integrando en $x$)

$\dst t(x)=\int_{x_o}^{x}\frac{dx}{\sqrt{v_o^2+\frac{2}{m}\Delta E_c(x)}}$

[LauraLopez]

Re: expresiones de newton

Buenisimo si el a esta bien!! y el b entonces no hay forma de encontrar una expresion para x(t)??...

[LauraLopez]

Re: expresiones de newton

los errores de los extremos de integracion son de copy paste je

[LauraLopez]

Re: expresiones de newton

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] esto no esta bien? no entiendo lo que pusiste antes no deberia dejar asi expresado en F(x) que son los datos que tengo? y a lo sumo ver si de aca puedo encontrar una x(t) supongo que se podra

[angelo]

Re: expresiones de newton

Sí, está bien. Déjalo así. Lo que puse antes era sólo para que quedase más compacto usando el concepto de trabajo (así no tienes una integral dentro de otra).

[LauraLopez]

Re: expresiones de newton

Hola! nadie pudo encontrar una expresion correcta para el inciso b? porque creo que lo que hice no esta del todo bien termino dando una expresion para t(x) cuando en realidad me pide una x(t) y ademas la t(x) que doy tiene una integral dentro de una integral....

Ademas tengo otro inciso mas el c que dice:

c) Halle la velocidad v y la posicion x, en funcion del tiempo, cuando F(v)

Entonces tengo que

$a (v) = \frac{F(v)}{m }$

$a(v) = \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t }$

$dt = \frac{dv}{a(v) }$

$\dst \int_{t_0}^{t}\!\! t dt = \int_{v_0}^{v}\!\! \frac{1}{a(v) }dv$

$\dst t(v) = \frac{1}{m } \int_{v_0}^{v}\!\! \frac{1}{F(v) }dv$

Que esto es a lo maximo que puedo llegar que tambien creo que debe estar mal porque me pide una v(t) y no una t(v) nose como continuar para encontrar una expresion correcta
y mas aun para encontrar una x(t) tendria que integrar este resultado y quedaria una expresion peor aun.... alguna ayuda?

Gracias

[Al2000]

Re: expresiones de newton

El hecho de que accidentalmente hayas terminado con el tiempo en el miembro izquierdo de la igualdad no hace que $t$ sea función de $v$. En todo caso eso no es mas que una cuestión de puntos de vista. Si te sientes mas cómoda, expresa el resultado como $\dst \int_{v_0}^{v}\!\! \frac {dv}{F(v)} = \frac 1 m (t - t_0)$. Una vez conocida $F(v)$, el miembro izquierdo contiene únicamente $v$, la cual aparecerá como una función de $t$. Por ejemplo, en el caso $F = \text {cte}$, terminarías con que $\dst v = v_0 + \frac F m (t - t_0)$, que por supuesto es la conocida $v = v_0 + a t$.

Por cierto, fíjate en el error con $m$ en tu última ecuación.

Saludos,

Al

[LauraLopez]

Re: expresiones de newton

HOla al, no entiendo a que te referias cuanod me decis "El hecho de que accidentalmente hayas terminado con el tiempo en el miembro izquierdo de la igualdad no hace que sea función de . En todo caso eso no es mas que una cuestión de puntos de vista. "

Porque no es t funcion de v? y porque accidentalmente? y porque es depende de puntos de vista? jaaj no te entendi...

Estaria mal asi como lo exprese? igualmente no estaria mal lo que hice por el hecho de que nunca estoy encontrando una expresion para v(t)? que es lo que tengo que llegar y nunca logro llegar...lo mismo para el inciso b no crees que eso tambien lo tengo mal?

[LauraLopez]

Re: expresiones de newton

alguien pudo hacer el inciso c? porque parece que lo mio esta mal.....

[guibix]

Re: expresiones de newton

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] esto no esta bien? no entiendo lo que pusiste antes no deberia dejar asi expresado en F(x) que son los datos que tengo? y a lo sumo ver si de aca puedo encontrar una x(t) supongo que se podra

Así de primeras, creo que no se puede sacar esa $x$ si no conoces específicamente a $F(x)$. Lo único que se me ocurre (y creo que no servirá), es que de manera general, para sacar la $x$ de $F(x)$ se usa la función inversa de $F(x)$, o sea que si tengo por ejemplo $F(x)=ma$, puedo decir que $x=F^{-1}(ma)$, pero no se me ocurre como usarlo para hallar esa solución en concreto.

alguien pudo hacer el inciso c? porque parece que lo mio esta mal.....

Creo que a lo que Al2000 se refiere es que la solución de la integral:

$$\dst \int_{t_0}^{t}\!\! dt = \int_{v_0}^{v}\!\! \frac{1}{a(v) }dv,$$

no es lo que has puesto.

Primero, si cambias de variable $a(v)=F(v)/m$, te queda

$$\dst \int_{t_0}^{t}\!\! dt = m\int_{v_0}^{v}\!\! \frac{1}{F(v) }dv.$$

Luego, ten cuidado con la parte izquierda de la integral, si integras de $t_0$ a $t$ te queda

$$t-t_0=m\int_{v_0}^{v}\!\! \frac{1}{F(v) }dv,$$

solo si $t_0=0$, puedes poner tu resultado.

Aquí tienes el mismo problema que en la $b)$ para hallar la $v$ y la $x$, ya que no conoces la función $F(v)$.

Saludos.

[LauraLopez]

Re: expresiones de newton

que ejercicios raros...entonces ustedes estan de acuerdo en dar como solucion por ejemplo para el inciso c una t(v) cuando lo que me pide en realidad es v(t)? y con respecto a que tamien ese inciso me pide encontrar una x(t) como en realidad nunca encontre la v(t) como respuesta solo se puede decir que la misma sera la integral de la v(t) que se obtenga de hallar la inversa de la t(v) que encontre antes....

el ultimo inciso pide ¿Como hallaria la velocidad si F(x,v,t) ? aca no entiendo bien a que apunta

Gracias