Otras carreras fuerza viscosa

[LauraLopez]

Hola! en este ejercicio no me salio ni el inciso a....alguna ayuda?

Se me ocurre plantear la sumatoria de fuerzas en el eje y...la fuerza esa F sera opuesta a la fuerza del peso? como se cual es la condicion de velocidad limite?

Gracias besos!

[Al2000]

Re: fuerza viscosa

La velocidad límite la consigues considerando que la fuerza de fricción viscosa es igual al peso, de modo que el hombre cae sin aceleración.

Saludos,

Al

[angelo]

Re: fuerza viscosa

Hola!

La ecuación diferencial para este problema de caida libre sería $m\ddot{y}+F\dot{y}^2=mg$, donde $y$ es la posición del hombre con respecto al suelo.

A) La velocidad límite se alcanza cuando el sistema está en equilibrio dinámico (la fuerza de resistencia iguala al peso), con lo cual la aceleración es nula, $\ddot{y}=0$. Despejando la velocidad, $\dot{y}=v_t=\sqrt{mg/F}$

Para los demás apartados, necesitas resolver la ecuación diferencial completa (usa la ayuda) con la condición inicial $y(0)=h$

Saludos.

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

porque la velocidad limite se alcanza cuando la aceleracion es cero?

entendiendo eso entonces si veo que para el iniciso A tendria que $v = \sqrt{mg/0,23}$ vos pusiste F pero en realidad $F = 0,23 v^2$ supongo que cuando decis F te referis solo a el numero 0,23 no?

B) No entiendo como hacer este inciso usando esa ayuda... necesito encontrar una v(t) y lo que tengo del inciso anterior es

$\sum F_y = mg - F = ma$ no veo como operar para llevar a v(t)....

[angelo]

Re: fuerza viscosa

Sí, error mío, sería el coeficiente que multiplica a $v^2$.

Porque, cuando la aceleración se anula (el peso y la fuerza de resistencia se igualan), la velocidad que en ese momento lleve el cuerpo alcanza un valor constante y máximo (de ahí velocidad límite o terminal) debido al principio de inercia.

B) Necsitas resolver la ecuación diferencial. Si llamamos $v=\dot{y}$, tenemos

$m\dot{v}+0.23v^2=mg$, con $v(0)=0$ (el hombre cae desde el reposo)

Esta ecuación es de variables separadas, con lo que podemos integrar directamente usando la ayuda.

$\dst \int_0^v\frac{mdv}{mg-0.23v^2}=\int_0^tdt$

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

ahh ahora si veo que para graficarla va a ser medio dificl ahora lo intento y para el inciso c tengo que derivar el resultado obtenido no mas?

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

con respecto al inciso a cuando resuelvo y llego a un valor numerico me da 54,64 con respecto a las unidades son m/s^2 ? porque no se que unidades tiene la constante 0,23 asumi que tiene las necesarias para que el resultado quede expresado en esas unidades...

[angelo]

Re: fuerza viscosa

Para el C), debes integrar (no derivar), ya que $\frac{dy}{dt}=v(t)$, con $y(0)=h$.

Asume que la fuerza F está expresada en Newtons, por tanto las unidades de 0.23 serán $Ns^2/m^2$

Finalmente, las unidades de $v_t$ son $[v_t]=\sqrt{\frac{Nm^2}{Ns^2}}=m/s$ (velocidad obviamente)

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

Gracias! si quice decir integrar perdon me confundi
en el inciso b luego de resolver llego a :

$\dst v(t) = \frac{a}{ b} \dst (\frac{{e}^{\frac{2ab}{m }t } - 1 }{{e}^{ \frac{2ab}m{ t} }+1 } )$

donde $a= \sqrt{mg}$ y $b =\sqrt{0,23}$

Puedo luego reemplazar los valores numericos y llegar a algo mas concreto pero igualmente hay una expresion mas comoda para llegar? me parece medio dificl darme cunta como graficar esto... gracias!

Con los valores numericos llego a :

$\dst v(t) = v_l (\frac{{e}^{0,36t } - 1 }{{e}^{ 0,36t }+1 } )$ donde $v_l$es la velocidad limite

[angelo]

Re: fuerza viscosa

Siempre podrías graficarlo dando valores a t.

Creo que la mejor manera es de hacerlo de forma cualitativa. Para valores grandes de t, hemos visto que se alcanza la velocidad límite, por lo que $v(t)\rightarrow v_t$, lo cual representa una asíntota horizontal.

Sin embargo, para valores muy pequeños de t, la velocidad (y por tanto la fuerza de resistencia) es prácticamente desprecible ya que el hombre parte del reposo, con lo cual la ecuación diferencial se podría aproximar por $m\dot{v}=mg$. Resolviendo, tenemos que $v(t)\simeq gt$, lo cual representa una recta de pendiente $g$ que parte del origen.

Por tanto, para dibujar la gráfica, no tendrías más que acoplar estos dos comportamientos extremos.

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

no entendi eso que me dices... intente dibujarla dando valores para t, para t= 0 por ejemplo vale cero y luego va creciendo pero nose como encontrar el t donde alcance su valor maximo y luego supongo que empezara a decrecer hasta llegar a cero no? sera como una parabola? que va creciendo y luego llega a un maximo y finalmente a cero?

[Al2000]

Re: fuerza viscosa

La expresión de la velocidad es mas fácil de entender si expresas la fracción con exponenciales negativos: $\dst v_{(t)} = v_t \frac {1-\ee ^{-0.36 t}}{1+\ee ^{-0.36 t}}$. Aquí $\dst \lim_{t \to \infty } v_{(t)} = v_t$ es mas fácil de visualizar.

Saludos,

Al

PD. No pretendo decir que el límite en la expresión original no sea fácil de ver. Si piensas que cuando $t \to \infty$ los exponenciales (positivos) crecen indefinidamente, entonces ves que puedes descartar el "1" que resta/suma en el numerador/denominador y cancelar los exponenciales.

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

como llegas a esa expresion? no seria asi ? $\dst v_{(t)} = v_t \frac {\ee ^{-0.36 t} -1 }{1+\ee ^{-0.36 t}}$

Porque no se alcanza nunca esa velocidad? si es la que calcule en el inciso a...pense que si se iba a alcanzar.... ademas si no se alacanza nunca nunca empieza a decrecer...deberia estar mal eso porque es obvio que en algun momento tiene que disminuir su velocidad y llegar a cero no?

[angelo]

Re: fuerza viscosa

No deberían salir exponenciales positivas. Pero ya veo donde está el error. Cuando planteé la ecuación diferencial para la velocidad, debería haber escrito $v=-\dot{y}$, ya que el hombre cae hacia abajo. Entonces nos quedaría

$\dst \int_0^v\frac{mdv}{mg-0.23v^2}=-\int_0^tdt$

Usando la ayuda se obtiene

$\dst v(t)=v_t\left(\frac{1-e^{-2gt/v_t}}{1+e^{-2gt/vt}}\right)$

(En realidad, leyendo el comentario de Al, las dos expresiones son equivalentes, pero de este modo es más fácil observar el comportamiento asíntótico)

[Al2000]

Re: fuerza viscosa

Por cierto Laura, hace no muchos días una tal LauraLopez preguntó un problema similar: aceleracion en funcion de la velocidad

Saludos,

Al