fuerza viscosa

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

Entonces para la x(t) que me pide hallar seria:

$\dst x(t) = h + v_l \frac{1}{0.36}\ln\left[\frac{(e^{0.36t}+1)^2}{e^{0.36t}}\right]$

Estara bien? porque para t=0 no me da el valor de h que deberia ser porque es la altura inicial....

[angelo]

Re: fuerza viscosa

La deduces a partir de la definición de tangente hiperbólica. De todas formas, esa integral se puede resolver haciendo el cambio $p=e^{0.36t}$, siendo $dp=0.36pdt$.
La integral queda entonces

$\dst \frac{1}{0.36}\int\frac{(p-1)dp}{p(p+1)}$

que es la integral de una función racional (trivial).

Esta integral se puede descomponer en dos:

$\dst \frac{1}{0.36}\int\frac{(p-1)dp}{p(p+1)}=\frac{1}{0.36}\int\frac{dp}{p+1}-\frac{1}{0.36}\int\frac{dp}{p(p+1)}=\frac{1}{0.36}\left[\ln(p+1)-\ln\left(\frac{p}{p+1}\right)\right]$

Si agrupas logaritmos y deshaces el cambio te queda

$\dst \frac{1}{0.36}\ln\left[\frac{(p+1)^2}{p}\right]=\frac{1}{0.36}\ln\left[\frac{(e^{0.36t}+1)^2}{e^{0.36t}}\right]$

Las relaciones que hay son:

$\dst \frac{e^{at}-1}{e^{at}+1}=\tanh(at/2)$

$\dst \int\tanh(at/2)dt=\frac{2}{a}\ln[\cosh(at/2)]$

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

Bueno yo no recuerpo esa forma de resolver integrales hace un par de años no resuelvo integrales de analisis 1, se que la idea no es que hagamos integrales dificil asi que supongo que se hara de la otra forma que decis igualmente cual es esa igualdas que decis? como para anotarla y en caso de un futuro ejercicio recordarla

es asi?

$\dst \int \frac{dv}{{a}^{2 } - {b}^{2 } {v}^{ 2} } = Arctang (av)$


y luego tambien es valido decir que $v(t) = tangh (av)$ ?

[angelo]

Re: fuerza viscosa

Bueno, eso te das cuenta por la experiencia en este tipo de problemas. Si se opera un poco, puedes comprobar que son equivalentes. De todas formas no es necesario para hacer la integral.
Cuando digo que es trivial, me refiero a que hay una forma sistemática de resolver este tipo de integrales.

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

busque la definicion de tangente hiperbolica y veo que es

$\dst tanh x = \frac{{e}^{x } - {e}^{-x } }{{e}^{x } + {e}^{-x } }$

y yo tenia que $v(t) = \dst v_l \int\frac{{e}^{0,36 t } -1 }{{e}^{0,36t } +1 } dt$

no veo que sean lo mismo.... como me puedo dar cuenta de que v(t) es una tangente hiperbolica?

Con respecto a esa otra forma que das de calcular la integral que sea trivial significa que la debo buscar en tabla?

[angelo]

Re: fuerza viscosa

La deduces a partir de la definición de tangente hiperbólica. De todas formas, esa integral se puede resolver haciendo el cambio $p=e^{0.36t}$, siendo $dp=0.36pdt$.
La integral queda entonces

$\dst \frac{1}{0.36}\int\frac{(p-1)dp}{p(p+1)}$

que es la integral de una función racional (trivial).

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

como sabes que v(t) es eso? la ayuda no dice eso.....

[angelo]

Re: fuerza viscosa

Puedes expresar la integral usando la función tangente hiperbólica. De hecho, $v(t)=v_t\tanh(0.36t/2)$. Sabiendo que la primitiva de $\tanh(ax)$ es $\frac{1}{a}\ln[\cosh(ax)]$, podrás obtener explícitamente $y(t)$.

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

todos los dias se aprende algo nuevo :P

Con respecto al inciso c llego a esta integral... $\dst \int\frac{{e}^{0,36 t } -1 }{{e}^{0,36t } +1 } dt$ no recuerdo como se resuelve esa integral....

[angelo]

Re: fuerza viscosa

Jejeje, te aseguro que todo termina cayendo al fondo! Lo que pasa es que si un cuerpo es muy liviano, y el fluido es muy viscoso, la velocidad terminal será tan pequeña que parece que el objeto está parado. Pero dale un par de días, ya verás que cae.

Sí. Pero para ser exactos, v(t) se comporta como una función tangente hiperbólica, no logarítmica.

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

si te entiendo lo que me decis pero porque en la "practica" esto no es asi? o sea estoy casi segura de que si en un tarro de miel que es muuuuy viscoso tiro un objeto muy liviano este no llegara hsta el fondo del tarro o no pasa esto? el sentido comun capaz me engaña je

Por otro lado entonces el grafico de la velocidad respecto al tiempo v(t) me queda parecido a una funcion logaritmica con asintota en la velocidad limite no?

[angelo]

Re: fuerza viscosa

Bueno, es que el aire es un medio viscoso (muy poco, pero lo es). De hecho la fuerza de resistencia F, proporcional a la velocidad al cuadrado, es la que se suele usar para movimientos en el seno del aire (y en general, para movimientos a grandes números de Reynolds que generen turbulencia).

Para un medio muy viscoso como la miel, el comportamiento es cualitativamente el mismo. En este caso, sería más exacto usar una F proporcional a la velocidad (sin cuadrado), acorde con la Ley de Stokes. Por ejemplo $F=0.23v$. La velocidad terminal sería entonces $v_t=mg/0.23$.

Con esto quiero decir que la fuerza de resistencia viscosa nunca puede detener el movimiento una vez se inicia, por muy viscoso que sea el fluido. Para que lo hiciese, esta fuerza tendría que aumentar por encima del peso. Pero como hemos visto, si el cuerpo alcanza una velocidad terminal constante, la F también alcanza un valor constante $F=0.23v_t^2$ (que es a su vez igual al peso), siendo imposible que aumente. Es físicamente imposible.

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

pero no es en el "aire" es justamente en un medio viscoso...debe ser como vos decis pero yo lo que me imagino como medio viscoso es por ejemeplo miel, entonces si tiro algo dentro de un tarro de miel si ese algo es poco pesado puede ser que caiga y luego quede detenido lleganod a una velocidad cero o no?

[angelo]

Re: fuerza viscosa

Uy, a ver! Creo que te estás liando. La velocidad del hombre aumenta desde 0 hasta la velocidad límite (si el medio no fuera viscoso, sí que aumentaría infinitamente). La fuerza viscosa lo que hace es anular la aceleración al equlibrarse con el peso, pero jamás podría detener al hombre en medio del aire!

[LauraLopez]

Re: fuerza viscosa

gracias ahroa si!! entonces me quedo con la expresion original y digo que como ambos numerador y denominador tienden a infinito se pueden cancelar loa +1 - 1 y me queda que para t tendiendo a infinito se aproxima al valor limite... como me explico Al .

Igual me resulta raro pensar que si un objeto en este caso un hombre cae en un medio vizcoso su velocidad aumente infinitamente yo esperaba que en algun punto la fuerza viscosa logre detenerlo y asi llegar a velocidad cero....