Secundaria Sucesos extraños con la ley de gravitación universal

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Hola a todos, os explico: he estado juguetando con la ley de gravitación universal, sustituyendo las masas y demás. La cosa es que me han quedado unas ecuaciones que me gustaria comentar y de las cuales tengo algunas dudas. Os las presento por orden de importancia en cuanto a mis dudas ya que algunas son solo curiosidades:

1- A partir de la ley de gravitación universal ($F=G\frac{m_1 m_2}{r^2}$) he sustituido las masas $m_1$ y $m_2$ por la energia potencial gravitatoria ($E_p=-G\frac{m_1 m_2}{r}$) y he hecho los siguientes cambios:

$F=-G\frac{E_p r}{G r^2}=-\frac{E_p r}{r^2}=-\frac{E_p}{r}$

La cosa es que esta ecuación me resulta muy familiar, ya que en el colegio me han enseñado la fórmula $F_x=-\frac{dE_p}{dx}$. Mi duda es como pasar de la ecuación que yo he obtenido a la que acabo de poner, es decir, ¿como coloco los diferenciales?

2-Esta ya menos importante que la anterior, se me ha ocurrido lo mismo pero con la energía cinética ($E_c=\frac{1}{2}m_1 (v_1)^2$ y ($E_c=\frac{1}{2}m_2 (v_2)^2$):

$F=G\frac{2{E}_{c1} 2{E}_{c2}}{(v_1)^2 (v_2)^2 r^2 }$; $F=4G\frac{{E}_{c1} {E}_{c2}}{(v_1 v_2 r)^2}$

¿Esta ecuación tiene alguna utilidad?

3-Esto es lo mismo de antes pero sustituyendo por la equivalencia entre masa y energia ($E=\gamma m_0 c^2$):

$F=G\frac{E_1 E_2}{(c^2 \gamma r)^2}$

Mi duda es: ¿Que la fórmula incluya el factor de Lorentz significa que la ecuación es compatible con las transformaciones de Lorentz?

Gracias por adelantado.

[Alexander Mora Chaverri]

Re: Sucesos extraños con la ley de gravitación universal

Hola a todos, os explico: he estado juguetando con la ley de gravitación universal, sustituyendo las masas y demás. La cosa es que me han quedado unas ecuaciones que me gustaria comentar y de las cuales tengo algunas dudas. Os las presento por orden de importancia en cuanto a mis dudas ya que algunas son solo curiosidades:

1- A partir de la ley de gravitación universal ($F=G\frac{m_1 m_2}{r^2}$) he sustituido las masas $m_1$ y $m_2$ por la energia potencial gravitatoria ($E_p=-G\frac{m_1 m_2}{r}$) y he hecho los siguientes cambios:

$F=-G\frac{E_p r}{G r^2}=-\frac{E_p r}{r^2}=-\frac{E_p}{r}$

La cosa es que esta ecuación me resulta muy familiar, ya que en el colegio me han enseñado la fórmula $F_x=-\frac{dE_p}{dx}$. Mi duda es como pasar de la ecuación que yo he obtenido a la que acabo de poner, es decir, ¿como coloco los diferenciales?

2-Esta ya menos importante que la anterior, se me ha ocurrido lo mismo pero con la energía cinética ($E_c=\frac{1}{2}m_1 (v_1)^2$ y ($E_c=\frac{1}{2}m_2 (v_2)^2$):

$F=G\frac{2{E}_{c1} 2{E}_{c2}}{(v_1)^2 (v_2)^2 r^2 }$; $F=4G\frac{{E}_{c1} {E}_{c2}}{(v_1 v_2 r)^2}$

¿Esta ecuación tiene alguna utilidad?

3-Esto es lo mismo de antes pero sustituyendo por la equivalencia entre masa y energia ($E=\gamma m_0 c^2$):

$F=G\frac{E_1 E_2}{(c^2 \gamma r)^2}$

Mi duda es: ¿Que la fórmula incluya el factor de Lorentz significa que la ecuación es compatible con las transformaciones de Lorentz?

Gracias por adelantado.

Hola disculpa, algunas cosas de esas ecuaciones no las entendí, pero me parecieron muy curiosas, **************************, tengo ideas parecidas, curiosidades, que quizás no sean nada, pero amo la física y pruebo lo que sea.******************8

[[Beto]]

Re: Sucesos extraños con la ley de gravitación universal

Si deseas discutir sobre el tema hazlo en este hilo, la idea de un foro es que toda la comunidad y visitantes de la web aprendan.

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Re: Sucesos extraños con la ley de gravitación universal

Hola disculpa, algunas cosas de esas ecuaciones no las entendí, pero me parecieron muy curiosas, **************************, tengo ideas parecidas, curiosidades, que quizás no sean nada, pero amo la física y pruebo lo que sea.******************8

Bueno, solo las he obtenido a partir de sustituir las masas para llegar a otras expresiones.

Las dudas importantes son la primera y la última, la segunda ecuación en la que sale la energia cinética clásica supongo que es más una curiosidad que otra cosa, como lo que ejerce la gravedad es la energia pensé en ver qué pasa si pongo la fórmula en función de la energia en vez de la masa. ¿Alguna idea?

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Re: Sucesos extraños con la ley de gravitación universal

Bueno, solo las he obtenido a partir de sustituir las masas para llegar a otras expresiones.

Las dudas importantes son la primera y la última, la segunda ecuación en la que sale la energia cinética clásica supongo que es más una curiosidad que otra cosa, como lo que ejerce la gravedad es la energia pensé en ver qué pasa si pongo la fórmula en función de la energia en vez de la masa. ¿Alguna idea?

La primera es simplemente consecuencia de que $\frac\dd{\dd r}( 1/r ) = (1/r ^2)$. Si dividen por r el potencial, te da la r que te falta para obtener la fuerza. Obviamente sólo funcionará en campos con simetría esférica, que son los q van con el cuadrado.

La segunda es correcta, pero no significa nada. La gravedad de Newton no cambia con la velocidad, porque no puedes cambiar v sin cambiar E. Por cierto, esa energía sólo es pa cinética, no la total.

La última es incorrecta. No puedes mezclar física no relativista con una expresión que si lo es.

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Re: Sucesos extraños con la ley de gravitación universal

La primera es simplemente consecuencia de que $\frac\dd{\dd r}( 1/r ) = (1/r ^2)$. Si dividen por r el potencial, te da la r que te falta para obtener la fuerza. Obviamente sólo funcionará en campos con simetría esférica, que son los q van con el cuadrado.

La segunda es correcta, pero no significa nada. La gravedad de Newton no cambia con la velocidad, porque no puedes cambiar v sin cambiar E. Por cierto, esa energía sólo es pa cinética, no la total.

La última es incorrecta. No puedes mezclar física no relativista con una expresión que si lo es.

Pero en la primera ¿qué necesidad hay en derivar $1/r^2$? Es decir, quisiera saber el razonamiento o como llegar a la expresión con diferenciales.
Bueno la segunda ya me lo imaginaba.
Lástima de la tercera, senzillamente está mal.

Ya que en el título he puesto ley de gravitacion universal me gustaria preguntar un detalle de la demostración de esta fórmula: ¿de donde sale $G$? Sé que se ha de determinar experimentalmente, ¿pero porque multiplica al resto de la fórmula? Me gustaria saber qué razonamiento se usó en la época para introducir esta constante.

[pod]

Re: Sucesos extraños con la ley de gravitación universal

Pero en la primera ¿qué necesidad hay en derivar $1/r^2$? Es decir, quisiera saber el razonamiento o como llegar a la expresión con diferenciales.

Tú lo has puesto, $\vec F = - \vec \nabla U$ (U es la notación más usual en física para la energía potencial, tu $E_p$). En coordenadas cartesianas, el gradiente se convierte en las derivadas respecto x, y, z (tu pusiste la componente x en el primer mensaje).

Si lo escribimos en polares, la expresión del gradiente es más complicada, pero la parte radial es simplemente la derivada respecto del radio.

Lástima de la tercera, senzillamente está mal.

Bueno, una forma naïve (también incorrecta, pero un poco menos) de hacerlo sería substituir la masa por la energía total (dividida entre $c^2$), que sería

$$E = \gamma m c^2 = m c^2 \left( 1 + \frac12 (v/c)^2 + o(v/c)^4 \right) \approx mc^2 + \frac 12 m v^2 .$$

Con lo cual, vendría a ser

$$\begin{aligned}F &= - G \frac{\left( m_1 + \frac12 m_1 (v_1/c)^2 \right) \left( m_2 + \frac12 m_2 (v_2/c)^2 \right)}{r^2} \\ & \approx - G \frac{m_1 m_2}{r^2} \left\{ 1 +\frac12 \left( \frac{v_1}{c} \right)^{\!2}+\frac12 \left( \frac{v_2}{c} \right)^{\!2} + \cdots \right\} .\end{aligned}$$

Esto no tienen nada que ver con la relatividad, pero nos muestra claramente porqué Newton sólo consiguió capturar el efecto de la masa. Las correcciones de la energía cinética van suprimidas como el cuadrado de la fracción de la velocidad de la luz.

Insisto que esto no tiene nada que ver con la gravitación en RG, además del efecto de la energía cinética hay otros factores que este divertimento no captura. Pero bueno, algo de valor pedagógico tiene.

Ya que en el título he puesto ley de gravitacion universal me gustaria preguntar un detalle de la demostración de esta fórmula: ¿de donde sale $G$? Sé que se ha de determinar experimentalmente, ¿pero porque multiplica al resto de la fórmula? Me gustaria saber qué razonamiento se usó en la época para introducir esta constante.

No se demuestra, es un principio. Podría haberse perfectamente llamado "la cuarta ley de Newton".

Lo que si se puede hacer es partir de la relatividad general y demostrar que el límite para campos pequeños y velocidades lentas es la ley de Newton.

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Re: Sucesos extraños con la ley de gravitación universal

Pero entonces que hicieron, ¿multiplicaron la constante por toda la fórmula y resultó que coincidía con los experimentos?
Otra cosa, si tú pones $\vec F = - \vec \nabla U$ , ¿como sabes respecto a qué magnitud estás derivando?

[pod]

Re: Sucesos extraños con la ley de gravitación universal

Pero entonces que hicieron, ¿multiplicaron la constante por toda la fórmula y resultó que coincidía con los experimentos?

Newton formuló su teoría gravitación postulando que la fuerza era proporcional al producto de masas e inversamente proporcional a la distancia al cuadrado. La constante de proporcionalidad debía ser la misma para todos los cuerpos (la dependencia del cuerpo está en la masa únicamente). Después, se hicieron mediciones para averiguar el valor de la constante. Fué Cavendish el primero en tener una buena medición.

Otra cosa, si tú pones $\vec F = - \vec \nabla U$ , ¿como sabes respecto a qué magnitud estás derivando?

El gradiente, $\vec\nabla$, deja bien claro respecto de qué variables derivas. En cartesianas:

$$\vec\nabla =\hat\imath \frac{\partial}{\partial x}+\hat\jmath \frac{\partial}{\partial y}+\hat k \frac{\partial}{\partial z} .$$

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Re: Sucesos extraños con la ley de gravitación universal

Ah vale claro por el propio enunciado o postulado ya se sabía que había que multiplicar la constante y no otra operación.

Ahora ya entiendo lo de la nabla, norecordaba su definición. Pero de todas formas si no lo desarrollas te han de decir respecto que derivas porque no te lo dice directamente como con los diferenciales. una cosa los diferenciales estos $\partial$ ¿como se llaman? ¿diferenciles parciales puede?

[pod]

Re: Sucesos extraños con la ley de gravitación universal

Ahora ya entiendo lo de la nabla, norecordaba su definición. Pero de todas formas si no lo desarrollas te han de decir respecto que derivas porque no te lo dice directamente como con los diferenciales.

Nabla lo lleva incorporado. Sólo hay que buscar la expresión concreta al sistema de coordenadas que utilizas (en el caso de las coordenadas cartesianas es muy sencillo, como ya hemos visto).

una cosa los diferenciales estos $\partial$ ¿como se llaman? ¿diferenciles parciales puede?

Ese símbolo nunca se utiliza por si sólo. Tan sólo como parte del operador derivada parcial.