1r ciclo Duda con Energía Potencial Gravitatoria (sencilla)

[Pepealej]

Hoy en clase nos han presentado las energías potenciales y como el trabajo se puede definir como $W=-\Delta E_p$ para fuerzas conservativas. Para demostrar que la Energía Potencial Gravitatoria no depende de la trayectoria seguida, sino de los puntos A inicial y B final el profesor ha puesto el siguiente ejemplo:

Un cuerpo parte de A, sube hasta B y vuelve a bajar a A. $\Delta E_p=0=W$. Entonces, para demostrar esto dijo:

$W=\int_A^A \vec{F}d\vec{r}=\int_A^B \vec{F}d\vec{r}+\int_B^A \vec{F}d\vec{r}=$$\int_A^B -mgdr+\int_B^A mgdr=\left[ -mgr \right]_A^B+\left[ mgr \right]_B^A=$$-mgB+mgA+mgA-mgB\neq 0$

¿Cómo es esto? ¿Qué está fallando?

Gracias

[pod]

Re: Duda con Energía Potencial Gravitatoria (sencilla)

Hoy en clase nos han presentado las energías potenciales y como el trabajo se puede definir como $W=-\Delta E_p$ para fuerzas conservativas. Para demostrar que la Energía Potencial Gravitatoria no depende de la trayectoria seguida, sino de los puntos A inicial y B final el profesor ha puesto el siguiente ejemplo:

Un cuerpo parte de A, sube hasta B y vuelve a bajar a A. $\Delta E_p=0=W$. Entonces, para demostrar esto dijo:

$W=\int_A^A \vec{F}d\vec{r}=\int_A^B \vec{F}d\vec{r}+\int_B^A \vec{F}d\vec{r}=$$\int_A^B -mgdr+\int_B^A mgdr=\left[ -mgr \right]_A^B+\left[ mgr \right]_B^A=$$-mgB+mgA+mgA-mgB\neq 0$

¿Cómo es esto? ¿Qué está fallando?

Gracias

En el segundo paso, ¿por qué a uno de las integrales le pones signo negativo y a la otra no?

[Pepealej]

Re: Duda con Energía Potencial Gravitatoria (sencilla)

En el segundo paso, ¿por qué a uno de las integrales le pones signo negativo y a la otra no?

Porque el producto vectorial $\vec{F}\cdot d\vec{r}=F\cdot dr\cdot cos(\theta)$. En el primer caso F y dr forman un ángulo de 180º, por tanto el resultado es negativo. En el segundo caso forman un ángulo de 0º, por eso es positivo.

[Breogan]

Re: Duda con Energía Potencial Gravitatoria (sencilla)

Hola:

Creo que el problema es que invertis el signo del trabajo dos veces, una al permutar los limites de la integral, y la otra al cambiar el signo del el producto escalar del trabajo (definido el SR el vector de desplazamiento queda definido para todo el trayecto de A hasta B y de B hasta A)

Suerte

[Pepealej]

Re: Duda con Energía Potencial Gravitatoria (sencilla)

Creo que el problema es que invertis el signo del trabajo dos veces, una al permutar los limites de la integral, y la otra al cambiar el signo del el producto escalar del trabajo (definido el SR el vector de desplazamiento queda definido para todo el trayecto de A hasta B y de B hasta A)

No entiendo porque dr ha de ser el mismo vector para ambos desplazamientos. De hecho el profesor definió uno como dr1 y el otro como dr2. No lo he puesto, pero no creo que tenga mayor relevancia. ¿no?

[pod]

Re: Duda con Energía Potencial Gravitatoria (sencilla)

No entiendo porque dr ha de ser el mismo vector para ambos desplazamientos. De hecho el profesor definió uno como dr1 y el otro como dr2. No lo he puesto, pero no creo que tenga mayor relevancia. ¿no?

Como te dice Breogan, estás codificando el signo del producto escalar (no vectorial) dos ves: una explícitamente y otra en los límites de la integral.

La forma más sencilla de verlo es con un ejemplo. Imagínate que A = (0, 0) y B = (1, 0). Entonces, si parametrizamos con t de 0 a 1, la "ida" seria $\vec r = (t, 0)$ y $\dd\vec r = (\dd t, 0)$.

Ahora, la vuelta la podemos parametrizar de dos formas distintas (bueno, de infinitas, pero destacamos dos). O bien tomamos t de 1 a 0 (a la inversa), con lo cual tenemos exactamente el mismo $\vec r$ que antes. Tiene que ser el mismo, ya que cuando substituimos el límite inferior (que es 1), nos tiene que dar B; y cuando substituimos el límite inferior, 0, nos tiene que dar A.

Obien tomamos t de 0 a 1 y $\vec r = (1-t, 0)$. Fíjate que esto reproduce los límites de integración correctamente. En este segundo caso, sería cuando tendríamos $\dd\vec r = (-\dd t, 0)$. Tú has estado mezclando los dos casos.

Lo importante es que $\vec r$ debe reproducir la trayectoria. En particular, cuando tomas los extremos de integración, entonces $\vec r$ debe coincidir con los puntos inicial y final.

[Breogan]

Re: Duda con Energía Potencial Gravitatoria (sencilla)

Hola:

Vi lo que escribió pod, y te agrego mi explicación, que espero te aclare y no confunda:

Cuando vos escribís $\int_A^A \vec F \ d\vec r$, estas asumiendo un vector $d \vec r$ y una $\vec F$ unicos para todo el camino que va de A hasta A (definis un unico sistema de referencia), cuando dividis la integral de linea en dos tramos (AB y BA) se mantienen la misma fuerza y el mismo diferencial de camino de la integral de origen para las dos nuevas integrales.

La confusion debe venir de que esto tambien se puede hacer como:

$W_{AA}=W_{AB}+W_{BA}$

En el 1º tramo (AB) la fuerza tienen sentidos opuestos, la fuerza va en el sentido de B a A, y el desplazamiento va de A a B

$W_{AB}=\int_A ^B \vec F d\vec r_1=\int_A ^B - F d r_1=-\ F \ d_{AB}$

Ahora cuando queres hallar el otro trabajo, para este tramo (BA) la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido de B hasta A y para esto cambias el $d \vec r$

$W_{BA}=\int_B ^A \vec F d\vec r_2=\int_B ^A F d r_2=\ F \ d_{BA}$

y la suma da 0.
El problema surge al mezclar las dos formas de resolucion del caso (es normal, todavia me pasa en innumerables ocasiones)

Espero que se entienda

Suerte

No quede del todo satisfecho con la explicación anterior, aunque es correcta.

El error básico que cometes en tu primer post, es que evalúas la integral original ( que es sobre un camino cerrado), dividiéndola en dos integrales abiertas con dos sistemas coordenados distintos, uno para cada una de ellas.

[Pepealej]

Re: Duda con Energía Potencial Gravitatoria (sencilla)

El error básico que cometes en tu primer post, es que evalúas la integral original ( que es sobre un camino cerrado), dividiéndola en dos integrales abiertas con dos sistemas coordenados distintos, uno para cada una de ellas.

Aahh! Ya lo entiendo Entendí lo que me dijo pod en su post, pero con tu aclaración me quedó resuelto por completo. Muchísimas gracias Breogan por tu respuesta