1r ciclo Integración de la derivada de un producto vectorial

[jagicas]

Hola a todos:
Viendo un documental de física; El Universo Mecánico - Cap22 - El Problema de Kepler, se hace el siguiente desarrollo matemático:
Donde $\vec{a}$ es la aceleración, $\vec{L}$ es el momente angular y $D=GMm$
$\vec{a} \times{ \vec{L} }=D \frac{d \hat{r} }{dt} \Longrightarrow{ \frac{d \vec{v} }{dt} \times{ \vec{L} }=D \frac{d \hat{r} }{dt} }$
Hasta aquí lo entiendo. Pero luego hace lo siguiente:
$\frac{d( \vec{v} \times{ \vec{L} } )}{dt}=D \frac{d \hat{r} }{dt}$
Lo que no entiendo aquí es ¿cómo se mete el momento angular dentro de los paréntesis de la derivada?
Continúa integrando ambos mienbros y da como resultado:
$\int\frac{d(\vec{v}\times{\vec{L}})}{dt}=\int D\frac{d\hat{r}}{dt}\Longrightarrow{\vec{v}\times{L}= D (\hat{r}+\vec{e})}$
Entiendo la integración de la parte dercha, donde $\vec{e}$ es la constante de integración. Pero aunque parece fácil a primera vista, no acabo de entender la integración de la parte izquierda. ¿Cómo se hace?
Si hago la derivada del producto vectorial, creo que se hace así:
$\frac{d(\vec{v}\times{L})}{dt}=\frac{d\vec{v}}{dt}\times{\vec{L}}+\vec{v}\times{\frac{d\vec{L}}{dt}}$
¿Cómo hago para integrar esto para que al final quede: $\vec{v}\times{\vec{L}}$. ¿y la constate de integración?
Si alguien pudiera aclararme estas dudas, estaría muy agradecido.
Tengo que decir que no soy estudiante, sólo una persona mayor que intenta aprender algo de física.
Un saludo a todos.

[Breogan]

Re: Integración de la derivada de un producto vectorial

Hola:

De esto no se mucho, asi que lo que diga tomalo con pinzas.

Creo que el meoyo del asunto pasa por que el momento angular de un sistema se conserva si no actuan fuerzas externas sobre el sistema, por lo cual $\vec L\ =\ cte.$, lo cual hace que lo puedas meter dentro de la derivada, y la integral $\dst \int\frac{d(\vec{v}\times{\vec{L}})}{dt}$ es directa, si haces un cambio de variables te vas a dar cuenta inmediatamente:

$\dst \int\frac{d(\vec{v}\times{\vec{L}})}{dt}=\int\frac{d(\vec{u})}{dt}=\ \vec u\ +\ \vec C$ donde $\vec u\ =\ \vec{v}\times{\vec{L}}$

Espero no haber escrito alguna burrada

Suerte

[jagicas]

Re: Integración de la derivada de un producto vectorial

Gracias por tu respuesta Breogan.

Decirte que yo aún sé menos todavía. Por eso pregunto.

Efectivamente, debido a la conservación del momento angular, $\vec{L}=cte$, pero no me acordaba y no lo había tenido en cuenta. Entonces, según tú, al ser una constante puede entrar dentro de la derivada y luego integrar directamente.
Sería algo así, ¿no?

$\frac{d}{ dx}kx=k\to\int kdx=kx+C$

Si eso es así, lo que quiero saber es si se puede aplicar el mismo principio al producto vectorial

Un saludo y gracias

[Breogan]

Re: Integración de la derivada de un producto vectorial

Hola:

Lo que escribiste

$\frac{d}{ dx}kx=k\to\int kdx=kx+C$Un saludo y gracias

Esta mal, en realidad lo que pusiste es asi:

Si k=cte.

$\dst \frac {d(kx)}{dx}\ =\ k\ \frac {dx}{dx}\ =\ k$

quizas lo que quisiste poner era

Si k=cte. y $x\ =\ x(t)$

$\dst \frac {d(kx)}{dt}\ =\ k\ \frac {dx(t)}{dt}$

El tema de las propiedades del producto vectorial es muy extenso (y fuera de mi alcance) por lo cual creo que esta fuera de proporción en un foro, te recomiendo que veas el capitulo de calculo vectorial en algún libro y hagas consultas puntuales de temas que vayas viendo, o puede haber otro forero que sepa mas y te lo pueda explicar sinteticamente.

Suerte

[jagicas]

Re: Integración de la derivada de un producto vectorial

Gracias por tu ayuda Breogan.

Un saludo cordial

[pod]

Re: Integración de la derivada de un producto vectorial

$\frac{d(\vec{v}\times{L})}{dt}=\frac{d\vec{v}}{dt}\times{\vec{L}}+\vec{v}\times{\frac{d\vec{L}}{dt}}$

De aquí ya tienes directamente lo que te ha dicho Breogan, poniendo $\frac{\dd \vec L}{\dd t} = 0$. Lo tenías en el primer mensaje.

¿Cómo hago para integrar esto para que al final quede: $\vec{v}\times{\vec{L}}$. ¿y la constate de integración?

Cuando integras a lado y lado de una ecuación, ambos lados tienen constante. Sin embargo, puedes pasar una de las constantes al otro lado, y eso te permite unificar las dos constantes:

$$\begin{gathered}<br /> \int f(x) \dd x = \int g(x)\dd x , \\<br /> F(x) + a = G(x) + b , \\<br /> F(x) = G(x) + \underbrace{b-a}_k , \\<br /> F(x) = G(x) + k .<br /> \end{gathered}$$

En resumen, cuando integras a lado y lado sólo necesitas poner la constante en uno de los lados.

[oscarmuinhos]

Re: Integración de la derivada de un producto vectorial

Por tratarse de un campo de fuerzas centrales $\vec{L}$ es una constante del movimiento. (Teorema de la conservación del momento angular). Y el segundo término de la ecuación que tu muy escribes:
\frac{d(\vec{v}\times{L})}{dt}=\frac{d\vec{v}}{dt}\times{\vec{L}}+\vec{v}\times{\frac{d\vec{L}}{dt}}
se anula.

- - - Actualizado - - -

Disculpa. En la contestación anterior no se lee la ecuación.

Por tratarse de un campo de fuerzas centrales el momento angular $\vec{L}$ es una constante del movimiento (Teorema de conservación del momento angular). Por lo tanto el segundo término de la ecuación que tu escribes se anula por ser la derivada de una constante:
$\frac{d(\vec{v}\times{L})}{dt}=\frac{d\vec{v}}{dt}\times{\vec{L}}+\vec{v}\times{\frac{d\vec{L}}{dt}}$


Y ya tienes este producto vectorial dentro de la derivada.

La integración siguiente es inmediata: dt divide en los dos miembros y se puede simplificar (regla de la cadena de la derivación) y quedan, en cada miembro, una integración inmediata.