Divulgación Ooo no! la luna se esta cayendo!

[natanael]

Según este librito titulado: "Biografía de la Física" por George Gamow, la luna, se está "cayendo", pero cláro, no se refería a que el radio orbital esté disminuyendo debido a por ejemplo: radiación de ondas gravitacionales, sinó que el propio movimiento elíptico o hiperbólico era considerado por Newton como una caída (olvídense del movimiento parabólico o circular, eso no existe). Ahora, en este libro, el autor parece colocar las matemáticas (griegas, geometría euclídea, no sé) que Newton utilizó para saber cuánto caía la luna en un tiempo determinado.

Donde estoy trancado es en cómo hacer para llegar de ${M}^{'}{M}^{''}=\sqrt{{\left( {EM}^{2}+M{M}^{'} \right)}^{2}}$ (que supongo es ${M}^{'}{M}^{''}=\sqrt{\left( {EM}^{2}+{M{M}^{'}}^{2} \right)}$ para que se cumpla la igualdad por el teorema de pitágoras) a esto $\frac{{\left( M{M}^{'} \right)}^{2}}{2EM}$, y peor aún, el hecho de que $\frac{{\left( M{M}^{'} \right)}^{2}}{2EM}=\frac{1}{2}\left( \frac{M{M}^{'}}{EM} \right)EM$?

[arivasm]

Re: Ooo no! la luna se esta cayendo!

Está claro que en esa edición hay unas cuantas erratas. La base de la demostración es el desarrollo de Taylor en torno a $y=0$, $\sqrt{1+y}=1+\frac{1}{2}y+O(y^2)$.

El texto debería decir algo como esto:

$\dst\rm M'M''=EM'-EM''=EM'-EM$

Para EM' usamos el teorema de Pitágoras:

$\dst\rm M'M''=\sqrt{EM^2+MM'\,^2}-EM$

Ahora saquemos factor común EM:

$\dst\rm M'M''=EM\left(\sqrt{1+\frac{MM'\,^2}{EM^2}}-1\right)$

y usemos la aproximación que resulta del desarrollo de Taylor anterior

$\dst\rm M'M''\approx EM\frac{1}{2}\left(\frac{MM'}{EM}\right)^2=\frac{1}{2}\left(\frac{MM'}{EM}\right)^2\times EM$

Como ves, también hay una errata en esta expresión.

También hay alguna cosa más que no está correctamente expresado. Por ejemplo, el cociente MM'/EM no es la velocidad angular, sino el ángulo descrito, producto de la velocidad angular y el tiempo. Por supuesto, usando radianes y segundos, para un tiempo de un segundo el valor numérico del ángulo será el mismo que el de la velocidad angular.

Me da la sensación de que el traductor no se lo curró demasiado. Quizá sabía inglés, pero no tenía ni idea de Física y eso explica unas cuantas cosas.

[Weip]

Re: Ooo no! la luna se esta cayendo!

Da la causalidad que ayer mismo leí ese capítulo del libro y tampoco lo entendí demasiado. ¡Gracias arivasm!

[arivasm]

Re: Ooo no! la luna se esta cayendo!

Y hablando de erratas yo también tuve una: lógicamente el desarrollo de Taylor que interesa no es el de $\sqrt{1-y}$, sino el de $\sqrt{1+y}$. Aunque imagino que habríais pillado la idea, de todos modos lo he corregido.

Por cierto, es asombroso cómo el gran Newton hacía este tipo de cálculos con argumentos tan ingeniosos como el de este hilo, ¿verdad? Eso sí, éste es de los que se entienden, porque recuerdo algún otro que era un verdadero ladrillo!

[natanael]

Re: Ooo no! la luna se esta cayendo!

Gracias, lo que me parece raro es que Newton halla usado el teorema de taylor (tal vez viajó al futuro ). Ya estoy empesando a dudar de que Newton halla inventado el cálculo.

James Gregory ya había inventado el teorema en 1671, y Newton publicó sus Principia en 1687, umm!, esto sí que huele raro!

Por otro lado ya estoy dejando de confiar en ese libro titulado "Biografía de la Física", porque pone un dibujo con un mapa de venezuela con una precisión casi satelital:






y dice: "Adaptación del dibujo original inserto en los Principia de Newton", pero en otro libro aparece este dibujo:









Pero el mapa de la época (1640) era mas o menos éste:







os dejo para que opinen y duden un poco, , ahhh y muchas gracias arivasm! ahora si puedo continuar donde quedé en la lectura del libro!

Saludos.

[arivasm]

Re: Ooo no! la luna se esta cayendo!

En realidad no era necesario el desarrollo de Taylor. Tan solo fue una manera de explicarme. Está claro que la aproximación $\sqrt{1+x}\approx 1+\frac{1}{2}x$, para $|x|\ll 1$ debe ser bastante antigua, pues al elevar al cuadrado tenemos claramente que $\left(1+\frac{1}{2}x\right)^2=1+x+\frac{1}{4}x^2\approx 1+x$.

Sobre el mapa, seguro que cuando Gamow escribió el libro ya había buenos mapas de América. Lo que me intriga es el dibujo de la época de Newton, ¿qué rayos pintó en el planeta?. Quizá deliberadamente puso cualquier cosa, para que nadie se sintiese aludido y leyese algo así como "este Newton está proponiendo bombardearnos desde una montaña!".