Otras carreras Energía/Potencia/Intensidad en una onda

[chrishaig]

Hola! En mis apuntes tengo tengo varias fórmulas relacionadas con la energía, potencia e intensidad de una onda viajera en un medio elástico, y no estoy muy seguro de si las escribí correctamente y tampoco pude encontrarlas en bien claras en Internet, asi que las pongo acá para que me corrijan por si tengo algo mal:

Energía cinética media por unidad de volumen = $\frac{1}{4}\rho\varepsilon^2\omega^2$

Energía potencial media por unidad de volumen = $\frac{1}{4}\rho\varepsilon^2\omega^2$

Energía mecánica por unidad de volumen = $\frac{1}{2}\rho\varepsilon^2\omega^2$

Potencia media = $\frac{1}{2}\rho\varepsilon^2\omega^2SV_p$

Intensidad/Flujo de energía = $\frac{1}{2}\rho\varepsilon^2\omega^2V_p$

donde $\rho$ es la densidad del medio, $\varepsilon$ es la amplitud de desplazamiento, y $\omega$ es ... omega ($2\pi f$)? (tiene un nombre?), S es la superficie que atraviesa la onda, $V_p$ es la velocidad de propagación

Si lo anterior está bien, entonces lo tengo bastante claro para por ejemplo, una onda longitudinal en una varilla metálica de cierto diámetro; o para una onda sonora, donde la superficie $S$ es el área de una esfera que rodea a la fuente. Pero además tengo una duda: si me piden la intensidad de una onda que propaga por una cuerda (no aclara el radio), y tengo como datos densidad lineal, tensión, y las características de la onda, cómo lo hago? En las fórmulas anteriores ninguna se refiere a densidad lineal!

Gracias!

[pod]

Re: Energía/Potencia/Intensidad en una onda

Yo encuentro más sencillo deducir estas cosas a partir del oscilador armónico, porque una onda no es más que una sucesión de osciladores armónicos. La energía total del oscilador armónico es $E = \frac12 k \varepsilon^2 = \frac12 m \omega^2 \varepsilon^2$. En principio, esto aplica para cada partícula del medio que está oscilando. Para obtener la energía total de la onda, basta con sumar la energía de todas ellas. Como la pulsación o frecuencia angular $\omega$ (ese es el nombre que se le suele dar) y la amplitud son iguales para todas las partículas, al final resulta que la energía total de la onda cumple la misma ecuación, pero simplemente poniendo la masa total del medio que está oscilando. Luego, para obtener la densidad volumétrica de energía basta con dividir por el volumen,

$$\dfrac{E}{V} = \frac12 \rho \omega^2 \varepsilon^2 .$$

Si estamos en el caso de una cuerda, si queremos la densidad lineal, basta con dividir por la longitud de la cuerda,

$$\dfrac{E}{\ell} = \frac12 \lambda \omega^2 \varepsilon^2 .$$

Luego, si quieres separar la energía en promedio de la energía potencial y promedio de la energía cinética, puedes hacerlo sabiendo que cada una de ellas son iguales entre si y la mitad de la energía total. Esto se puede saber utilizando el teorema del Virial, o bien simplemente coger la energía cinética y potencial de un movimiento armónico y hacer la media temporal. Pero para el caso te puedes quedar con la copla de que son iguales y ya está

Para la potencia, simplemente toma energía partida por tiempo. ¿Qué energía? Pues la energía que atraviesa la superficie dada en el tiempo especificado. Si la superficie tiene cierta forma, entonces la cantidad de "onda" que atraviesa esa superficie en un tiempo t es la que está contenida en un prisma de altura $v_p t$. Luego, la energía total que atraviesa a la onda en esa superficie en un tiempo t es igual a la densidad volumétrica de energía por el volumen del prisma (que será igual a su altura por la superfície de la base). Por lo tanto,

$$P = \dfrac{(E/V) S v_p t}{t} = \frac12 \rho \omega^2 \varepsilon^2 S v_p .$$

Si hacemos lo mismo en una cuerda, en vez de densidad volumétrica tenemos densidad lineal. Para saber la energía que atraviesa cierto punto tenemos que multiplicar la densidad lineal de energía por la distancia que recorre la onda en el tiempo dado. Por lo tanto,

$$P = \dfrac{(E/\ell) v_p t}{t} = \frac12 \lambda \omega^2 \varepsilon^2 v_p .$$

Fíjate que comparando las dos últimas ecuaciones uno puede hacer la asociación $\lambda = S \rho$. Es algo que tiene todo el sentido del mundo si lo piensas.

Por último, el flujo de energía se define como la cantidad de energía que atraviesa una superfície, por unidad de tiempo y por unidad superfície. Esencialmente, $I = P / S$. Fíjate que en una cuerda toda la onda está contenida en una superfície infinitesimal, por lo que estrictamente hablando el flujo sería infinito justo en la cuerda, y cero fuera del espacio. A la práctica, el concepto de intensidad no se utiliza en las ondas en una cuerda.

Eso sí, te recomiendo que repases mis cálculos porque he escrito el mensaje de memoria y con bastante prisa. Es probable que haya cometido algún gazapo.

[chrishaig]

Re: Energía/Potencia/Intensidad en una onda

Gracias por tu respuesta! Lo que no entendí igualmente es si $\lambda$ es la densidad lineal de la cuerda (yo suelo llamarla $\mu$) o la longitud de onda...

[pod]

Re: Energía/Potencia/Intensidad en una onda

Gracias por tu respuesta! Lo que no entendí igualmente es si $\lambda$ es la densidad lineal de la cuerda (yo suelo llamarla $\mu$) o la longitud de onda...

Es la densidad lineal de masa, $\lambda = m / \ell$. Es cierto que se confunde, quizá no es una elección de signo muy acertada... Siéntete libre de substituir mis $\lambda$ por tus $\mu$.