muelle forzado

[Ch3r1ff]

Hola. Necesito demostrar que en el caso de un muelle forzado la amplitud máxima que alcanza en función de la frecuencia de forzamiento difiere de la amplitud de resonancia y también lo mismo para la fase.

Gracias de antemano.

[pod]

Re: muelle forzado

Aha... plantea la ecuación diferencial del movimiento. Normalmente, lo harás a partir de la segunda ley de Newton. Tendrás dos fuerzas: la elástica y el "forzamiento".

Una ves tengas la ecuación diferencial, resuelvela.

[Ch3r1ff]

Re: muelle forzado

ok. con eso calculo la amplitud máxima, ¿pero cual es la condición para la amplitud de resonnacia?

[polonio]

Re: muelle forzado

La resonancia es cuando la amplitud es máxima: el valor máximo de la amplitud es la amplitud de resonancia y la frecuancia a la cual se da este máximo de amplitud es la frecuancia de resonancia.

[Ch3r1ff]

Re: muelle forzado

Polonio, en el enunciado del problema me piden demostrar que la amplitud máxima difiere de la de resonancia. Lo que me dices es lo que pensaba en un principio pero no es así.
Saludos

[[Beto]]

Re: muelle forzado

Polonio, en el enunciado del problema me piden demostrar que la amplitud máxima difiere de la de resonancia. Lo que me dices es lo que pensaba en un principio pero no es así.
Saludos

Hola, si es la ecuación diferencial asociada al movimiento que estas estudiando es:

$$m\frac{\dd^2x}{\dd t^2}+\beta\frac{\dd x}{\dd t}+kx=f$$

La amplitud máxima está dada por:

$$A_{(\omega)}= \frac{\frac{F_0}{m}}{\left[(\omega^2-\omega_0^2)^2+ \left( \frac{\beta\omega}{m}\right)^2 \right]^{1/2}}$$

Y la de resonancia es cuando $\omega=\omega_0$, la cual es la condición para que haya resonancia.

Un saludo.

[Ch3r1ff]

Re: muelle forzado

Muchas gracias a todos por contestar, ya he podido resolver el problema.

[pod]

Re: muelle forzado

Por definición de resonancia, será la frecuencia en que la respuesta es mayor. Lo que pasa es que, al haber rozamiento, la frecuencia de resonancia ya no es $\omega_0$.

[polonio]

Re: muelle forzado

La frecuencia resonancia con rozamiento es distinta a la frecuencia de resonancia sin rozamiento, claro que sí, pero sigue siendo aquella que corresponde a la máxima amplitud.

Si tienes problemas con la resolución de las ecuaciones te hecho una mano mañana. De todas formas hay una sección en esta web con todo el desarrollo teórico...

[Ch3r1ff]

Re: muelle forzado

¿Me podrías decir donde viene el desarrollo?
Saludos.

[polonio]

Re: muelle forzado

¿Me podrías decir donde viene el desarrollo?
Saludos.

Si no recuerdo mal está en un documento en formato .doc (así que supongo que será de un trabajo de la época en la que pod era estudiante y aun más joven y estaba en catalán y en castellano). Ahora te hago el enlace al trabajo en castellano con sus catalanismos (eso sí, la oscilación forzada era un seno y no un coseno: no influye absolutamente en nada).

(Pincha aquí)

De todas formas, neofebo te ha dado todas las pistas antes: te ha puesto la ecuación diferencial del movimiento, que no es sino la aplicación directa de la segunda ley de Newton, y la amplitud que resulta ya en el caso estacionario con un pequeño fallo, creo: ha dividido dos veces la cte. elástica por la masa (cosas que pasan):

$A(\omega)=\frac{\frac{F_{0}}{m}}{\left[(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})^{2}+(\frac{\beta k}{m})^{2}\right]^{\frac{1}{2}}}$

Si eres inexperto en las ecuaciones diferenciales aún, razónalo así: si tú impones una oscilación externa (la forzada) a un movimiento oscilatorio con amortiguamiento (con rozamiento, viscosidad,...) al final el movimiento acaba tomando la frecuencia de la fuerza oscilatoria externa y una amplitud que varía según la relación entre esta frecuencia, la propia del oscilador y el amortiguamiento.

Por ejemplo, si botas una pelota (que es elástica y tiene su propia frecuencia gracias a su eslaticidad) con un movimiento periódico de tu brazo (el movimiento forzado), acaba botando con la frecuencia de tu brazo. Eso sí, si mueves tu brazo muy rápido (alta frecuencia) el bote puede ser muy bajo (amplitud pequeña: se queda "muerta"), si lo haces muy rlento (baja frecuencia) puede pasar lo mismo y si mueves tu brazo con la frecuencia apropiada (la de resonancia), el bote (la amplitud) puede ser muy grande (resonancia). Pero el rozamiento, la resistencia del aire,... (el amortiguamiento) juega su papel: si no existiese, la frecuencia de resonancia cambia y lo mismo la amplitud (si no hay rozamiento, se hace muy grande: tiende a infinito).

[Rolo]

Re: muelle forzado

Polonio, en el enunciado del problema me piden demostrar que la amplitud máxima difiere de la de resonancia. Lo que me dices es lo que pensaba en un principio pero no es así.
Saludos

Quizá estén haciendo referencia a la frecuencia de resonancia en potencia. La frecuencia de resonancia en amplitud (frecuencia a la cual al amplitud es máxima) no tiene porque coincidir con la frecuencia de resonancia en potencia (frecuencia a la cual la potencia es máxima).

La frecuencia de resonancia en potencia sigué siendo w = wo a pesar del rozamiento b. En cambio, la frecuencia de resonancia en amplitud se modifica al introducir el rozamiento.


Saludos,
Rolo

[[Beto]]

Re: muelle forzado

De todas formas, neofebo te ha dado todas las pistas antes: te ha puesto la ecuación diferencial del movimiento, que no es sino la aplicación directa de la segunda ley de Newton, y la amplitud que resulta ya en el caso estacionario con un pequeño fallo, creo: ha dividido dos veces la cte. elástica por la masa (cosas que pasan):

$A(\omega)=\frac{\frac{F_{0}}{m}}{\left[(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})^{2}+(\frac{\beta k}{m})^{2}\right]^{\frac{1}{2}}}$

¿Esta bien? ... me parece que si es $\omega$ en lugar de $k$

[Rolo]

Re: muelle forzado

¿Esta bien? ... me parece que si es $\omega$ en lugar de $k$

Efectivamente... Va w en lugar de k. Viene del término i.b.w/m.
Saludos,
Rolo

[polonio]

Re: muelle forzado

Bueno, sigo creyendo que estáis dividiendo por la masa dos veces la constante de elasticidad. Pero mañana lo reviso que ya es tarde para mí.

Por otra parte, Rolo: la potencia y la amplitud en este mov. oscilatorio... ¿de qué forma lo relacionas para que no coincidan sus máximos?