Ayuda Problema de Gravitacion

[Alriga]

Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 se mueve en una órbita circular de radio 1011 m $\boldsymbol{10^{11} \, m}$ y período de 2 años. El planeta 2 se mueve en una órbita elíptica, siendo su distancia más próxima a la estrella 1011 m $\boldsymbol{10^{11} \, m}$ y la más alejada 1'8.1011 m $\boldsymbol{1.8\cdot 10^{11} \, m}$

a) Cuál es la masa de la estrella.
b) Cuál es el período del segundo planeta.
c) Qué velocidad lleva el segundo planeta cuando se encuentra más cerca de la estrella...

Notad que he corregido lo que creo que deben ser un par de gazapos en el enunciado: un planeta no puede orbitar una estrella con un radio orbital de 1011 metros, puesto que las estrellas más pequeñas, que son las estrellas de neutrones, tienen un radio de al menos ~5000 metros.

a)

$$\dfrac{T^2}{a^3}=\dfrac{4 \pi^2}{G M}$$

$a_1=10^{11} \, m$

$T_1=2 \, a\tilde nos = 2\cdot 365.25\cdot 24\cdot 3600=63115200 \, s$

$G=6.6743\cdot 10^{-11}$ unidades SI

$M=\dfrac{4\pi^2 a_1^3}{G T_1^2}=1.4849\cdot 10^{29} \, kg$


b)

$r_p=10^{11} \, m$

$r_a=1.8 \cdot 10^{11} \, m$

$a_2=\dfrac{r_a+r_p}2=1.4\cdot 10^{11} \, m$

Aplicando de nuevo la Tercera ley de Kepler:

$T_2=2 \pi \sqrt{\dfrac{a_2^3}{G M}}$

$T_2=104550476 \, s=3.31 \, a\tilde nos$


c) Usaremos la expresión de la velocidad en una órbita elíptica que se demuestra en Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas

$$v=\sqrt{2 \ G \ M \ \left ( \dfrac 1 r-\dfrac 1{2 \ a} \right )}$$

En nuestro caso, para calcular la velocidad del segundo planeta en el periastro:

$v_p=\sqrt{2 \ G \ M \ \left ( \dfrac 1{r_p}-\dfrac 1{2 \ a_2} \right )}=11288 \, m/s = 11.29 \, km/s$

Saludos.

[Entro]

Re: Ayuda Problema de Gravitacion

La ley de las areas es lo primero que pensé, pero no creo que se pudiera porque te piden velocidades tangenciales en puntos concretos y no en sectores aeorales. Pero se podría pensar...

[KyAlOx]

Re: Ayuda Problema de Gravitacion

Al principio creía verlo claro, luego me lié mucho, y al final he pensado: lo que me cuesta es hallar el período del segundo planeta. Creo que lo consigo, pero para no poner algo que puede que esté mal no lo escribo; en cualquier caso, si solo tienes problema con el apartado c, se supone que el período ya lo conoces.

Entonces es tan sencillo como:

$T=\dfrac{2\pi r}{v}$

$v=\dfrac{2\pi r}{T}$

Sustituyes por el radio que te piden y ya está...dudo que esté bien, lo normal es hacer esos problemas por conservación del momento angular. Sin embargo, para hacerlo así necesitas conocer 3 datos, por lo que te faltaría una velocidad.

Edit:Me parece que eso de ahí arriba solo es aplicable si es m.c.u

Otro modo es el que dice Entro, aplicando conservación de la energía:

$Ec+Ep=0$

$\dfrac{1}{2}mv^2-G\dfrac{Mm}{r}=0$

$v=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$

(M se supone que lo has calculado en el apartado a).

En fin, me parece que una de las dos está mal, o directamente las dos xDDD no soy un experto en física, sobre todo comparado con lo que hay por aquí, pero bueno, por intentarlo...

Est sularis oth mithas

[pod]

Re: Ayuda Problema de Gravitacion

Bueno, quizá puedes usar también la ley de las áreas. O, alternativamente, la conservación del momento angular.

[Entro]

Re: Ayuda Problema de Gravitacion

La gravedad es un campo central, por lo tanto la fuerza es conservativa, lo que implica que la energía mecánica total es constante. Ec+Ep = E

Puedes sacar la velocidad a partir de ahí.

[Lucy]

Me podeis ayudar con el apartado C del problema? porque lo he intentado cn la conservación del momento angular y me faltan datos para resolverlo..

Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta 1 se mueve en una órbita circular de radio 1011 m y período de 2 años. El planeta 2 se mueve en una órbita elíptica, siendo su distancia más próxima a la estrella 1011 m y la más alejada 1'8.1011 m.
a) Cuál es la masa de la estrella.
b) Cuál es el período del segundo planeta.
c) Qué velocidad lleva el segundo planeta cuando se encuentra más cerca de la estrella.