ayudame a resolver este ejercicios MODOS NORMALES

[alexandra blanco]

dos bloques de masas m1 y m2 respectivamente, están conectados mediante un resorte de constante k. el sistema está restringido a moverse sobre una superficie horizontal lisa, hallar las frecuencias caracteristicas del sistema.

ESTE EJERCICIOS SE RESUELVE CON MATRICES

[[Beto]]

Re: ayudame a resolver este ejercicios MODOS NORMALES

Yo lo haría así:

Supongamos que se tira de las dos masas y se elonga el sistema un poco, digamos un $x$, y luego se lo suelta, si es que están sobre una superficie horizontal lisa, las únicas fuerzas que actúan sobre cada una de las masas es la fuerza elástica. Por tanto se tiene que:

Para la masa $m_1$:

$$m_1a_1=kx$$

Para la masa $m_2$:

$$m_2a_2=kx$$

A partir de allí se calcula la frecuencia para cada masa.

[alexandra blanco]

Re: ayudame a resolver este ejercicios MODOS NORMALES

ok en tu respuesta me parece que no hay desplazamientos porque para m1 y m2 el desplazamiento es el mismo, y que metodo usas para hallar la frecuencia

[Jose D. Escobedo]

Re: ayudame a resolver este ejercicios MODOS NORMALES

Hola

Creo que es algo como esto:

$m_1\ddot{x_1}=-k\left(x_1-x_2\right)$

$m_2\ddot{x_2}=-k\left(x_2-x_1\right)$


=> $\left(\begin{matrix}\ddot{x_1}\\\ddot{x_2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{k}{m_1}&\frac{k}{m_1}\\\frac{k}{m_2}&-\frac{k}{m_2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right)$


then: $x_1=A\sin\left(\omega t +\phi\right)$, y tambien

$x_2=B\sin\left(|omege t +\phi\right)$

=> $\ddot{x_1}=-\omega^2x_1$ and $\ddot{x_2}=-\omega^2x_2$

y finalmente pienso que el resultado fue algo como lo que sigue: $\omega^2=\frac{k\left(m_1+m_2\right)}{m_1 m_2}$


Espero haber ayudado algo

[alexandra blanco]

Re: ayudame a resolver este ejercicios MODOS NORMALES

si por alli es pero como pasaste de las matrices a la forma trigonometrica, que paso alli?

[Jose D. Escobedo]

Re: ayudame a resolver este ejercicios MODOS NORMALES

el moviento de estos vectores es armonico de alguna forma, asi que puedes expresarlos como alguna funsion de: sin, cosin o tambien $Ae^{i\omega t}$ y cuando se deriva dos veces el vector $x$con respecto al tiempo, se obtiene la aceleracion aceleracion $\ddot{x}$se puede expresar en funcion de$-\omega^2 x$. Finalmente, se trata de encontrar "the eigenvalues." de dichas matrices.

[pod]

Re: ayudame a resolver este ejercicios MODOS NORMALES

Hola

Creo que es algo como esto:

$m_1\ddot{x_1}=-k\left(x_1-x_2\right)$

$m_2\ddot{x_2}=-k\left(x_2-x_1\right)$


=> $\left(\begin{matrix}\ddot{x_1}\\\ddot{x_2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{k}{m_1}&\frac{k}{m_1}\\\frac{k}{m_2}&-\frac{k}{m_2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_1\\x_2\end{matrix}\right)$

Hasta aquí está bien.

El paso siguiente es diagonalizar la matriz. De esta forma te queda un sistema de ecuaciones diferenciales desacopladas, que puedes resolver. Luego tienes que deshacer el cambio de variables para volver a las soluciones originales.

[[Beto]]

Re: ayudame a resolver este ejercicios MODOS NORMALES

Tengo una duda, $x_1$ y $x_2$ ¿Con respecto a qué es?

Pd: Creo que tengo que estudiar sistema de ecuaciones diferenciales, no me enseñaron

[pod]

Re: ayudame a resolver este ejercicios MODOS NORMALES

En la web hay un par de problemas que ejemplifican este método:

http://www.lawebdefisica.com/problem...anchpod2legacy y el siguiente.

[alexandra blanco]

Re: ayudame a resolver este ejercicios MODOS NORMALES

si es cierto tengo que diagonalizar la matriz, este es un tema que tiene que ver con metodos matematicos, pero no sé relacionarlo con el oscilador armonico o modos normales, me cuesta relacionar esta matematica con el fenomeno fisico, se realizar las operaciones matematicas pero no se que esta pasando en el modelo fisico, no veo el ejercicio, en la fisica no comprendo para que me sirven los autovalores y autovectores. pero en fin. bueno pod, ya habia visto el ejercicio que me ofreces en esa pagina, y no se si es favorable o no pero no estoy trabajando con lagrangeanos. gracias por tu ayuda.

[aLFRe]

Re: ayudame a resolver este ejercicios MODOS NORMALES

Tengo una duda, $x_1$ y $x_2$ ¿Con respecto a qué es?

Pd: Creo que tengo que estudiar sistema de ecuaciones diferenciales, no me enseñaron

Son las longitudes medidas desde el origen para cada masa.
Si se tomas como origen de cada coordenada $x_1$ y $x_2$
el punto de partida, ambas masas con velocidad 0 y cuando la separación entre ambas coincide con la longitud del resorte no extendido $l_0$
Sobre $m_1$
un desplazamiento $x_1$de la masa $m_1$
como tu mismo has redactado el resorte ejercerá una fuerza $-k x_1$
si $m_2$se desplaza la longitud total del resorte será $x_1-x_2$
por lo cual la fuerza $-k (x_1-x_2)$
Para $m_2$ algo parecido.

Para obtener los modos normales hay que estudiar las formas
en que el sistema se mueve. Un ejemplo que permite entender esto,
es el de dos pendulos cuyas masas están unidas por un resorte
y que se enseña en clase ( al menos así me pasó a mi ).
Supongo que se podrá obtener este ejemplo de algún sitio de internet
aunque no tengo la url.

Un saludo y gracias por leerme.

[alexandra blanco]

Re: ayudame a resolver este ejercicios MODOS NORMALES

esta muy buena tu explicacion pero dime como se obtiene los autovectores y autovalores de ese sistema masa resorte

[aLFRe]

Re: ayudame a resolver este ejercicios MODOS NORMALES

esta muy buena tu explicacion pero dime como se obtiene los autovectores y autovalores de ese sistema masa resorte

Igual le sirve lo que escribí en el hilo
Tensor de inercia de forma inadecuada porque no era aquello por lo que se preguntaba.
Ahí se explica que son los autovectores y autovalores para ese tensor
Puesto que el tensor de inercia es simétrico
( dado un sistema de referencia, se representa por una matriz 3X3 simétrica )
esa simetría implica que siempre era diagonalizable ( creo recordar ).
En general cualquier matriz no tiene porque ser diagonalizable...
y para decirle más tendría que verme la teoría de sistemas de ecuaciones diferenciales...
o esperar que algun otro compañero me saque del lio

Un saludo.

[pod]

Re: ayudame a resolver este ejercicios MODOS NORMALES

si es cierto tengo que diagonalizar la matriz, este es un tema que tiene que ver con metodos matematicos, pero no sé relacionarlo con el oscilador armonico o modos normales, me cuesta relacionar esta matematica con el fenomeno fisico, se realizar las operaciones matematicas pero no se que esta pasando en el modelo fisico, no veo el ejercicio, en la fisica no comprendo para que me sirven los autovalores y autovectores. pero en fin. bueno pod, ya habia visto el ejercicio que me ofreces en esa pagina, y no se si es favorable o no pero no estoy trabajando con lagrangeanos. gracias por tu ayuda.

Da igual como obtengas la ecuación del movimiento, si por lagrangianos o por Newton. A partir de la ecuación 2.10 el problema es idéntico.