1r ciclo Duda acerca del momento lineal

[cj2747]

Hace un par de días resolví (o al menos eso creo) el siguiente problema:

Un camión de mudanzas "A" se dirige hacia un camión idéntico "B" que se encuentra en reposo, sobre el camión B se encuentra un delgado bloque de madera de un metro de longitud como muestra la figura; ambos camiones chocan y avanzan juntos hasta detenerse (choque totalmente inelástico); como consecuencia del impacto entre ambos camiones el bloque de madera pasa al camión A como se muestra en el dibujo, todo este proceso dura un segundo (ambos camiones se detienen en un segundo y el bloque de madera pasa totalmente al camión A en un segundo). Encuentre la velocidad $\nu$ a la que se movía el camión A antes del impacto. El coeficiente de fricción entre el bloque de madera y el techo de cualquiera de los dos camiones es 69 veces mayor que el coeficiente de fricción entre cualquiera de los camiones y el piso; la masa del bloque de madera es 140 veces menor que la masa de cualquiera de los dos camiones.

Primero consideré como un sólo sistema a los dos camiones.

Luego, la suma de fuerzas sobre el sistema sería sólo de fuerzas externas a él, y como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , pero $v(t=1s.)=v(t=t_1)=0$ y $v(t=0)=\nu$, entonces:

$$$ \nu=-\frac{\Sigma F_{ext}t_1}{M} $$$

Donde $$M$$ es la masa de cualquiera de los dos camiones. Ahora, la suma de fuerzas sobre el sistema camión-camión sería (También considero la fuerza de fricción entre el bloque de madera y el techo de los camiones):

$$$ \Sigma F_{ext}=-\frac{5\mu Mg}{2} $$$

Luego, sustituyendo esta ecuación en la anterior y simplificando:

$$$ \nu=\frac{5}{2} \mu gt_1 $$$

Considerando ahora al bloque de madera sólo, tenemos que [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] y si tomamos [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] se tiene que:

$$$ v_0 = -\frac{140 \Sigma F_{ext}'t_1}{M} $$$

Ahora, la suma de fuerzas sobre el bloque de madera sería:

$$$ \Sigma F_{ext}'=\frac{69\mu Mg}{140} $$$

Luego, sustituyendo esta expresión en la anterior y simplificando:

$$$ v_0=-69\mu gt_1 $$$

Luego, como $\Sigma F_{ext}'=\frac{dp'}{dt} \rightarrow \Sigma F_{ext}'=\frac{dx'}{dt} \frac{dp'}{dx'}$ y $dp'=\frac{Mdv'}{140}$ y $\frac{dx'}{dt}= v'$ luego:

$\Sigma F_{ext}'\int_{x_0}^{x'} dx' = \frac{M}{140} \int_{v_0}^{v'} v'dv'$

Entonces,

$\Sigma F_{ext}'(x'-x_0) = \frac{M}{280} (v'^2-v_0^2)$

Pero $v'(x'=1.0m.)=v'(l)=0$ y $v_0=v'(x'=0)$ luego:

$v_0^2=\frac{280\Sigma F_{ext}'l}{M}$

y como $\Sigma F_{ext}'=\frac{69\mu Mg}{140}$ se tiene que:

$v_0^2=138\mu gl$

Luego, como $v_0=-69\mu gt_1$, utilizando el último resultado para $v_0$:

$69^2\mu^2g^2t_1^2=138\mu gl \longleftrightarrow \mu=\frac{138l}{69^2gt_1^2}$

y como $\nu=\frac{5}{2} \mu gt_1$, sustituyendo el último resultado para $\mu$ y simplificando:

$\nu=\frac{5l}{69t_1}$

Por lo tanto:

$\nu=\frac{5(1.0m.)}{69(1.0s.)} \rightarrow \nu\approx 0.073\frac{m}{s}=7.3\frac{cm}{s}$

El resultado final me parece muy lento (tal vez sea un poco realista), por favor díganme en qué me equivoco, utilizar conservación del momento lineal como hice al principio del procedimiento.

[felmon38]

Re: Duda acerca del momento lineal

Hola :

No puedes aplicar la ley de conservación del momento lineal en dirección x ya que existen fuerzas exteriores en esa dirección, por ejemplo, si eliges como sistema los dos camiones y el bloque, la fuerza exterior en dirección x es la fuerza de rozamiento del suelo sobre los camiones; si eliges como uno de los sistemas los dos camiones, además de la acción del suelo, hay que añadir la del bloque sobre los camiones, el otro sistema que te queda es el bloque, sobre el que actúa la fuerza de rozamiento de los camiones sobre él; por último si eliges tres sistemas, no digamos, porque ahora sobre los camiones actúa un nueva fuerza exterior: la de contacto entre ellos. Así que no puedes aplicar dicha ley en ningún caso.

Puedes aislar los tres cuerpos y aplicar que la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre los tres cuerpos es igual a la suma de las masas de cada cuerpo por la aceleración del c.d,g. correspondiente, proyectándola en el eje de las x. Como te dan como dato el tiempo de contacto, integras esta ecuación durante el tiempo de contacto y obtienes la ecuación del impulso. La única fuerza exterior en dirección x es la de rozamiento del suelo, que la puedes calcular. Ya tienes una relación entre las velocidades.

Tienes otra ecuación aislando el bloque y operando lo mismo que anteriormente. Así obtendrías la v después del choque.

No sé si con estas dos ecuaciones tendrás bastante.

Saludos

[cj2747]

Re: Duda acerca del momento lineal

El único problema es que lo que tú mencionas es lo que hice (si es que te entendí bien) y lo que me piden es la velocidad del camión A antes del choque, pero al inicio, para relacionar la velocidad antes del choque y después del choque no se me ocurre nada. Claro que entiendo que esto afecta el resultado final.

[felmon38]

Re: Duda acerca del momento lineal

Primero consideré como un sólo sistema a los dos camiones y usando este hecho y ¿utilizando conservación del momento lineal?, luego la velocidad del sistema justo después del impacto sería:V=v/2

No entiendo como asumes la conservación del momento lineal en este caso cuando en el resto del problema no la asumes, y siempre tienes en cuenta el impulso de las fuerzas exteriores. Para este caso las fuerzas exteriores a los dos camiones son la fuerza de rozamiento del suelo y del bloque ¿por qué se va a conservar el momento lineal ?

[cj2747]

Re: Duda acerca del momento lineal

Te entiendo, pero no se me ocurre como encontrar la velocidad del camión antes del choque, por eso utilizé conservación del momentum en este paso (casi todos los demás resultados se ven afectados por esta suposición)...

[Breogan]

Re: Duda acerca del momento lineal

Hola:

Si el choque fuera instantáneo podrías hablar de la conservación del momento lineal entre los instantes justo antes y justo después del choque pese a que haya fuerzas exteriores al sistema, ya que el impulso recibido por el sistema en el instante del choque es nulo.

En este caso (como creo que ya te dijeron en otro post) tenes que plantear que la variación del momento lineal del sistema (camión A, camión B, y bloque) durante el choque es igual al impulso aplicado sobre el sistema, que es igual a la fuerza de rozamiento (suma de las que actúan en ambos camiones) por el tiempo que dura el choque (1 seg).

Creo.

Suerte

[cj2747]

Re: Duda acerca del momento lineal

Gracias amigo, entonces creo que mi respuesta está bien?, ese mismo razonamiento fué el que usé, pero lo dudé debido a la forma de la segunda ley de Newton, como quiera, está excelente.

[Breogan]

Re: Duda acerca del momento lineal

Hola:

Creo que no esta bien (igual toma con pinzas lo que diga, soy muy malo revisando el trabajo de los demas), vos decis:

Primero consideré como un sólo sistema a los dos camiones y usando este hecho y ¿utilizando conservación del momento lineal?, luego la velocidad del sistema justo después del impacto sería:

creo que esto no lo podes suponer, en todo caso es una de las cosas que tenes que llegar a demostrar, tomando los dos camiones como sistema (como vos lo hiciste), tendriamos que el momento inicial del sistema seria:

$\dst p_0 = v_0 \ M_A$

y el final seria:

$\dst p_f = v_f \ (M_A + M_B)$

por lo cual:

$\dst \Delta p = p_f - p_0 = v_f \ (M_A + M_B) - v_0 \ M_A$

esta variación del momento lineal del sistema (camión A + camión B) debe ser igual al impulso que recibe este, que es (suponiendo que las fuerzas son constantes durante toda la duracion del choque):

$\dst I = \sum_{i = 1}^3 \ \vec F_{ext}\ \Delta t = (\vec F_A + \vec F_B + \vec F_m) \Delta t$

Las fuerzas detalladas son todas las fuerzas de rozamiento que actuan sobre los dos camiones, que resultan tener todas la misma dirección y sentido, por lo cual podemos prescindir de su caracter vectorial y teniendo en cuenta que ellas valen:

$\dst F_A = \mu_A M_A g$

$\dst F_B = \mu_B M_B g$

$\dst F_m = \mu_m M_m g$

resulta:

$\dst I = - (\mu_A M_A g+\mu_B M_B g+\mu_m M_m g) \Delta t$

y por ultimo:

$\dst v_f \ (M_A + M_B) - v_0 \ M_A = - (\mu_A M_A g+\mu_B M_B g+\mu_m M_m g) \Delta t$

como yo interpreto el enunciado al final del segundo que dura el choque la madera esta toda sobre el camión A (es decir que se desplazo un metro), y esta quieta respecto de este (tiene su misma velocidad).
Con estas dos interpretaciones planteas dos ecuaciones mas: variación de la energía mecánica de la madera igual al trabajo de la fuerza de rozamiento sobre esta, y variación del momento lineal de la madera igual al impulso de las fuerzas exteriores a ellas.

Con estas tres ecuaciones y las relaciones entre masas y coeficientes de rozamiento que te dan en el enunciado creo que el ejercicio queda resuelto.

s.e.u.o.

Suerte

[cj2747]

Re: Duda acerca del momento lineal

De hecho con este procedimiento que me planteas, sólo encontraría velocidad inicial del sistema camión-camión después del choque, pero lo que yo planteé es que si, como tu mencionas, consideramos que el impulso recibido por el sistema en un instante es aproximadamente a cero por tanto el momentum se conserva (al menos en ese instante), por lo tanto si consideramos al sistema camión-camión justo antes y justo después del choque, se tiene que $V=\frac{\nu}{2}$ pero prácticamente lo demás que tú dices es lo que yo hice, únicamente varié el razonamiento al tomar en cuenta al bloque de madera sólo ( $\Sigma F_{ext}'= \frac{dp'}{dx'} \frac{dx'}{dt}$ ), donde $\Sigma F_{ext}'$ es la fuerza resultante sobre el bloque de madera, de ahí obtuve una relación entre la longitud del bloque y resolviendo $\Sigma F_{ext}'=\frac{dp'}{dt}$ relacioné esa longitud y el tiempo que dura el choqu y encontré una ecuación para $\mu$. También ten en cuenta que después del segundo que dura el choque, ambos camiones permanecen en reposo (y por ende el bloque de madera).

Espero explicarme.

[Breogan]

Re: Duda acerca del momento lineal

Hola:

Creo que tenes una confusión, el choque dura 1 segundo, si vos te referís a un infinitesimo antes y un infinitesimo después del contacto de los dos camiones, el impulso es cero (fuerzas exteriores al sistema camión A + camión B distinta de cero, y tiempo de aplicación cero) por lo cual la cantidad de movimiento lineal del sistema se conserva.

Pero si analizas el mismo instante para cada camión en forma separada, podes ver que por la misma razón (tiempo de aplicación nulo) ninguno de los camiones varia su velocidad (ninguno de los camiones sufre un impulso distinto de cero), por lo cual en ese instante analizado (justo después del contacto) el camión A conserva su velocidad y el camión B sigue parado.

En cuanto a las velocidades que puse en mi ultimo post, v0 es la velocidad del camión A justo antes del choque (la velocidad del camión B es nula), vf es la velocidad del camión A + camión B justo después del choque, tomando que el choque es perfectamente inelastico, y después asumí que esta también era la velocidad de la madera después del choque.

En ningún lado del enunciado dice, ni se puede interpretar de el, este argumento que expones:

También ten en cuenta que después del segundo que dura el choque, ambos camiones permanecen en reposo (y por ende el bloque de madera).

Suerte.

[cj2747]

Re: Duda acerca del momento lineal

OK, entiendo, y perdón, omití ese gran detalle en el enunciado, deja corrijo...

- - - Actualizado - - -

No sé porqué omití estos detalles, pero ya está, los dos camiones avanzan juntos hasta detenerse en un segundo...

- - - Actualizado - - -

Acabo de corregir el enunciado del problema, tal vez así quedé más claro..

[Breogan]

Re: Duda acerca del momento lineal

Hola:

1º _ Entendiste porque tu suposición de la velocidad de los camiones justo después del contacto entre ellos esta mal? Que con los datos que te dan tenes que plantear las situaciones justo antes del choque, y justo después de que los camiones terminaron de intercambiar energía mecánica entre ellos y perder otra parte?

2º_ En cuanto a la modificación del enunciado solo agrega algo que ya habíamos tenido en cuenta (y que me había quedado haciendo ruido el por que lo habíamos supuesto?): que el choque es perfectamente plástico.
En ninguna parte del enunciado dice que los camiones frenan en un segundo, solo dice que después del choque se desplazan juntos hasta que llega el momento en que se detienen también juntos.

Suerte

[cj2747]

Re: Duda acerca del momento lineal

Me quedé un poco confundido, lo que yo encontré en mi procedimiento (ahora si prácticamente idéntico al tuyo sin la suposición de la conservación del momentum) según yo es la velocidad justo después del choque y no la velocidad del camión justo antes del choque, tal vez sea porque no llevo un curso de física por ahora (estudio matemáticas), podrías ser un poco más claro en ese aspecto por favor??

Con respecto a lo segundo, ya modifiqué el enunciado, lo siento es que aún en el libro venía un poco confuso.

[oscarmuinhos]

Re: Duda acerca del momento lineal

Primero consideré como un sólo sistema a los dos camiones.

Luego, la suma de fuerzas sobre el sistema sería sólo de fuerzas externas a él, y como [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , pero $v(t=1s.)=v(t=t_1)=0$ y $v(t=0)=\nu$, entonces:

$$$ \nu=-\frac{\Sigma F_{ext}t_1}{M} $$$ (1)

Donde $$M$$ es la masa de cualquiera de los dos camiones. Ahora, la suma de fuerzas sobre el sistema camión-camión sería (También considero la fuerza de fricción entre el bloque de madera y el techo de los camiones):

$$$ \Sigma F_{ext}=-\frac{5\mu Mg}{2} $$$ (2)

Luego, sustituyendo esta ecuación en la anterior y simplificando:

$$$ \nu=\frac{5}{2} \mu gt_1 $$$ (3)

Hola
Me he parado a reflexionar sobre este problema y, en primer lugar, entiendo que en la ecuación

$$$ \nu=-\frac{\Sigma F_{ext}t_1}{M} $$$ (1)

se debería utilizar 2M pues se está refiriendo al sistema formado por los dos camiones.

En segundo lugar, siguiendo el trabajo tuyo, no encuentro de donde te sale a ti la ecuación:

$$$ \Sigma F_{ext}=-\frac{5\mu Mg}{2} $$$ (2)

Agradecería que lo pudieras explicar. Gracias


Lo que me sucede a mi, para ponerme a resolverlo, es que no entiendo como puede ser que el coeficiente de fricción entre el bloque de madera y el techo de los camiones pueda ser 69 veces mayor que el coeficiente de fricción de cualquiera de los camiones con la carretera. Esta suposición me lleva a que la aceleración (frenando) del bloque de madera sería unas 90 veces mayor que la aceleración (frenando) de los camiones, lo que implicaría que el bloque de madera(que, además, ha de recorrer durante ese segundo 1 metro menos que los camiones) debería haber adquirido a consecuencia del choque una velocidad también unas 90 veces mayor y esto (aunque solo fuera de una millonésima mayor) me parece físicamente imposible. Yo apostaría a que esos coeficientes de fricción tienen que ser justo al revés: el de los camiones con la carretera unas 69 veces mayor que el del bloque de madera con el techo de los camiones?






- - - Actualizado - - -

A Breogán

Hola:

En ninguna parte del enunciado dice que los camiones frenan en un segundo, solo dice que después del choque se desplazan juntos hasta que llega el momento en que se detienen también juntos.

Suerte

Entiendo que si dice que los camiones se detienen en 1 segundo. Lo aclara el enunciado en el paréntesis.
Coincido contigo en que cj2747 está calculando la velocidad con que empiezan a moverse los camiones después del choque....pero (razonando físicamente) no entiendo por que tanto tú como cj2747 suponeis que la fuerza de rozamiento de bloque de madera sobre los camiones es del mismo sentido que la fuerza de rozamiento de los camiones con el suelo....???

Volviendo a los resultados de cj2747 el obtiene una velocidad inicial para el bloque de madera después del choque de signo negativo (velocidad contraria a la velocidad inicial de los camiones después del choque)....y no encuentro razonamiento físico que pueda conducir a tal resultado....No entiendo que, como consecuencia del choque del camión A con el B, el bloque de madera pueda adquirir esa velocidad inicial contraria al sentido del choque....??

A Felmon38
En un mensaje anterior tu razonas que no se puede aplicar la conservación del momento lineal a este choque porque existen fuerzas exteriores al sistema, y, por lo tanto, no se cumplen las condiciones para la conservación del momento.
Yo, sin embargo, entiendo que si se puede aplicar (y no es la mía la opinión de ningún experto). Yo entiendo que se trata de un choque entre dos partículas (camión A con camión B+bloque de madera), si bien, como resultado del choque, la segunda partícula se divide en dos (camión B y bloque de madera), apareciendo en este momento (y no antes) esa fuerza de interacción entre las tres partículas resultantes del choque (el bloque de madera y los dos camiones) en forma de fuerza de rozamiento....???

Y por favor, no abandoneis la curiosidad...

[felmon38]

Re: Duda acerca del momento lineal

Yo, sin embargo, entiendo que si se puede aplicar (y no es la mía la opinión de ningún experto). Yo entiendo que se trata de un choque entre dos partículas (camión A con camión B+bloque de madera), si bien, como resultado del choque, la segunda partícula se divide en dos (camión B y bloque de madera), apareciendo en este momento (y no antes) esa fuerza de interacción entre las tres partículas resultantes del choque (el bloque de madera y los dos camiones) en forma de fuerza de rozamiento....???

Pues bien, si actúan fuerzas exteriores a las tres partículas, como en este caso la fuerza de rozamiento del suelo sobre los dos camiones durante un tiempo no despreciable, no se conserva el momento lineal en la dirección horizontal, como es inmediato de ver al integrar, durante el tiempo del choque, Σ f_ext = Σ_ι m_i.a_Gi