Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

[Breogan]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

Hola:

Efectivamente.
Pero eso ya lo dejamos zanjado en mensajes anteriores...porque de considerarlo estaríamos además cambiando el centro de masas de la polea y la cuerda en cada vuelta y eso (además de no tener datos en el enunciado para ello) ya nos pareció que era un refinamiento más de interés de investigación que de interés didáctico

No lo zanjaron, lo cajonearon sin otro argumento de que el problema se vuelve demasiado complicado .

Si el problema lo planteas por dinámica y no por energía, el centro de masa de la cuerda enrollada en la polea creo que no interviene en el calculo, y se me hace que demostrar cual es la condición para despreciar el efecto de este arco de cuerda sobre el momento de inercia de la cuerda enrollada en la polea no es tan complicado.

Suerte

[oscarmuinhos]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

Hola:
No lo zanjaron, lo cajonearon sin otro argumento de que el problema se vuelve demasiado complicado

.

Tampoco es una mala razón. Para uno desplazarse dos 10 metros no es preciso viajar en autobús. No crees?

Si el problema lo planteas por dinámica y no por energía, el centro de masa de la cuerda enrollada en la polea creo que no interviene en el calculo, y se me hace que demostrar cual es la condición para despreciar el efecto de este arco de cuerda sobre el momento de inercia de la cuerda enrollada en la polea no es tan complicado.

Amigo Breogán, se necesitaría lo mismo que en el método de la energía (de otra forma, las ecuaciones por un método u otro serían diferentes y tienen que ser iguales). Y la razón es que si no se puede aceptar para el método de la energía que las masas estén distribuídas uniformemente en un aro porque la distribución de la cuerda alrededor de la polea no puede aceptarse que sea uniforme, eso mismo habrá que razonar para el momento de inercia de la ecuación de la rotación y, además, también tendríamos que considerar, no solo la traslación de la masa diferencial de cuerda que cae, sino también la traslación del centro de masas de la cuerda enrollada a la polea ¿o es que no cambiaría?

En suma, que vale la pena "cajonear" eso de que la distribución de masa en torno a la polea no resulte "suficientemente" uniforme

[Breogan]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

Hola:

Voy a intentar un principio de solución. Lo voy a encarar aplicando las ecuaciones dinámicas, para eso coloco un dibujo aproximado del problema.

perdí el alfabeto griego en el programa de dibujo, por eso les pido disculpas por las discrepancias que puede haber entre la notación del post y la del dibujo.

Planteamos las ecuaciones dinámicas para la cuerda que cuelga:

$\dst P - F_{21} = m_2 \ a_2$

la masa de este tramo de cuerda es, considerando densidad lineal de masa $\lambda$ constante:

$\dst m_2 = \lambda \ L_2$

y ademas $P = m_2 \ g$, por lo cual:

$$\dst \lambda \ L_2 \ g - F_{21} = \lambda \ L_2 \ a_2$$

Ahora planteamos las ecuaciones dinámicas para la polea, teniendo en cuenta que el momento de inercia de la cuerda enrollada en la polea es función del tiempo:

$\dst M_{F_{12}}^O = I(t) \ \dot {\omega}$

$\dst F_{12} \ R = I(t) \ \dot {\omega}$

por comodidad tome positivos los momentos y giros con sentido horario.

y como $F_{12} = F_{21}$ al final queda:

$$\dst F_{21} = \frac {I(t)} {R} \ \dot {\omega}$$

Reemplazando (2) en (1) queda:

$\dst \lambda \ L_2 \ g - \frac {I(t)} {R} \ \dot {\omega} = \lambda \ L_2 \ a_2$

La aceleración tangencial de la polea debe ser igual a la aceleración del tramo de soga vertical, por lo cual:

$\dst a_2 = \dot {\omega} \ R \quad \Rightarrow \quad \dot {\omega} = \frac {a_2}{R}$

reemplazando en la anterior:

$\dst \lambda \ L_2 \ g - \frac {I(t)} {R^2} \ a_2 = \lambda \ L_2 \ a_2$

$\dst \lambda \ L_2 \ g = \left( \lambda \ L_2 + \frac {I(t)} {R^2} \right) \ a_2$

Ahora veremos cuanto vale I(t).
Si suponemos que hay n vueltas de cuerda mas un arco de cuerda que subtiende un angulo $\beta$ alrededor de la polea, el momento de inercia respecto del centro de la polea quedara:

$\dst I(t) = \sum_{i = 1}^n \ I_i \ + \ I_{arco}$

donde:

$I_i = m_{i} \ R^2 = \lambda \ (2 \ \pi \ R) R^2 = \lambda \ 2 \ \pi \ R^3$

$\dst I_{arco}= m_{arco} \ R^2 = \lambda \ (\beta \ R) \ R^2 = \lambda \ \beta \ R^3$

y entonces queda:

$\dst I(t) = 2 \ n \ \pi \ \lambda \ R^3\ + \ \lambda \ \beta \ R^3 = (2 \ n \ \pi \ + \ \beta) \lambda \ R^3$

y como la longitud de la cuerda enrollada en la polea vale $\dst L_1 = (2 \ n \ \pi \ + \ \beta) R$ resulta que el momento de inercia es:

$\dst I(t) = L_1 \lambda \ R^2$

de la cual vemos que no hay que hacer ninguna aproximación porque no haya todas vueltas completas de soga sobre la polea.

$\dst \lambda L_2 g = \left( \lambda \ L_2 + \frac { L_1 \lambda \ R^2} {R^2} \right) \ a_2$

$\dst \lambda L_2 g = \lambda \ \left( L_2 + L_1 \right) \ a_2$

$\dst a_2 = \frac {L_2}{L_2 + L_1} g$

Como $L = L_1 + L_2$

$\boxed {\dst a_2 = \frac { L_2}{L} g}$

Es posible que algo este mal, me extraña que me de un resultado tan sencillo. Espero que me digan en que me equivoque.
Posiblemente sea un error de signos, pero sinceramente no lo encuentro.

s.e.u.o.

Suerte

[oscarmuinhos]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

Hola:

[ATTACH=CONFIG]7994[/ATTACH]

de la cual vemos que no hay que hacer ninguna aproximación porque no haya todas vueltas completas de soga sobre la polea.

Suerte

Amigo Breogán.., lo que yo decía….
Como ejercicio académico está bien…pero para esto no era necesario subirse al autobús.
Aquí, igual que yo, estás suponiendo que NO cambia el radio cualquiera que sea el número de vueltas en torno a la polea

Este resultado al que llegas yo lo di por sabido, porque se obtiene directamente de la integral por la que se define el momento de inercia respecto de un eje:
$\displaystyle \int r^2.dm = r^2 \int dm = r^2. m$ (1) ya se trate de un aro completo, ya se trate de una porción de arco, siempre que puedas saber (o puedas suponer) que el radio es constante para cada elemento de arco (de cuerda en este caso)

Y este es el momento de inercia que utilicé en la expresión de la energía cinética de la cuerda en torno a la polea:

${Ec}_{rot. cuerda enrollada en la polea} =\frac{1}{2 }I.\omega^2= \frac{1}{2}m.R^2. \omega^2$=$\frac{1}{2}\lambda (L-L_0-x).R^2.\omega^2= \frac{1}{2}\lambda (L-L_0-x).R^2.\frac{v^2}{R^2 }.....etc$


Pero el problema que entendí que planteabas con tu objeción de que había que considerar N vueltas era este otro: cuando las vueltas se sobreponen unas sobre otras

y es, para esto, para lo que supuse que esta cuerda estaba uniformemente distribuida en torno a la polea de radio R. De no ser así, habría que considerar que el radio de cada elemento de cuerda no es el mismo y no se podría haber hecho la integral (1) de la forma que se hizo y tendría el enunciado del problema que aportarnos otros datos con los que poder expresar la variación de masa en función del radio... No es así?

Y esta situación de vueltas que se sobreponen unas sobre otras (y que nos modifican el radio sin que tengamos datos en el enunciado de los que deducir como varía la masa con el radio) es la que yo dejé "cajoneada" en anteriores post...

[felmon38]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

Breogán, en la ecuación de momentos de la fuerza sobre la cuerda de la polea creo que te falta el momento del peso del trozo de cuerda "sobrante" respecto del centro de la polea.

[oscarmuinhos]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

Y, aunque a estas alturas del hilo su iniciador BigRider parece tenerlo abandonado, voy a continuar el desarrollo para mostrar que el método de energías que inicié habrá necesariamente que coincidir con el que se pueda obtener con el método de las fuerzas:

$\displaystyle E = - \frac{1}{2 }\lambda.g.(L_o + x)^2 + \frac{1}{2}\lambda (L_0 + x).\dot x^2 + \frac{1}{2}\lambda (L-L_0-x).\dot x^2$

Derivamos respecto al tiempo:

$\displaystyle 0 = -\lambda.g. (L_0 +x).\dot x + \frac{1}{ 2}\lambda\left[ \dot x.\dot x^2 + (L_0 + x).2.\dot x.\ddot x\right]+ \frac{1}{2}\lambda[-\dot x.\dot x^2 + (L-L_0 - x).2.\dot x.\ddot x]$

Operando y cancelando términos:
$\displaystyle 0 = -\lambda.g.(L_0+x)+\lambda(L_0+x).\ddot x + \lambda (L -L_0 - x).\ddot x$

Cancelando de nuevo términos:
$\displaystyle 0 = -\lambda.g.(L_0 + x) + \lambda.L.\ddot x$

O finalmente:
$\displaystyle \ddot x = \frac{(L_0 + x)}{L }.g$

Esta sería la ecuación diferencial del movimiento.

Integrando esta ecuación diferencial obtendremos la ecuación horaria del movimiento

[Breogan]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

Hola:

Aquí, igual que yo, estás suponiendo que NO cambia el radio cualquiera que sea el número de vueltas en torno a la polea

Que las vueltas se apilen o no es una hipótesis de trabajo (equivocada o no), que no necesita ninguna demostración

Este resultado al que llegas yo lo di por sabido, porque se obtiene directamente de la integral por la que se define el momento de inercia respecto de un eje:
(1) ya se trate de un aro completo, ya se trate de una porción de arco, siempre que puedas saber (o puedas suponer) que el radio es constante para cada elemento de arco (de cuerda en este caso)

Esta es la demostración de que en base a la hipótesis de trabajo, no es necesaria ninguna aproximación en el momento de inercia de la cuerda enrollada en la polea por la existencia de la vuelta no completa. Concuerdo con vos en que resulta evidente (después de hacerla), sinceramente no me acordaba del momento de inercia de un arco. Aprendí algo mas. Gracias

Breogán, en la ecuación de momentos de la fuerza sobre la cuerda de la polea creo que te falta el momento del peso del trozo de cuerda "sobrante" respecto del centro de la polea.

Gracias, tenes toda la razón. Despreciarlo fue una aproximación que hice involuntariamente a partir de mi pobre análisis del problema, habría que plantearlo y ver a partir de que valor de la masa de la cuerda colgante se hace totalmente despreciable. Gracias.

Suerte

[oscarmuinhos]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

Hola Breogan

Hola:

$\dst I(t) = \sum_{i = 1}^n \ I_i \ + \ I_{arco}$

donde:

$I_i = m_{i} \ R^2 = \lambda \ (2 \ \pi \ R) R^2 = \lambda \ 2 \ \pi \ R^3$

$\dst I_{arco}= m_{arco} \ R^2 = \lambda \ (\beta \ R) \ R^2 = \lambda \ \beta \ R^3$

Suerte

$\dst I_{arco}= m_{arco} \ R^2$

Como ves, tú partiste de lo mismo que utilicé yo desde el principio....Pero, a continuación, te entretuviste poniéndolo primero en función del ángulo para luego volver al mismo sitio, pero expresándolo en función de la densidad lineal...

Y, como no podía ser de otra manera, el método de las fuerzas que utilizaste tú y el método de la energía conducen al mismo resultado.

Saludos

[BigRider]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

Siento haber tardado en contestar chicos. Pero he estado leyendo y la verdad que he llegado a la misma solución que Breogan. El problema se simplificaba mucho si suponiamos que cuando la polea empieza a girar lo que cuelga es un trozo de cuerda de longitud l(t). Ya digo que el resultado es el mismo que el de Breogán, y si no me he equivocado en los cálculos y resuelves la ecuación diferencial las constantes que salen suponiendo que inicialmente la posición para t=0 es lo y la velocidad 0, son c1=c2=lo/2.

- - - Actualizado - - -

Os adjunto mi solución, por si quereis echarle un ojo.
Una vez más, muchísimas gracias a todos por vuestros aportes.

[felmon38]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

BigRider, la ecuación de momentos está mal porque no has considerado el momento del peso de la cuerda enrollada respecto del centro de la polea, ya que el c.d.g. de la cuerda no coincide con él y por lo tanto no es nulo. Saludos

[BigRider]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

según el enunciado. Cuando cuelga lo el sistema está en equilibrio. Y cuando empieza a moverse si que lo he tenido en cuenta. O al menos eso he intentado hacer. Mi conclusión, es que dado el segundo apartado del enunciado, el echo de llegar a la ecuación diferencial que me sale es indicio de que por ahí deben de ir los tiros.

[clairaut]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

Tal y como lo veo, una solucion seria la siguiente:

si consideramos${L}_{0 }$ la longitud inicial de cuerda enrrollada , la que pende de la polea sera L-${L}_{0 }$ , entonces, la suma de energias cineticas y de la potencial, poniendo la referencia de la energia potencial en el centro de la polea :

$\frac{1}{ 2}\lambda{L}_{0 }{R}^{2 }{\omega}^{2 }$-$\frac{1}{4 }\lambda{\left( L-{L}_{0 } \right)}g$+$\frac{1}{ 2}\lambda\left( L-{L}_{ 0} \right){V}^{ 2}$=0

donde el primer termino es la energia cinetica de rotacion de la polea, el segundo es la energia potencial correspondiente al fragmento de cuerda que esta fuera de la polea y el tercero la energia cinetica del fragmento de cuerda que cuelga. Tenemos que V = $\omega$R y entonces podemos despejar V en funcion de ${L}_{0 }$ se toma cero como la suma de las energias ya que cuaando esta enrollada toda la cuerda en la polea las velocidades son cero y la energia potencial tambien es cero

[oscarmuinhos]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

Tal y como lo veo, una solucion seria la siguiente:

si consideramos${L}_{0 }$ la longitud inicial de cuerda enrrollada , la que pende de la polea sera L-${L}_{0 }$ , entonces, la suma de energias cineticas y de la potencial, poniendo la referencia de la energia potencial en el centro de la polea :

$\frac{1}{ 2}\lambda{L}_{0 }{R}^{2 }{\omega}^{2 }$-$\frac{1}{4 }\lambda{\left( L-{L}_{0 } \right)}g$+$\frac{1}{ 2}\lambda\left( L-{L}_{ 0} \right){V}^{ 2}$=0

donde el primer termino es la energia cinetica de rotacion de la polea, el segundo es la energia potencial correspondiente al fragmento de cuerda que esta fuera de la polea y el tercero la energia cinetica del fragmento de cuerda que cuelga. Tenemos que V = $\omega$R y entonces podemos despejar V en funcion de ${L}_{0 }$ se toma cero como la suma de las energias ya que cuaando esta enrollada toda la cuerda en la polea las velocidades son cero y la energia potencial tambien es cero

Hola Clairaut
Dos objecciones:
una: la expresión de la energía potencial del trozo de cuerda que cuelga (al que tú llamas $L - L_0$) creo que no está bien: no entiendo de donde te viene el factor 1/4 ni porque $(L-L_0)$ lo pones elevado a 1 en lugar de estar elevado 2;

dos: despejando la velocidad de esa ecuación de la energía tal como la tienes (en la que habría que incluir la energía potencial inicial en lugar del cero), lo que obtienes es solamente la velocidad en el instante inicial, no la velocidad en función del tiempo que sería lo que habría que tener para derivar y tener la ecuación del movimiento (o integrar para obtener el espacio recorrido en función del tiempo)

Un saludo

[clairaut]

Re: Polea que gira con cuerda de masa NO despreciable

hola, Es cierto, he tomado la cuerda que cuelga por la que esta enrollada, y si, el factor correcto en la energia potencial del trozo de cuerda que cuelga es $\frac{1}{2 }$ que corresponde a la posicion del centro de masa, el exponente tampoco es uno, la expresion correcta debe ser $\frac{1}{ 2} \lambda {{L}_{0 }}^{ 2} g$, tambien hay que cambiar la expresion de la energia cinetica de rotacion y la energia cinetica del trozo de cuerda que cuelga porque la cantidad de hilo enrollado es $L - {L}_{0 }$, y el que cuelga es ${L}_{ 0}$

En cuanto a lo que da de si la ecuacion al despejar es V en funcion de la cantidad de cuerda desenrollada ${L}_{ 0}$ y la energia total cuando toda la cuerda esta enrollada sera cero si tomamos como origen de energia potencial el centro de la polea,