Divulgación Consulta sobre caida gravitacional.

[inakigarber]

Buenas noches.
Os planteo el siguiente problema que me tiene perplejo.
"Una Bola A se suelta desde lo alto de un edificio en el mismo instante en que otra bola B se lanza verticalmente hacia arriba desde el suelo. Cuando ambas bolas se encuentran, ambas se mueven en sentido contrario y la velocidad de la bola es dos veces la velocidad de la bola B. ¿En que fracción de la altura del edificio ocurre el encuentro?
Solución $=\boxed{\frac{2h}{3}}$
Pues a mi no me sale.
Vayamos por partes.

$$V_a=gt$$

$$E_a=\frac{gt^2}{2}$$

$$V_b=V_o-gt$$

$$E_b=V_ot-\frac{gt^2}{2}$$

Como sabemos que en el instante de encuentro $V_a=2V_b$
Tendremos que;$gt=2V_o-2gt$
Despejando;

$$t_e=\frac{2v_o}{3g}$$

El espacio caído por la bola (a) para ese tiempo será;

$$E_a=\frac{2V_o^2}{9g}$$

$$E_b=\frac{2V_o^2}{3g}-\frac{2V_o^2}{9g}=\frac{4V_o^2}{9g}$$

con lo cual

$$\frac{E_b}{E_a}=\frac{1}{2}$$

Lo cual no me coincide con el resultado. ¿Dónde meto la pata? ¿acaso he entendido mal el enunciado?

Un saludo y gracias.

[oscarmuinhos]

Re: Consulta sobre caida gravitacional.

Hola iñaki
Lo tienes bien, solo que operas mal al calcular la relación $E_b$/$E_a$ que pones tú y no acabas de concluir en relación a la pregunta que te hacen.
Tu obtienes efectivamente (si hubieses operado bien al calcular la relación entre espacios de una y otra bola) que el espacio que recorre B (bola que se lanza verticalmente hacia arriba) es doble del que recorre A (la bola que cae). Así pues, si llamas $h_B$ a la altura en que se encuentran que es el espacio que recorrió hacia arriba la bola B, el espacio recorrido por la bola A hacia abajo será $\dst \frac{h_B}{2}$

La suma de estos dos recorrido será, naturalmente, la altura h del edificio: $\dst \frac{h_B}{2} + h_B = h$ y de aquí obtienes $\dst h_B = \frac{2}{3}h$

[inakigarber]

Re: Consulta sobre caida gravitacional.

Hola iñaki
Lo tienes bien, solo que operas mal al calcular la relación $E_b$/$E_a$ que pones tú y no acabas de concluir en relación a la pregunta que te hacen.
Tu obtienes efectivamente (si hubieses operado bien al calcular la relación entre espacios de una y otra bola) que el espacio que recorre B (bola que se lanza verticalmente hacia arriba) es doble del que recorre A (la bola que cae). Así pues, si llamas $h_B$ a la altura en que se encuentran que es el espacio que recorrió hacia arriba la bola B, el espacio recorrido por la bola A hacia abajo será $\dst \frac{h_B}{2}$

La suma de estos dos recorrido será, naturalmente, la altura h del edificio: $\dst \frac{h_B}{2} + h_B = h$ y de aquí obtienes $\dst h_B = \frac{2}{3}h$

Muchas gracias.
A veces me empeño en no resolver los problemas que ya he resuelto y lo consigo. Era evidente que si una de la bola ascendente recorre un camino doble que la descendente, siendo la suma de ambos recorridos el total, la bola ascendente recorrerá 2/3 y la descendente el tercio que resta. Pero bueno, es que a veces me empeño en no ver lo obvio.
Un saludo y gracias.