2o ciclo Puede el centro de masas de un cuerpo variar con el tiempo?

[hyfykhf]

Alguien puede demostrarme porque esto es cierto?: la energía potencial gravitacional asociada a cualquier cuerpo extendido de masa M, rígido o no, es la misma que si sustituimos el cuerpo por una partícula de masa M situada en el centro de masa del cuerpo. La cosa es que yo me pregunto que sucede con los objetos en los que la posición del centro de masas no es constante, es decir imaginemos que debido a la acción de una fuerza externa (aunque siento predilección porque sea una fuerza interna) un objeto en caida libre de densidad no uniforme va cambiando su forma de modo que la geometría del objeto cambia mientras cae. Entonces la posición del centro de masas se vería afectada por la nueva disposición de las partículas que componen el cuerpo. El centro de masas estaría más cerca de las partículas con mayor masa(me refiero a la pertícula como elementos de masa determinada, no hago alusión a los átomos que componen el cuerpo ni nada por el estilo). Si el centro de masas se situa en un instante a una altura h, y tras un tiempo dt el objeto ha caido un distacia dx y sin embargo la posición del centro de masas a cambiado y ahora de encuentra a una distancia k, talque h-k es mucho mayor que dx, si aplicamos la suposición del principio y reducimos el cuerpo de centro de masas variable a partícula no sería como suponer que la partícula que se "teletransporto" en el intervalo dt desde la posición h hasta h-(k+dx)??? cosa que sería imposible por la ley de la conservación de la energía!!!. Esta claro que si el solido es rígido el centro de masas es constante y esto no ocurre, mi problema es cuando la libertad de movimiento de los elementos que componen el cuerpo que cae permite que la posición del centro de masas varíe. ¿se podría decir que la energía potencial se invirtio en el caso de que la fuerza sea interna en el cambio de forma, y en el caso de que sea externa....?

PD:eguro que he cometido algún error basico y mi problema tiene una solución sencilla sin embargo no lo consigo entender, me gustaría que expresen su opinión acerca de que es lo que creen que sucede realmente.
PD:Yo me imagino que lo que cae es una bola y que dentro tiene tiene un dispositivo capaz de cambiar la geometría de la bola a un rectángulo a ocuadrado etc...

[teclado]

Re: Puede el centro de masas de un cuerpo variar con el tiempo?

En el movimiento de caída libre el centro de masas siempre seguirá una trayectoria parabólica independientemente de las fuerzas internas que haya. La deformación moverá las masas que compongan el objeto, pero el centro de masas siempre será el mismo, pues no hay más fuerzas externas que la gravitatoria, que es independiente de la posición de cada partícula. Si por ejemplo se tiene una gota de agua que vibra estirándose y comprimiéndose se estirará y comprimirá de forma simétrica manteniendo el centro de masas en la misma posición (en su trayectoria de caída libre), y en ningún caso un objeto se podrá deformar moviendo su centro de masas a no ser que actúe alguna fuerza externa.

Si hay alguna fuerza externa, entonces la cosa cambia de acuerdo con esa fuerza y hay que ver cómo afecta ésta a cada masa que componga el objeto y luego calcular el centro de masas para saber su trayectoria. Volviendo al mismo ejemplo de la caída de una gota de agua, si se incluye en el problema un viento lateral dado, este actuará sobre la superficie de la gota, deformándola, pero a la vez moviéndola, de modo que la trayectoria del centro de masas es otra.

No se si me he explicado bien ni si esto contesta tus dudas, pero espero que te ayude.

[hyfykhf]

Re: Puede el centro de masas de un cuerpo variar con el tiempo?

Si por ejemplo se tiene una gota de agua que vibra estirándose y comprimiéndose se estirará y comprimirá de forma simétrica manteniendo el centro de masas en la misma posición (en su trayectoria de caída libre), y en ningún caso un objeto se podrá deformar moviendo su centro de masas a no ser que actúe alguna fuerza externa.

Sinceramente el concepto de deformación simétrica ni se me había pasado por la cabeza, gracias de antemano por la idea. He de suponer que la deformación de la gota se debe a la fricción del aire,es decir, es el origen de estas vibraciones, sin embargo, en este caso si existe deformación en el cuerpo también existe una variación en su energía mecánica y por tanto en la energía interna, es decir, fuerzas externas diferentes a la gravitatoria como puede ser el rozamiento que realiza un trabajo sobre el cuerpo deformándolo y calentántolo,y provocan que la gota de agua pase de su estado de mínima energía (una esfera perfecta) a la versión deformada que mencionas. Desde mi punto de vista el ejemplo de la gota que cambia forma a medida que cae en ausencia de viento y el ejemplo de la gota que cae deformandose de forma digamos asimétrica (para diferenciarlo del anterior) tienen en común la necesidad de una fuerza externa que produzca la deformación. Otra posible solución a la deformación es que la gota cambie de forma debido a que las moléculas que la componen experimentan una fuerza atractiva diferen(pero no creo que este situación se pueda dar en una gota de agua). Me puedes aclarar que es lo que produce las vibraciones que provocan el cambio en la forma de la gota???

Por otro lado, como no estoy famirializado con lo que implicaría un cambio en la trayectoria del centro de masas de la gota debido al viento, me gustaría saber que es lo que implica esta cambio de trayectoria

Saludos.

[teclado]

Re: Puede el centro de masas de un cuerpo variar con el tiempo?

He releído tu primer post y la demostración de la que hablas es muy sencilla. La energía potencial gravitatoria de una partícula es:
$V(z)=mgz$
Y como cumple el principio de superposición, la de una distribución de masas (puntuales, aunque la demostración para cuerpos contínuos es la misma, sustituyendo la sumatoria por una integral) será:
$V(z_1,z_2,...,z_n)=\sum_{k=1}^nm_kgz_k$
Que sacando factor común la $g$ queda
$V(z_1,z_2,...,z_n)=g\sum_{k=1}^nm_kz_k$
Que multiplicando por $1=\frac{\sum_{k=1}^n m_k}{\sum_{k=1}^n m_k}$ queda:
$V(z_1,z_2,...,z_n)=gM\frac{\sum_{k=1}^nm_kz_k}{M}$
$M=\sum_{k=1}^nm_k$ es la masa total, y $\frac{\sum_{k=1}^nm_kz_k}{M}$ no es otra cosa que la coordenada $z$ del centro de masas del sistema.

Me puedes aclarar que es lo que produce las vibraciones que provocan el cambio en la forma de la gota???

Las vibraciones a las que me refería son vibraciones que la gota de agua ya tenía antes de empezar a caer en el vacío (en ausencia de fuerzas externas), que deforman de forma periódica la gota debido a su propia energía interna y pueden deberse a cualquier fenómeno que actuara sobre la gota antes de empezar el experimento, como la deformación inicial al desprenderse de un cuentagotas.

Por otro lado, como no estoy famirializado con lo que implicaría un cambio en la trayectoria del centro de masas de la gota debido al viento, me gustaría saber que es lo que implica esta cambio de trayectoria

La trayectoria del centro de masas es su posición en cada momento, éste puede moverse, o mejor dicho acelerarse (el CM en ausencia de fuerzas externas sigue un movimiento rectilíneo uniforme), por la acción de cualquier fuerza externa, ya sea gravitatoria o de rozamiento y puede deberse desde a que el objeto se mueva como un todo hasta a que se parta en dos o más trozos que se muevan con distintas velocidades.

[hyfykhf]

Re: Puede el centro de masas de un cuerpo variar con el tiempo?

Gracias la demostración me ha quedado clara.

He comprendido mi error, supuse que el objeto cambiaba su geometría de forma instantánea. De este modo el cuerpo de un instante a otro tendría un centro de masas en una posición distinta que al siguiende, de ahí lo de "teletransportarse". Sin embargo cuando he visto tu demostración he comprendido que a medida que el objeto va cambiando de forma se puede asociar a su centro de masas un desplazamiento añadido que habría que tener en cuenta y en consecuencia una velocidad asociada a este desplazamiento. De forma que nada aparece desaparece en un lugar y vuelva a aprecer en otro jajaja.

Cambiando el tema, ya que mi duda ha sido resuelta, y esto es un punto de vista un tanto sutil, si suponemos que la gota ya estaba vibrando sea por la acción del cuenta gotas o cualquier otra razón en realidad cuando cae al vacio en ausencia de fuerzas externas no cambiaría su centro de masas y no sufriría ninguna deformación correcto??, de modo que este ejemplo no sería aplicable a la suposición inicial de que el cuerpo se deforma al caer.

DE NUEVO GRACIAS POR SOLUCIONAR MI DUDA

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Gracias la demostración me ha quedado clara.

He comprendido mi error, supuse que el objeto cambiaba su geometría de forma instantánea. De este modo el cuerpo de un instante a otro tendría un centro de masas en una posición distinta que al siguiende, de ahí lo de "teletransportarse". Sin embargo cuando he visto tu demostración he comprendido que a medida que el objeto va cambiando de forma se puede asociar a su centro de masas un desplazamiento añadido que habría que tener en cuenta y en consecuencia una velocidad asociada a este desplazamiento. De forma que nada aparece desaparece en un lugar y vuelva a aprecer en otro jajaja.

Cambiando el tema, ya que mi duda ha sido resuelta, y esto es un punto de vista un tanto sutil, si suponemos que la gota ya estaba vibrando sea por la acción del cuenta gotas o cualquier otra razón en realidad cuando cae al vacio en ausencia de fuerzas externas no cambiaría su centro de masas y no sufriría ninguna deformación correcto??, de modo que este ejemplo no sería aplicable a la suposición inicial de que el cuerpo se deforma al caer.

DE NUEVO GRACIAS POR SOLUCIONAR MI DUDA

[teclado]

Re: Puede el centro de masas de un cuerpo variar con el tiempo?

Cambiando el tema, ya que mi duda ha sido resuelta, y esto es un punto de vista un tanto sutil, si suponemos que la gota ya estaba vibrando sea por la acción del cuenta gotas o cualquier otra razón en realidad cuando cae al vacio en ausencia de fuerzas externas no cambiaría su centro de masas y no sufriría ninguna deformación correcto??, de modo que este ejemplo no sería aplicable a la suposición inicial de que el cuerpo se deforma al caer.

Sólo un apunte: Al caer en el vacío su centro de masas sigue la trayectoria de una partícula puntual en caída libre y la vibración no afecta a esto, pero ¡la gota sí se deforma de acuerdo con la vibración!