Divulgación Consulta soble el centro de masas de un cono

[inakigarber]

Buenas tardes.
Os planteo el siguiente problema en el que estoy algo perdido. Se trata de calcular el centro de masas de un cono. La solución es

$$C_m= \frac{H}{4}$$

Siendo H la altura del cono.
Para intentar resolverlo he partido del siguiente razonamiento. El cono es simétrico y homogéneo por lo que su centro de masas coincidirá con su eje de simetría. Podemos considerar también que en un campo gravitatorio homogéneo centro de masas y centro de gravedad coincidirán. He supuesto, también el cono como una superposición de triángulos girados el uno respecto al otro un ángulo infinitesimal. He supuesto, también (no se si acertadamente) que el centro de masas de cada uno de estos triángulos coincidiría con el centro de masas del cono. He tratado de calcular dicho centro.


Para ello he partido de que el centro de masas es el punto que divide el triangulo en dos masas iguales $m_1,m_2$. La masa total del triangulo sería.

$$M_t=RH\rho$$

$$m_1=\frac{RH\rho}{2}=rh\rho$$

dado que ambos triángulos son semejantes entonces obtengo;

$$h=\frac{H}{\sqrt{2}}$$

Que no es el resultado que indicaba al principio.

Por otra parte quisiera también aprender algo sobre el uso de integrales en este tipo de cálculos. Ya que se plantea para calcular el volumen del cono

$$\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{a} \int_{0}^{{-\frac{hr}{a}+h}} \!\rho \dz\dr dx d\varphi$$

Estoy un tanto perdido con este tipo de integrales y quisiera algún consejo que me sirva para aprender yo el como resolver este tipo de problemas por mi mismo.

Un saludo y gracias.
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P.D. en esta ultima formula el radio de la base es a, (Yo en mi gráfico he puesto como R)

[Al2000]

Re: Consulta soble el centro de masas de un cono

Esa definición de centro de masa no me convence mucho. Calcula la posición del centro de masa como

$$y_{cm} = \frac {\dst \int_{0}^{H}\!\! y\, dm}{\dst \int_{0}^{H}\!\! dm}$$

tomando por comodidad discos de grosor infinitesimal $dy$ a la altura $y$ sobre la base. La masa de uno de estos discos es $\dst dm = \pi r^2 \, dy$, siendo $\dst r = \frac R H (H-y)$ el radio del disco.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Umbopa]

Re: Consulta soble el centro de masas de un cono

Creo que suponer que el centro de masas divide el triángulo grande en dos triángulos con la misma masa es una falacia. Te recomiendo que hagas la integral que dice Al que es sencillita.

[inakigarber]

Re: Consulta soble el centro de masas de un cono

Creo que suponer que el centro de masas divide el triángulo grande en dos triángulos con la misma masa es una falacia. Te recomiendo que hagas la integral que dice Al que es sencillita.

No estoy seguro de que mi afirmación sea cierta, pero tampoco estoy seguro de lo contrario. Estoy hecho un lio.

[visitante20160513]

Re: Consulta soble el centro de masas de un cono

Vamos a ver, el vector de posición del centro de masas de un cuerpo geométrico homogéneo (centroide) por definición es:

$\vec G=\displaystyle\frac{1}{\tau}\displaystyle\iiint_\tau \vec rd\tau$

integral que se encuentra extendida a todo el volumen, $\tau$, ocupado por el cuerpo. En el caso que nos ocupa es el volumen ocupado por el cono supuesto éste macizo.

¿De cuantas formas podemos resolver esta integral? Pues de muchas, pero todas nos deben conducir al mismo punto.