Energía mecánica

[felmon38]

Re: Energía mecánica

Higgs, para mí v_x es un escalar y no tiene sentido que le pongas una flecha encima.

[ADarkPerson]

Re: Energía mecánica

No sé, me ha parecido útil porque si suponemos que $v = |\vec{v}|$ y ponemos un vector según sus componentes, como por ejemplo, $\vec{v}= {v}_{x}\vec{i} + {v}_{y}\vec{j} + {v}_{z}\vec{k}$, estaríamos obligándolo a tener todas sus componentes positivas ya que, como tú has dicho, el módulo debe ser positivo; pero si, por el contrario, lo ponemos con el otro criterio, $v = \pm |\vec{v}|$, las componentes ya tienen "libertad" para ser positivas o negativas.

Según creo, el signo de las componentes no influye en el signo del módulo. De hecho, al calcular el módulo, todas las componentes son elevadas al cuadrado, por lo que no importará su signo (recuerda que todo número real elevado al cuadrado dará como resultado un número positivo, por lo que siempre será posible calcular el módulo de un vector, tengan sus componentes el signo que tengan).
Lo de poner que el módulo de un vector es positivo o negativo me parece que es una "artimaña" que se hace cuando se quiere evitar el uso de vectores. De forma estricta, el módulo sólo puede ser positivo.

Respecto a lo de si se pueden integrar o no vectores, opino (aunque no estoy para nada seguro de esto) que sí que se puede. Lo único que ocurre es que se ha definido la integral de un vector como un vector en el que cada una de las componentes se obtiene integrando las correspondientes del primero.
Pero decir que por esa razón no existe la integral de un vectores es, a mi entender, como decir que no existe el producto escalar de dos vectores porque al calcularlo lo único que se hace realmente es multiplicar números reales. Y lo mismo para el producto vectorial, la derivada de un vector...

[The Higgs Particle]

Re: Energía mecánica

Gracias a todos por contestar. Comprendo por qué está mal la parte que he puesto; el módulo $F$ debe ser positivo.

Si $\vec{F} = - (mg) \vec{j}$ $\to W = \dst\int \limits_{a}^{b} -mg\vec{j} \cdot d\vec{r} = -mg \cdot \dst\int \limits_{{y}_{a }}^{{y}_{b }} (\vec{j} \cdot {dr}_{y }\vec{j}) = -mg \cdot \dst\int \limits_{{y}_{a }}^{{y}_{b }} (1 \cdot dy)=-mg \cdot ({y}_{b } - {y}_{a })$

[Umbopa]

Re: Energía mecánica

Pues, muestrame un ejemplo en donde integras un vector. Decir que los vectores se integran componente por componente, que es o que yo mencioné al principio, es debido a que el integrando de una integral debe ser una magnitud escalar.

Tu argumento no tiene sentido. Es como si yo te digo que solo se puede sumar escalares los vectores no se pueden sumar. Como los vectores se suman componente a componente la suma de vectores no existe solo la suma de escalares.

[ADarkPerson]

Re: Energía mecánica

Es decir, que eso sólo es válido para las componentes, ¿no?

Y todo esto me ha hecho que me surja la duda sobre lo que he puesto antes, si expresamos un vector como $\vec{v}= {v}_{x}\vec{i} + {v}_{y}\vec{j} + {v}_{z}\vec{k}$ pero suponemos que $v = |\vec{v}|$, entonces no damos lugar a que las componentes sean negativas, ya que ${v}_{x } = |\vec{{v}_{x }}|$ y $|\vec{{v}_{x }}| \geqslant 0$.

Aquí yo creo que el problema está en que:
$\vec{{v}_{x }}={v}_{x}\vec{i}\to\left\vert{} \vec{{v}_{x }} \right\vert{}=\sqrt{({v}_{x })^2}=\left\vert{{v}_{x }} \right\vert{}$
Es decir, el módulo del vector $\vec{{v}_{x }}$ coincide con el valor absoluto de la componente ${v}_{x }$.

[Weip]

Re: Energía mecánica

Pues, muestrame un ejemplo en donde integras un vector. Decir que los vectores se integran componente por componente, que es o que yo mencioné al principio, es debido a que el integrando de una integral debe ser una magnitud escalar. Por ejemplo físicamente:

$\dst \vec{v}(t) = < {v}_{x}(t), {v}_{y}(t), {v}_{z}(t)> = < \int {a}_{x} dt , \int {a}_{y} dt , \int {a}_{z} dt >$

Los valores ${a}_{x} , {a}_{y}, {a}_{z}$ , por más que sean componentes de un vector son magnitudes escalar. Al igual que las componentes de $\vec{v}$

${v}_{x}(t)=\int {a}_{x} dt$ ; ${v}_{y}(t)=\int {a}_{y} dt$ ; ${v}_{z}(t)=\int {a}_{z} dt$

Lo que has puesto está bien. Pero cuidado, la notación por componentes es solo eso, notación. Las componentes surgen por no ir arrastrando la combinación lineal por todas las expresiones. Además, los integrandos no tienen porqué ser escalares. Han de ser funciones. Da igual si escalares o vectoriales (o lo que quieras).

Lo que te voy a mostrar ya lo sabes, y es lo mismo que has puesto tú, en el fondo. Usaré vectores cualesquiera. Las letras serán las típicas, pero por no empezar a inventarme notación mejor así.

Empecemos. Sea $\vec{v}(t)=v_x\vec{i}+v_y\vec{j}+v_z\vec{k}$ un vector de $\mathbb{R}^3$ expresado en la base habitual de $\mathbb{R}^3$. Los ${v_x, v_y, v_z}$ son parámetros. Asumiremos que es integrable Riemann (total en el 99% de casos lo será). Tenemos que (pondré una gamma porque últimamente no sé que hago pero los límites de integración no me salen bien en latex):

$\dst\int_\gamma \vec{v}(t)dt=\dst\int_\gamma (v_x\vec{i}+v_y\vec{j}+v_z\vec{k})dt$

Usando las propiedades de las integrales:

$\dst\int_\gamma (v_x\vec{i}+v_y\vec{j}+v_z\vec{k})dt=\dst\int_\gamma v_x\vec{i}dt+\dst\int_\gamma v_y\vec{j}dt+\dst\int_\gamma v_z\vec{k}dt$

Obviamente esto es equivalente a lo que has explicado, pero el problema es conceptual. Las integrales aceptan funciones. Y en el ejemplo de la velocidad, este vector es una función.

Por último, el que se pueda integrar componente a componente se demuestra con la explicación de este mensaje. Lo aclaro por si acaso.

[ADarkPerson]

Re: Energía mecánica

No sé casi nada sobre integrales de este tipo, pero en mi opinión el problema no se soluciona con lo que has dicho. En esta integral [FONT=Verdana]$\dst\int_\gamma v_x\vec{i}dt$ [/FONT]sigue habiendo un vector sometido a la operación...

Además, por lo que he podido entender has utilizado una propiedad en principio de las integrales de funciones escalares para demostrar que se puede hacer una integral de una función vectorial. No entiendo por qué el hecho de que la integral de una suma de escalares sea igual a las integrales de cada uno de los sumados, debe implicar que para la suma de vectores también se cumplirá.
PD: Espero no estar diciendo ninguna barbaridad, en cualquier caso corregidme para así aclarme yo también

[Julián]

Re: Energía mecánica

Weip estamos diciendo lo mismo, en todo caso la expresión

$\dst {\int}_{\gamma} ({v}_{x}\hat{\imath} + {v}_{y}\hat{\jmath} + {v}_{z} \hat{k}) dt$

Es simbólica, se opera de la siguiente manera:

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

En donde los integrandos son escalares (funciones escalares) siendo la suma de cada una lo que constituye la función vectorial. Pero dentro de un integrando no se puede operar la integral con una función vectorial.

No sé casi nada sobre integrales de este tipo, pero en mi opinión el problema no se soluciona con lo que has dicho. En esta integral [FONT=Verdana] [/FONT]sigue habiendo un vector

Observa que el versor va fuera del integrando.

En cuanto a un módulo siempre es positivo porque es la norma del vector, es decir, su longitud y una longitud no puede ser negativa. Por más que un vector sea $\vec{a}= -5 \hat {i}$, el signo menos representa el sentido opuesto a $\hat{i}$.

[Weip]

Re: Energía mecánica

Además, por lo que he podido entender has utilizado una propiedad en principio de las integrales de funciones escalares para demostrar que se puede hacer una integral de una función vectorial. No entiendo por qué el hecho de que la integral de una suma de escalares sea igual a las integrales de cada uno de los sumados, debe implicar que para la suma de vectores también se cumplirá.
PD: Espero no estar diciendo ninguna barbaridad, en cualquier caso corregidme para así aclarme yo también

No no, la propiedad que he usado es que la integral de la suma es suma de integrales. Repito lo dicho: los integrandos no tienen porqué ser funciones escalares, pueden ser del tipo que quieras. La única condición que han de cumplir es la obvia: ser funciones integrables Riemann. Si ves la construcción de la integral de Riemann, observa que es muy general, en el sentido que puedes integrar funciones de cualquier tipo.

Weip estamos diciendo lo mismo,

Sí, lo sé, pero he querido explicitarlo todo por si acaso. El punto importante es que los integrandos son funciones.

Por supuesto, todo esto es generalizable a otro tipos de integral, como la impropia, que también se usa mucho en física.

Edito: Aún con estos argumentos tenéis dudas, así que dejarme explicarme de otra forma. Considerad un vector con las condiciones anteriores. Por poner un ejemplo claro, suponed que quiero calcular esta integral:

$\dst {\int}_{\gamma} e^{\vec{v}} (\vec{v})' d\vec{v}$

Aquí ya no hay componentes ni combinaciones lineales, no son necesarias. El cálculo integral como teoría me asegura la igualdad (de nuevo pongo una gamma por los motivos que he dicho anteriormente):

$\dst {\int}_{\gamma} e^{\vec{v}} (\vec{v})' d\vec{v}=\left[ e^{\vec{v}} \right]_\gamma$

Y todos sabemos que esta igualdad es cierta. También sabemos que no hace falta ni componentes ni combinaciones lineales ni escalares para demostrarla, es igual de válida tanto para la función $f(x)=x$ como para la función del integrando. Es más, considerando integrales indefinidas esto es más sencillo de demostrar (tan sólo hay que provar que la derivación tiene inversa, la integral indefinida, y listo).

Si os sigue sin convencer, ya se me ocurrirá otra manera de explicarlo. La clave es que la función a integrar puede ser lo que queramos dentro de ciertos límites, y en estos límites entra la posibilidad de que la función sea un vector (y cosas más "exóticas").

[Julián]

Re: Energía mecánica

Te hago una proposición, demuestra una forma de integrar una función vectorial en cuanto a la operatoria y no apliques la propiedad de la suma, de maneras que integres el vector. Pues obviamente lo que harás integrar cada función escalar, donde dichas funciones escalares son las componentes de la función vectorial.

Sea $\vec{v} \in {R}^{2} / \vec{v}(t)= < {v}_{1}(t) ; {v}_{2}(t) > \wedge t = \{ a, b \}$

$\Delta t = \frac{b-a}{n }$

$\dst \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 0}^{n} \vec {v} (a + i (\frac{b-a}{n }) t )$ (1)

La expresión anterior expresa que la integral es la sumatoria de vectores en la partición de t cuando dicha partición tiende a infinitos términos. Pero ¿cómo se suman los vectores? Los mismo deben ser de la misma dimensión y la operación suma en el espacio vectorial está definida de manera que:

Sea : $\vec{a} = <{a}_{1} ; {a}_{2}>$ $\vec{b} = <{b}_{1} ; {b}_{2}>$

La suma es : $\vec{a} + \vec {b} = < {a}_{1} + {b}_{1} ; {a}_{2} + {b}_{2} >$

Como una integral no es más que una sumatoria de vectores, dicho de manera burda, entonces la única forma de resolverlo es:

$\dst \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 0}^{n} \vec {v} (a + i (\frac{b-a}{n }) t ) = \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 0}^{n} {v}_{1} (a + i (\frac{b-a}{n }) t ) + \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 0}^{n} {v}_{2} (a + i (\frac{b-a}{n }) t )$

$\dst {\int}_{a}^{b} \vec{v} dt = {\int}_{a}^{b} {v}_{1} dt ; {\int}_{a}^{b} {v}_{2} dt >$

Porque solo las componentes en una misma coordenada se suman. Pero como se ve si se pueden integrar vectores, integrando cada uno de sus funciones componentes, las cuales son escalares (por lo menos hasta donde nos compete)

[Weip]

Re: Energía mecánica

Te hago una proposición, demuestra una forma de integrar una función vectorial en cuanto a la operatoria y no apliques la propiedad de la suma, de maneras que integres el vector. Pues obviamente lo que harás integrar cada función escalar, donde dichas funciones escalares son las componentes de la función vectorial.

Sea $\vec{v} \in {R}^{2} / \vec{v}(t)= < {v}_{1}(t) ; {v}_{2}(t) > \wedge t = \{ a, b \}$

$\Delta t = \frac{b-a}{n }$

$\dst \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 0}^{n} \vec {v} (a + i (\frac{b-a}{n }) t )$ (1)

La expresión anterior expresa que la integral es la sumatoria de vectores en la partición de t cuando dicha partición tiende a infinitos términos. Pero ¿cómo se suman los vectores? Los mismo deben ser de la misma dimensión y la operación suma en el espacio vectorial está definida de manera que:

Sea : $\vec{a} = <{a}_{1} ; {a}_{2}>$ $\vec{b} = <{b}_{1} ; {b}_{2}>$

La suma es : $\vec{a} + \vec {b} = < {a}_{1} + {b}_{1} ; {a}_{2} + {b}_{2} >$

Como una integral no es más que una sumatoria de vectores, dicho de manera burda, entonces la única forma de resolverlo es:

$\dst \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 0}^{n} \vec {v} (a + i (\frac{b-a}{n }) t ) = \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 0}^{n} {v}_{1} (a + i (\frac{b-a}{n }) t ) + \lim_{n \to \infty}\sum_{i = 0}^{n} {v}_{2} (a + i (\frac{b-a}{n }) t )$

$\dst {\int}_{a}^{b} \vec{v} dt = {\int}_{a}^{b} {v}_{1} dt ; {\int}_{a}^{b} {v}_{2} dt >$

Porque solo las componentes en una misma coordenada se suman. Pero como se ve si se pueden integrar vectores, integrando cada uno de sus funciones componentes, las cuales son escalares (por lo menos hasta donde nos compete)

Voy a comentar varias cosas. La primera, no entiendo porqué me prohíbes usar la propiedad de que la integral de la suma es suma de integrales, eso es cierto para toda función integrable, y mi vector lo es por hipótesis. De todas formas no necesito esa propiedad para mi explicación, así que me parece bien.

Luego, parece que das por hecho que la suma de vectores se ha de hacer componente a componente, pero te recuerdo que es solo notación. La suma de vectores se define sin hacer referencia a las componentes en ningún momento. La suma de vectores reales es una aplicación de $\mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3$ en $\mathbb{R}^3$ tal que:

1)$\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$, $\forall \vec{u}, \vec{v} \in \mathbb{R}^3$
2)$\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})=(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}$, $\forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in \mathbb{R}^3$
3)$\exists \vec{0} \in \mathbb{R}^3$ tal que $\vec{u}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{u}=\vec{u}$, $\forall \vec{u}\in \mathbb{R}^3$
4)$\exists - \vec{u} \in \mathbb{R}^3$ tal que $\vec{u}+(- \vec{u})=(- \vec{u})+\vec{u}=\vec{0}$, $\forall \vec{u} \in \mathbb{R}^3$

La notación por componentes se define después, y se usa porque suele ser más práctica. Como ves, puedo sumar vectores sin referirse a ningún escalar, por definición. Y si quieres lo puedo justificar para los diferentes productos, como el producto de un escalar por un vector. Con estas dos operaciones puedes hacer los sumatorios y límites sin usar las componentes y sin las combinaciones lineales.

En mi anterior mensaje te he indicado como integrar vectores de forma indefinida, tan sólo hay que ver que la integral es inversa a la derivada para hacer las correspondencias pertinentes e integrar vectores sin referirse a sus componentes en ningún momento. No creo necesario mostrarlo explícitamente, se comprueba rápidamente a papel y lápiz, además que esto lo sueles aplicar cuando haces integrales indefinidas en física. Es imposible que niegues esto, es lo primero que se enseña cuando uno empieza integrales en el colegio.

Luego, es evidente que la integral de Riemann permite como integrando vectores, solo se ha de cumplir que el vector sea una función acotada. Con eso, ya tiene sentido hablar de integral definida de un vector. Operacionalmente solo hay que usar las correspondencias demostradas con la integral indefinida y la regla de Barrow. Ejemplo de esto ya he dado.

Finalmente, las únicas cosas que he omitido en mi argumento son cosas que sabes: la integral indefinida es la inversa de la derivada y la definición de producto de un escalar por un vector. Y si aún así hace falta explicitarlo, lo hago, pero repito que esto ya lo sabes de sobra.

[Julián]

Re: Energía mecánica

Veo que tu te estás refiriendo a la parte conceptual y yo a la parte operatoria. Es evidente que en la definición de espacio vectorial, la adicción (siendo esta la operación interna) está definida para dos vectores del mismo espacio y que le resultado es otro vector del mismo espacio vectorial.
Ahora si tenemos dos vectores cualesquiera y debemos sumarlos, si son en ${\mathbb{R}}^{2}$ o ${\mathbb{R}}^{3}$ podríamos usar el método gráfico, haciendo el paralelepípedo. Pero algebraicamente la operación es sumar las componentes de las mismas coordenadas.

$\dst (1;0;0) + (0; 1 ;0) + (0;0;1) = (1 ; 1 ;1 )$

Justamente esta operatoria es análoga en cuanto a la adicción al cuerpo de los complejos. En donde la suma se realiza sumando las partes reales y las partes imaginarias y esta forma de operar sale de la definición misma del cuerpo algebraico complejo. En cuanto a la definición de adicción en un cuerpo algebraico es análoga a la adicción de un espacio vectorial siendo esta una operación interna cuya suma es un elemento del mismo cuerpo o espacio.

En fín en la definición está explicita o implícita la forma de realizar la operación.

[Weip]

Re: Energía mecánica

Eso no quita el hecho que un vector se puede integrar. Es como si me dijeras que las matrices no se pueden multiplicar porque solo son sumas y productos de escalares (asumiendo que las dimensiones son correctas, ya me entiendes). De todas formas en el mensaje 24 de este hilo tienes un ejemplo de integración sin saber las componentes. No siempre hay necesidad de echar números, eso ya dependería del problema, si conviene sí. Pero es una integración en toda regla.

Bueno, supongo que es lenguaje.