1r ciclo Velocidad de punto de intersección

[sater]

Buenas. En un problema de mecánica me piden (o mejor dejo el enunciado textual):
"Dos rectas que se cruzan se mueven es sentidos
opuestos con velocidades $v_1$y $v_2$, en direcciones per-
pendiculares a las rectas correspondientes. El ángulo
entre las rectas es $\alpha$. Determine la velocidad del punto
de intersección de las rectas."

El caso es que llevo un par de días rayado y no se si es muy enrevesado o tremendamente tonto. Al final me he decantado por la segunda y lo que he hecho viene a ser la suma de las velocidades de las rectas. He supuesto una paralela al eje x (supongo que no hay problema en como coja yo mi sistema de referencia, siempre lo puedo coger tal que un eje sea paralelo a al menos una recta) y lo esquematizo en esta figura (y perdón por el super paint que voy a poner):


Visto así la velocidad del punto queda :
$\vec{v_p}=\left(v_2 \sin\left(\alpha\right),v_2 \cos\left(\alpha\right)-v_1\right)$

He pensado que para que se cumpla si alfa fuera mayor que pi medios se puede definir theta como en los complejos (de menos pi a pi) y asi si la componente en el eje y de $v_2$ es negativa se deberia seguir cumpliendo.
¿Lo veis correcto?
Gracias por cualquier ayuda y por favor no me digáis la solución exacta (al menos no de momento) que lo pueda seguir intentando.
Un saludo

[arivasm]

Re: Velocidad de punto de intersección

Me parece que la velocidad que pones es la velocidad relativa de un punto cualquiera de la recta 2 respecto de la recta 1, pero en mi opinión no es eso lo que te piden.

Yo lo enfocaría de este modo: Tomemos el origen de coordenadas como el punto en el que se cortan ambas rectas en el instante instante t=0. El punto de la recta 2 que en ese instante estaba en el origen se moverá según $\vec r_o=\vec v_2 t$.

Como la ecuación paramétrica de esa recta es de la forma $\vec r=\vec r_o+\vec u \lambda$, donde $\vec u$ es el vector director de la recta, tienes la ecuación de movimiento de todos los puntos de la recta 2. De éstos, el de corte en cada instante con la recta 1 será el que satisfaga que $y=-v_1 t$, lo que te permite encontrar el valor del $\lambda$ en función de t y entonces las coordenadas del punto de corte en cada instante.

De éstas sólo te interesa la coordenada x, que será una función del tiempo. Derívala y ya tienes la velocidad pedida.

Si no me he equivocado, cosa que sucede con demasiada frecuencia, encuentro que la respuesta es $\dst \frac{v_1\cos\alpha+v_2}{\sin\alpha}$

[sater]

Re: Velocidad de punto de intersección

Viendo que el mío no pinta bien, voy a seguir intentándolo y en un par de días rescato vuestras respuestas y si queréis seguimos comentándolo, es que ahora no quiero mirarlos por si tomo ideas o algo y prefiero seguir probando yo.
Muchas gracias a ambos

[arivasm]

Re: Velocidad de punto de intersección

$\vec{v}_{p} = ( v_2 ( \tan(\theta) \sin(\theta) + \cos(\theta)) +v_1 \tan(\theta) , -v_1 )$

que alguien de la web de fe de que no hay errores

Tu respuesta y la mía son la misma, pues $\theta=90\º-\alpha$, de manera que

$\dst v_2 ( \tan(\theta) \sin(\theta) + \cos(\theta))+v_1 \tan(\theta)=v_2\left( \frac{\cos^2\alpha}{\sin\alpha}+ \sin\alpha \right)+\frac{v_1 \cos\alpha}{\sin\alpha}=$$\dst\frac{v_2(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)+v_1\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{v_1\cos\alpha+v_2}{\sin\alpha}$

Por tanto, nos confirmamos mutuamente la respuesta, toda vez que las hemos obtenido con procedimientos diferentes.

[arivasm]

Re: Velocidad de punto de intersección

Es interesante el que el módulo de la velocidad del punto en cuestión sea igual a $\dst \frac{|\vec v_1-\vec v_2|}{\sin\alpha}$, pues parece apuntar hacia un enfoque quizá más sencillo que los anteriores: tomar un sistema de referencia en el que una de las rectas, la 1, está en reposo. La otra se moverá entonces con velocidad $\vec v_r=\vec v_2-\vec v_1$.

Dicha velocidad, que será común a todos los puntos de la recta, deberá poder expresarse como combinación lineal de los vectores directores de ambas rectas, $\vec v_r=a\vec u_1+b\vec u_2$. La componente según $\vec u_2$ no contribuye nada a la velocidad del punto de corte, relativa a la recta 1, de manera que el objetivo es encontrar $a$.

Multiplicando escalarmente $\vec v_r$ por cada uno de los vectores resulta fácil encontrar el valor de $\dst a=\frac{(\vec v_r\cdot\vec u_1)-(\vec v_r\cdot\vec u_2)(\vec u_1\cdot\vec u_2)}{1-(\vec u_1\cdot\vec u_2)^2}=\frac{(\vec v_r\cdot\vec u_1)-(\vec v_r\cdot\vec u_2)\cos\alpha}{\sin^2\alpha}$. Como $\vec v_r\cdot\vec u_1=\vec v_2\cdot\vec u_1=v_2\sin\alpha$ y $\vec v_r\cdot\vec u_2=-\vec v_1\cdot\vec u_2=-v_1\sin\alpha$, lo anterior equivale a $\dst\frac{v_1\cos\alpha+v_2}{\sin\alpha}$, como ya comentamos antes.

Por supuesto, para volver al sistema de referencia de laboratorio sólo falta añadir la velocidad $\vec v_2$, de manera que será el vector $(a,v_2)$.

[SCHRODINGER27]

Re: Velocidad de punto de intersección

Hola buenas, mi profesor de academia dice que se empieza así:



pero no tengo muy claro cómo se llega hasta ahí. Me ha dejado el fin de semana para pensar, pero no consigo llegar a ese vector, no sé cómo obtener las componentes. Si pudierais ayudarme, os estaría realmente agradecido. Me ha dicho también, que la solución es:

$v = \frac{1}{ {\sin (\alpha)}^{ 2}} \sqrt{ {v_1}^{ 2} + {v_2}^{2 } + 2 v_1 v_2 cos(\alpha )}$

Y es correcta, o sea que se empieza así, ¿alguien me da alguna pista?

Muchas gracias!

[felmon38]

Re: Velocidad de punto de intersección

Hola :
Otra manera de resolverlo es utilizando la relación entre las velocidades de un punto respecto de distintos sistemas de referencia ( velocidad de un punto es la relativa más la de arrastre ).
Utilizaré letras en negrita para representar vectores. Sea i, i=(0,1,2), el sistema de referencia correspondiente al laboratorio y a las rectas, respectivamente, y v_i la velocidad de la recta i respecto del sistema 0. u_i, n_i , i=(1,2), los vectores unitarios en dirección a la recta i y a su normal, respectivamente. Naturalmente, ya que el punto de intersección de las dos rectas recorre las dos rectas su velocidad , relativa a las rectas 1,2,tiene la dirección de u_i luego será de la forma: λ_iu_i

Aplicando la relación entre la velocidad del punto intersección respecto de 0, con su velocidad relativa a los sistemas 1 y 2 :

v= λ_iu_i + v_{i .} i=(1,2)

Multiplicando cada ecuación i, escalarmente por n_i. :

v.n_i = v_i.n_i

es decir, las proyecciones de la velocidad del punto de intersección de las dos rectas , v, sobre las normales a cada recta, son iguales a las proyecciones de las velocidades de las rectas sobre sus normales por lo que el vector v será la suma vectorial de estas dos proyecciones.
Saludos