Secundaria Energía potencial gravitatoria

[FeynmanDLuis]

Hola amigos del foro,

¿sabéis por qué la energía potencial gravitatoria es negativa?

Gracias sinceras por la atención

[arivasm]

Re: Energía potencial gravitatoria

Sólo lo es si se toma su cero en la situación en la que todas las partículas están infinitamente separadas. En cualquier otra (recuerda el U=mgh podrá ser positiva o negativa). De todos modos, con el convenio usual, del 0 en el infinito, lo que expresa ese valor negativo es simplemente que la fuerza gravitatoria es atractiva.

[Visitante]

Re: Energía potencial gravitatoria

Como ya dijo arivasm es para mostrar que es atractivo, los componentes del vector de la fuerza gravitatoria F=-GmM/d^2*(vector unitario) es negativo, viene a decir que la fuerza es atractiva siendo su sentido hacia la masa que se ha cogido como referencia. lo mismo ocurre con la aceleración centrípeda como ya habrás visto.

[arivasm]

Re: Energía potencial gravitatoria

Matizaré un poco, con su permiso, lo escrito por Malevolex.

En primer lugar, los vectores (sean fuerzas o aceleraciones) no son positivos ni negativos. Tan sólo lo son sus componentes y entonces sus valores dependen exclusivamente de cuál sea el sistema de referencia elegido.

En segundo lugar, a lo que me refería al afirmar que el signo menos de la energía potencial gravitatoria y su carácter atractivo debe combinarse con el hecho de que la energía potencial disminuye monótonamente con la distancia entre partículas. Recordemos que el sentido de una fuerza conservativa es el de máximo descenso de la energía potencial.

Así, por ejemplo, una energía potencial de un sistema de dos partículas que siguiese una dependencia como la siguiente sólo sería atractiva para r>a, y repulsiva para r<a:

[Visitante]

Re: Energía potencial gravitatoria

En primer lugar, los vectores (sean fuerzas o aceleraciones) no son positivos ni negativos. Tan sólo lo son sus componentes y entonces sus valores dependen exclusivamente de cuál sea el sistema de referencia elegido.

Pues yo he oído decir a mi profesor que un vector es negativo, que básicamente expresa el sentido del vector, aparte de los componentes y por supuesto los valores de los componentes de un vector dependen de un sistema de referencia elegido.

[Weip]

Re: Energía potencial gravitatoria

Pues yo he oído decir a mi profesor que un vector es negativo, que básicamente expresa el sentido del vector, aparte de los componentes y por supuesto los valores de los componentes de un vector dependen de un sistema de referencia elegido.

Ahí arivasm ha hilado muy fino. Tiene razón, pero normalmente nos permitimos la licencia de darle signo a los vectores. Es una forma de hablar.

[arivasm]

Re: Energía potencial gravitatoria

Pues yo he oído decir a mi profesor que un vector es negativo, que básicamente expresa el sentido del vector

Es una licencia, muuuuy discutible (pues es incorrecta!), que se hace a veces por razones "didácticas" (mal asunto*) o por economía de lenguaje. Con respecto a esto último, el uso habitual de expresiones como "la aceleración es negativa", que sería formalmente incorrecto, se debería circunscribir a situaciones unidimensionales, como fórmula para no ser pesados y decir algo más largo como sería "la (única) componente de la aceleración es negativa".

*Pues no es buena idea enseñar conceptos al mismo tiempo que se malenseñan otros. Feynman ponía este ejemplo: en un libro de texto encontró un problema que decía algo así como "si las estrellas azules tienen una temperatura de 7000 ºC y las rojas de 5000ºC y Pepito ve dos estrellas azules y tres rojas, ¿qué temperatura está viendo?"; Feynman decía que como ejercicio de suma tiene el horrible problema de transmitir la falsa idea de que las temperaturas se suman.
Con los vectores sucede igual: por desgracia no son pocos los alumnos que acaban empleando expresiones (incorrectas!) como "la gravedad es negativa al subir y positiva al bajar" y que luego además les dificulta el manejo del famoso mgh o la resolución de ejercicios de tiro parabólico.

[inakigarber]

Re: Energía potencial gravitatoria

Buenas noches.
Yo no entiendo que la energía potencial gravitatoria sea negativa (aunque conozco la expresión de la que se deduce). En mi opinión se trata simplemente de un proceso de transformación de la energía. Si quiero sacar un objeto de la superficie terrestre necesito aportarle una cantidad de energía. Idénticamente, este objeto cederá su energía potencial en cinética al caer a tierra. Por tanto, preferiría hablar de un incremento de la energía potencial (al subir a una órbita superior) o de un decremento al bajar de órbita. ¿Es mi planteamiento correcto?
Saludos.

[arivasm]

Re: Energía potencial gravitatoria

La primera cuestión importante es que la energía potencial que corresponde a una fuerza conservativa jamás es única: hay infinitas que se diferencian entre sí en una constante. Usualmente nos deshacemos de esa indeterminación eligiendo una situación de referencia, a la que asignamos el valor 0. Por ejemplo, cuando podemos usar el famoso U=mgh (es decir, si las variaciones de posición son tan pequeñas como para poder tomar g=cte) lo primero que debemos elegir es el h=0, que es lo mismo que elegir un U=0.

El motivo está en que lo que sí es único es el trabajo realizado por la fuerza en cuestión: al pasar de una situación (inicial) a otra (final), recordemos que sin que importe el proceso que las conecte (pues hablamos de fuerzas conservativas), el trabajo realizado por la fuerza será igual al opuesto de la variación de la energía potencial.

Insisto, pues, en que cuando decimos "la energía potencial gravitatoria es negativa" debemos tener bien presente la elección que se hace para su cero: las partículas infinitamente separadas entre sí. La razón que hay detrás de ese negativo que nos ocupa es que al evolucionar hacia esa referencia desde cualquier otra situación la fuerza de gravitación (atractiva) realizará un trabajo negativo (la suma de los $\vec F_i\cdot\dd \vec r_i$ será negativa). Como, tal como dije antes, ese trabajo es igual a U inicial - U final y estamos tomando como final el 0, el decir que W<0 equivale a decir U inicial < 0.

Por supuesto, si tomamos otra situación de referencia diferente (como hacemos cuando manejamos el mgh: aquí el 0 no lo ponemos en "infinitamente separados") es perfectamente posible tener energías potenciales negativas (en el mgh son, por supuesto, aquellas con h<0) o positivas (las que tengan h>0). Si te fijas, esto mismo sucede incluso en el caso general (en que g ya no se puede manejar como constante).

Con respecto a tu comentario, señalaré (y mi experiencia como docente me lleva a decir que creo que esto es realmente importante para tener las ideas claras) que no es necesario que participe otra fuerza alguna, que es lo que haces cuando dices "necesito aportarle una cantidad de energía": estás dando a entender que para comprender el concepto de energía potencial *debe* entrar en juego *otra* fuerza (la que tú haces) diferente del peso.

Pero eso no es así: si una bombilla se desprende del techo y cae libremente sólo participa el peso, que realiza un trabajo positivo, lo que significa, lisa y llanamente que a medida que desciende la energía potencial necesariamente estará disminuyendo (recordemos W del peso = U inicial - U final, si W del peso > 0 entonces U inicial > U final).

Por supuesto todos los procesos físicos implican transferencias energéticas, y así en la caída de la bombilla que acabo de comentar habrá un aumento de la energía cinética, o si meto en juego la fuerza que indicas entonces también participarán otras transferencias, etcétera.

Pero, repito, esto *no* forma parte de la definición de energía potencial: ¡es una consecuencia de la misma! (+ el teorema del trabajo y la energía cinética).

[inakigarber]

Re: Energía potencial gravitatoria

...Con respecto a tu comentario, señalaré (y mi experiencia como docente me lleva a decir que creo que esto es realmente importante para tener las ideas claras) que no es necesario que participe otra fuerza alguna, que es lo que haces cuando dices "necesito aportarle una cantidad de energía": estás dando a entender que para comprender el concepto de energía potencial *debe* entrar en juego *otra* fuerza (la que tú haces) diferente del peso.

Pero eso no es así: si una bombilla se desprende del techo y cae libremente sólo participa el peso, que realiza un trabajo positivo, lo que significa, lisa y llanamente que a medida que desciende la energía potencial necesariamente estará disminuyendo (recordemos W del peso = U inicial - U final, si W del peso > 0 entonces U inicial > U final).

Por supuesto todos los procesos físicos implican transferencias energéticas, y así en la caída de la bombilla que acabo de comentar habrá un aumento de la energía cinética, o si meto en juego la fuerza que indicas entonces también participarán otras transferencias, etcétera.

Pero, repito, esto *no* forma parte de la definición de energía potencial: ¡es una consecuencia de la misma! (+ el teorema del trabajo y la energía cinética).

Totalmente de acuerdo con tu comentario.

Lamento el comentario que hice anteriormente estuve muy desafortunado. Creo que intentando matizar algo, me he vuelto a meter en un lodazal.
Entiendo la energía potencial como la energía que tiene un objeto en función del objeto y de su posición respecto a un campo de fuerza. Por citar unos ejemplos, una bombilla respecto al campo gravitatorio terrestre, un electrón respecto a un campo magnético o un objeto sujeto a un muelle respecto a la posición de reposo del resorte. Así, una bombilla que cae libremente realiza un trabajo (energía) en función de su masa y de la altura caída, igual como lo harían el electrón ó el resorte si los dejo libres. Lo que quise decir en mi anterior comentario es que si quiero elevar un objeto desde un punto situado a un nivel de potencial h, a otro a un nivel superior H tendré que aportar una energía que compense la diferencia de energía entre ambos niveles y que por ese motivo no entiendo que se considere la energía gravitatoria como negativa, análogamente, el proceso contrario cederá la misma cantidad de energía, siempre que no haya alguna fuerza no conservativa.

Un saludo.

[arivasm]

Re: Energía potencial gravitatoria

Iñaki, ya sabes que soy un tiquismiquis... Permíteme que matice algunas cosas.

Entiendo la energía potencial como la energía que tiene un objeto en función del objeto y de su posición respecto a un campo de fuerza

En realidad el concepto de energía potencial está asociado con fuerza, que, a su vez, es un concepto en el que participan dos o más objetos. El punto de vista que dices, aunque se repite mucho, no es del todo correcto. Por ejemplo, aunque se suele decir "la energía potencial gravitatoria de la manzana" el concepto correcto es "la energía potencial del peso de la manzana" (que por la ley de acción y reacción es igual al peso de la Tierra en el campo gravitatorio de la manzana -si nos limitamos al sistema Tierra-manzana-).

Podría pensarse que es una sutileza sin mayor importancia. No lo es. Si en un sistema de dos partículas de masas $m_1$ y $m_2$ que interactúan gravitacionalmente fuese correcto hablar de "la energía potencial de $m_1$" y "la energía potencial de $m_2$" la energía mecánica del sistema tendría dos energías cinéticas y dos energías potenciales, es decir, sería $\dst\frac{1}{2}m_1v_1^2-G\frac{m_1m_2}{r}+\frac{1}{2}m_2v_2^2-G\frac{m_1m_2}{r}$, cuando en realidad es $\dst\frac{1}{2}m_1v_1^2+\frac{1}{2}m_2v_2^2-G\frac{m_1m_2}{r}$, pues en realidad sólo hay *una* energía potencial: la de la fuerza de interacción entre ambas.

Por citar unos ejemplos, .... un electrón respecto a un campo magnético...

La fuerza magnética sobre una carga no procede de una energía potencial, es decir, no existe una energía potencial tal que $q\vec v\times\vec B=-\vec\nabla U$

...si quiero elevar un objeto desde un punto situado a un nivel de potencial h, a otro a un nivel superior H tendré que aportar una energía...

No exactamente. Piensa en un satélite en órbita elíptica alrededor de la Tierra: no hay aporte alguno de energía, y ello no impide que su altura aumente durante parte de la órbita.

El que *puedas* elevar un objeto realizando un aporte de energía no significa que *cada vez* que se eleva un objeto *haya* un aporte de energía.

por ese motivo no entiendo que se considere la energía gravitatoria como negativa

Independientemente de todo lo que comenté anteriormente: lo que tiene sentido físico es la diferencia de valores de la energía potencial (que expresa el trabajo realizado por el campo). Si una masa pasa de una situación en la que la energía potencial es de, por ejemplo, -100 J a otra en la que vale -120 J la fuerza gravitatoria habrá trabajado 20 J. Si pasa de -400 J a -300 J habrá trabajado -100 J, etc. No hay ningún problema en que todos los valores que se manejen para la energía potencial sean negativos.

Es más, si por la razón que sea no se quieren valores negativos basta con sumarle a absolutamente todas las situaciones el mismo valor. Por ejemplo, si me da la gana de que a la situación "todas las masas infinitamente separadas" en lugar de corresponderle el 0 de la energía potencial le corresponda 123 J el párrafo anterior debería reescribirlo de esta manera: "Si una masa pasa de una situación en la que la energía potencial es de, por ejemplo, 23 J a otra en la que vale 3 J la fuerza gravitatoria habrá trabajado 20 J. Si pasa de -277 J a -177 J habrá trabajado -100 J, etc" [he repetido el texto sumando 123 J a todos los valores de las energías potenciales (pero los trabajos, que son diferencias, seguirán siendo los mismos)]

[inakigarber]

Re: Energía potencial gravitatoria

Iñaki, ya sabes que soy un tiquismiquis... Permíteme que matice algunas cosas.

....La fuerza magnética sobre una carga no procede de una energía potencial, es decir, no existe una energía potencial tal que $q\vec v\times\vec B=-\vec\nabla U$



No exactamente. Piensa en un satélite en órbita elíptica alrededor de la Tierra: no hay aporte alguno de energía, y ello no impide que su altura aumente durante parte de la órbita.

El que *puedas* elevar un objeto realizando un aporte de energía no significa que *cada vez* que se eleva un objeto *haya* un aporte de energía.



Independientemente de todo lo que comenté anteriormente: lo que tiene sentido físico es la diferencia de valores de la energía potencial (que expresa el trabajo realizado por el campo). Si una masa pasa de una situación en la que la energía potencial es de, por ejemplo, -100 J a otra en la que vale -120 J la fuerza gravitatoria habrá trabajado 20 J. Si pasa de -400 J a -300 J habrá trabajado -100 J, etc. No hay ningún problema en que todos los valores que se manejen para la energía potencial sean negativos.

Es más, si por la razón que sea no se quieren valores negativos basta con sumarle a absolutamente todas las situaciones el mismo valor. Por ejemplo, si me da la gana de que a la situación "todas las masas infinitamente separadas" en lugar de corresponderle el 0 de la energía potencial le corresponda 123 J el párrafo anterior debería reescribirlo de esta manera: "Si una masa pasa de una situación en la que la energía potencial es de, por ejemplo, 23 J a otra en la que vale 3 J la fuerza gravitatoria habrá trabajado 20 J. Si pasa de -277 J a -177 J habrá trabajado -100 J, etc" [he repetido el texto sumando 123 J a todos los valores de las energías potenciales (pero los trabajos, que son diferencias, seguirán siendo los mismos)]

Por lo que respecta al ejemplo del electrón metí el dedo donde no debía, estaba pensando en un electrón acelerado en un campo eléctrico (concretamente, en un tubo de rayos catódicos) pero dije magnético donde quise decir eléctrico.
Por lo que respecta al ejemplo del satélite fui lo bastante canelo como para no darme cuenta de que el sistema fluctúa entre un máximo de energía potencial y mínimo de cinética y un mínimo de energía potencial y un máximo de energía cinética. Siendo ambas siempre variables pero su suma siempre constante. Otros ejemplos serían el de un péndulo o el de un circuito eléctrico LC.
Por lo que respecta al primer apartado de ti respuesta, quiero meditarlo un poco mas.
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El primer apartado creo que lo entiendo mejor considerando el centro de masas. A ver si lo explico bien.

En Un sistema Tierra-manzana el centro de masas se encontrara situado prácticamente en el centro de la tierra. Si dejo caer la manzana, obviamente esta caerá al suelo por la gravedad de la tierra. También habrá una fuerza de gravedad de la manzana hacia la tierra. El centro de masas se habrá desplazado ligeramente hacia arriba. Si calculo la energía potencial debida a la caída de la manzana me sale un valor determinado $Em=mg\Delta_m$ Si calculo la energía potencial debido a la subida de la tierra me sale $Et=Mg\Delta_s=-Em$ puesto que $\Delta_m\gg\Delta_s=-Em$ y que $M\gg\ m$, la velocidad con la que cae la manzana y el espacio que recorre es muchísimo mayor que la velocidad y el espacio que sube la tierra. De ahí que veamos rápidamente la caída de la primera pero nunca notemos la subida de la segunda.

No se si con esto he entendido el primer apartado de tu respuesta o si he vuelto a hacer de nuevo el manzanillo.

P.D. Lo de tiquismiquis es casi mas una virtud que un defecto.

Un saludo y gracias.

[arivasm]

Re: Energía potencial gravitatoria

Sólo por aportar un poco al ejemplo final.

La energía potencial del sistema de dos masas se describe con facilidad mediante $\dst U=-G\frac{Mm}{r}$ siendo $r$ la distancia entre sus centros. Abordemos el caso en que se produce un pequeño desplazamiento entre ambas, de manera que se pase a una nueva distancia $r+h$ (con $h>0$ o $h<0$, como se quiera) tal que $|h|\ll r$.

El trabajo realizado por la fuerza de gravitación es

$W=\dst -G\frac{Mm}{r}-\left(-G\frac{Mm}{r+h}\right)=GMm\frac{h}{r(r+h)}$

Como $r+h\approx r$ tenemos que

$\dst W\approx G\frac{Mm}{r^2}h$

Fíjate que esta expresión tanto se puede reescribir, dado que $\dst g_M = G\frac{M}{r^2}$, como

$\dst W\approx mg_M h$

como también (pues $\dst g_m = G\frac{m}{r^2}$)

$\dst W\approx Mg_m h$

Es decir, tanto puedes aplicar, como buena aproximación, el famoso $mgh$ a la manzana moviéndose en la gravedad de la Tierra (e interpretando h como la distancia que se mueve la manzana respecto de la Tierra) como aplicarla a la Tierra moviéndose en la gravedad de la manzana (e interpretando h como la distancia que se mueve la Tierra respecto de la manzana).

Con todo esto pretendo contar unas cuantas cosas:

1. Insistir en que el punto de vista correcto es aquél que asocia energía potencial con fuerzas, y entonces con pares de objetos, en lugar de uno solo.
2. Que $\dst U=-G\frac{Mm}{r}+{\rm cte}$, donde cte es una constante que se puede elegir con el valor que se desee, aunque obviamente 0 será el más cómodo, es la expresión exacta para describir la energía potencial gravitatoria que corresponde a un sistema de dos masas puntuales separadas una distancia $r$. Evidentemente, la elección de la constante equivale a elegir una situación a la que se le asocia $U=0$. En particular, el usual cte=0 equivale a decir "quiero que sea U=0 cuando las dos partículas están infinitamente separadas" (y entonces *elegir* que las U sean negativas, que era el tema del hilo).
3. Que $mgh$ es una aproximación para la expresión anterior, admisible cuando las distancias varían muy poco (y entonces manejar las gravedades como constantes). De todos modos, sigue expresando la interacción entre dos partículas, una de ellas englobada con su masa, m, y la otra con la gravedad que origina en el lugar donde está la primera (y que es proporcional al valor de esta segunda masa, y de ahí lo intercambiable de ambos papeles).

No sé si con esto aclaro el final de tu mensaje. Pienso que en él hay cosas incorrectas (en particular que hay dos energías potenciales y además opuestas, pues sólo hay una). De todos modos, quisiera señalar es que el enfoque que le has dado es innecesariamente complicado. En todo caso, es un buen ejemplo de por qué conviene pensar en que energía potencial se debería asociar a fuerzas (y entonces a pares de cuerpos) en lugar de objetos aislados.

Saludos!

[inakigarber]

Re: Energía potencial gravitatoria

....
Con todo esto pretendo contar unas cuantas cosas:

1. Insistir en que el punto de vista correcto es aquél que asocia energía potencial con fuerzas, y entonces con pares de objetos, en lugar de uno solo.
2. Que $\dst U=-G\frac{Mm}{r}+{\rm cte}$, donde cte es una constante que se puede elegir con el valor que se desee, aunque obviamente 0 será el más cómodo, es la expresión exacta para describir la energía potencial gravitatoria que corresponde a un sistema de dos masas puntuales separadas una distancia $r$. Evidentemente, la elección de la constante equivale a elegir una situación a la que se le asocia $U=0$. En particular, el usual cte=0 equivale a decir "quiero que sea U=0 cuando las dos partículas están infinitamente separadas" (y entonces *elegir* que las U sean negativas, que era el tema del hilo).
3. Que $mgh$ es una aproximación para la expresión anterior, admisible cuando las distancias varían muy poco (y entonces manejar las gravedades como constantes). De todos modos, sigue expresando la interacción entre dos partículas, una de ellas englobada con su masa, m, y la otra con la gravedad que origina en el lugar donde está la primera (y que es proporcional al valor de esta segunda masa, y de ahí lo intercambiable de ambos papeles).

No sé si con esto aclaro el final de tu mensaje. Pienso que en él hay cosas incorrectas (en particular que hay dos energías potenciales y además opuestas, pues sólo hay una). De todos modos, quisiera señalar es que el enfoque que le has dado es innecesariamente complicado. En todo caso, es un buen ejemplo de por qué conviene pensar en que energía potencial se debería asociar a fuerzas (y entonces a pares de cuerpos) en lugar de objetos aislados.

Saludos!

Creo que no me queda mas que rendirme ante la evidencia de tus argumentos.
Por lo que respecta a los puntos 2 y 3 no queda ninguna duda. Respecto al punto 1 quisiera puntualizar algo.
Supongamos que un tiesto cae desde un balcón a 10 metros de altura, puesto que $g\approx constante$ la energía potencial seria $U=mgh$considerando la altura de 10 metros infinitesimal respecto a las dimensiones de la tierra y la energía potencial U como una energía diferencial tendríamos;
$dU=mgd$. Teniendo en cuenta que "g" también depende de la distancia, ya que $g=\frac{GM_t}{R_t^2}$
Integrando y definiendo la función entre $\infty y R_t$ obtengo que la energía con que cae el tiesto es;

$$\boxed{E_g=\frac{GmM_t}{R_t}}$$

En la que obviamente aparecen ambas masas y no una sola.