Secundaria Sistemas no inerciales en rotación

[alexpglez]

Hola, estoy siguiendo estos cursos https://www.youtube.com/watch?v=y6gS...3A7AE&index=14 y más o menos lo entiendo, pero me pierdo en algunos pasos. Lo que estoy intentando hacer es llegar a la expresión final para un sistema no inercial en rotación:

$$m\vec a=\vec F - m\vec a_0-2m\vec \omega \times \vec v-m\vec \omega \times (\vec \omega \times \vec r) - m \vec \alpha \times \vec r =\vec F_{ef}$$

Siendo $\vec \omega$ La velocidad angular del sistema en rotación, y $\vec \alpha =\dot \vec \omega$. Y $\vec F_{ef}$ La fuerza "efectiva" sobre la que actúa la partícula.
Pero me estoy perdiendo bastante...


Gracias.

[felmon38]

Re: Sistemas no inerciales en rotación

Alex, en esta ecuación te sobran ma₀ y lo que llamas fuerza efectiva
Saludos

[alexpglez]

Re: Sistemas no inerciales en rotación

ma_0 lo añade en el vídeo porque es la traslación del origen del sistema en rotación. Le llamo fuerza efectiva precisamente porque es la "fuerza total" que veríamos que sufre el sistema. Luego miro con más detenimiento esto. Gracias.

[felmon38]

Re: Sistemas no inerciales en rotación

¡Ahh! Entonces m.a₀ no es la acelelación respecto del sistema inercial sino la aceleración del punto O' respecto del sistema inercial es decir m.a_O' en cuyo caso este término está bien, es la notación la que no es correcta.
Saludos

[Weip]

Re: Sistemas no inerciales en rotación

Pero me estoy perdiendo bastante...

Por la imagen que has puesto y el desarrollo del vídeo parece que no entiendes la derivada que hace (uso la misma notación que en el vídeo):

$\left( \dst\frac{\mathrm{d}\vec{g}}{\mathrm{d t} } \right)_\Sigma=\left(\dst\frac{\mathrm{d}\vec{g}}{\mathrm{d t} } \right)_{\Sigma '} + \vec{\omega} \times \vec{g}$

El motivo es que haces una derivada en una base de orientación variable. Te recomiendo dibujar tu base y su variación porque esto con palabras es difícil de imaginar. El factor $\vec{\omega} \times \vec{g}$ corrige justamente eso. Una explicación física más directa sería que el sistema en rotación no es fijo. Fíjate que cuando la orientación de la base no varía entonces tenemos el caso de la derivada normal y corriente.

[alexpglez]

Re: Sistemas no inerciales en rotación

Por la imagen que has puesto y el desarrollo del vídeo parece que no entiendes la derivada que hace (uso la misma notación que en el vídeo):

$\left( \dst\frac{\mathrm{d}\vec{g}}{\mathrm{d t} } \right)_\Sigma=\left(\dst\frac{\mathrm{d}\vec{g}}{\mathrm{d t} } \right)_{\Sigma '} + \vec{\omega} \times \vec{g}$

El motivo es que haces una derivada en una base de orientación variable. Te recomiendo dibujar tu base y su variación porque esto con palabras es difícil de imaginar. El factor $\vec{\omega} \times \vec{g}$ corrige justamente eso. Una explicación física más directa sería que el sistema en rotación no es fijo. Fíjate que cuando la orientación de la base no varía entonces tenemos el caso de la derivada normal y corriente.

Entiendo, pero en sí, no entiendo demasiado bien la fórmula, ¿se puede deducir matemáticamente (en vez de inferirse gráficamente)?
Me refiero, tiene alguna relación con:

$$\vec g'=A\vec g$$

Donde A es la matriz de rotación.

$$\dot \vec g'=\frac{d A}{dt} \vec g + A \dot \vec g$$

PD: No sé lo que estoy haciendo, por eso pregunté en otro hilo si había alguna relación entre $A$ y $\vec \omega$ o su tensor $W$. Creo haber visto una expresión parecida a ésta en un curso de relatividad en internet, hablando de la derivada covariante... que lío...

[Weip]

Re: Sistemas no inerciales en rotación

Entiendo, pero en sí, no entiendo demasiado bien la fórmula, ¿se puede deducir matemáticamente (en vez de inferirse gráficamente)?

Pues te pongo una explicación teórica. Supón que tenemos un vector $\vec{g}$ y una base $\left\{ e_i\right\}$. Como todo vector se puede expresar como combinación lineal de una base:

$\vec{g}=\dst\sum_{i = 1}^3 g_i e_i$

Ahora calculamos la derivada de $\vec{g}$. Hay que tener en cuenta que la base varía su orientación:

$\left( \dst\frac{\mathrm{d} \vec{g}}{\mathrm{d} t} \right)_{\Sigma}=\dst\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\dst\sum_{i = 1}^3 g_i e_i=\dst\sum_{i = 1}^3 \left( \dst\frac{\mathrm{d} g_i}{\mathrm{d} t}e_i+\dst\frac{\mathrm{d} e_i}{\mathrm{d} t}g_i \right)=\left( \dst\frac{\mathrm{d} \vec{g}}{\mathrm{d} t} \right)_{\Sigma '}+\dst\sum_{i = 1}^3 \dst\frac{\mathrm{d} e_i}{\mathrm{d} t}g_i=\left( \dst\frac{\mathrm{d} \vec{g}}{\mathrm{d} t} \right)_{\Sigma '}+\vec{\omega} \times \vec{g}$

PD: No sé lo que estoy haciendo, por eso pregunté en otro hilo si había alguna relación entre $A$ y $\vec \omega$ o su tensor $W$. Creo haber visto una expresión parecida a ésta en un curso de relatividad en internet, hablando de la derivada covariante... que lío...

Sí, se llama derivada covariante. Aunque no he usado notación covariante. Lo digo por si lo buscas por wikipedia o algo.

[alexpglez]

Re: Sistemas no inerciales en rotación

Pues te pongo una explicación teórica. Supón que tenemos un vector $\vec{g}$ y una base $\left\{ e_i\right\}$. Como todo vector se puede expresar como combinación lineal de una base:

$\vec{g}=\dst\sum_{i = 1}^3 g_i e_i$

Ahora calculamos la derivada de $\vec{g}$. Hay que tener en cuenta que la base varía su orientación:

$\left( \dst\frac{\mathrm{d} \vec{g}}{\mathrm{d} t} \right)_{\Sigma}=\dst\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\dst\sum_{i = 1}^3 g_i e_i=\dst\sum_{i = 1}^3 \left( \dst\frac{\mathrm{d} g_i}{\mathrm{d} t}e_i+\dst\frac{\mathrm{d} e_i}{\mathrm{d} t}g_i \right)=\left( \dst\frac{\mathrm{d} \vec{g}}{\mathrm{d} t} \right)_{\Sigma '}+\dst\sum_{i = 1}^3 \dst\frac{\mathrm{d} e_i}{\mathrm{d} t}g_i=\left( \dst\frac{\mathrm{d} \vec{g}}{\mathrm{d} t} \right)_{\Sigma '}+\vec{\omega} \times \vec{g}$

Sí, se llama derivada covariante. Aunque no he usado notación covariante. Lo digo por si lo buscas por wikipedia o algo.

Tengo que volver a ver el vídeo con calma porque es evidente que me perdí, porque ahora al ver esto estaba pensando en por qué definió:

$$\dot g_i e_i=(\dot \vec g)_{\Sigma '}$$

[felmon38]

Re: Sistemas no inerciales en rotación

Alex, le falta una flechita a e_i
Saludos.

[Weip]

Re: Sistemas no inerciales en rotación

Alex, le falta una flechita a e_i
Saludos.

Seguramente no la puso porque yo tampoco la puse, así que culpa mía. La verdad es que me cuesta ponerle flechita a los vectores porque en matemáticas nunca se pone y ahora siempre se me olvida (aunque siempre la pongo en el vector posición, velocidad y todos esos que si no hace daño a los ojos).