Reacción de bola rodando por una pared

[plocobio]

Hola a todos!! llevo varios días peleándome con un ejercicio de rotación y aún no lo he podido resolver ;(. Os dejo una el enunciado y la solución por si alguien puede echarme una mano. Muchas gracias!!

Una esfera maciza, de radio r y masa m está apoyada sobre dos aristas, A y B, separadas por una distancia r, como se muestra en la figura. Si se retira rápidamente el apoyo B y no hay deslizamiento en el apoyo A, calcular:

1. La aceleración angular inicial de la esfera;
2. La reacción inicial en el apoyo A;
3. El valor mínimo del coeficiente de rozamiento estático para que inicialmente no se produzca resbalamiento.

Con el apartado 1) no tengo ningún problema pero, el 2 y 3 no se como meterles mano. las soluciones a estos apartados tmb las dejo por aquí por si os ayuda

La solución para el apartado 1 es: $\alpha=\frac{5g}{14r}$
Para el apartado 2:

y para el 3: $\mu_e \geq 0.16$

(perdonen no poner todo con foto pero no me deja el sistema)

[JCB]

Hola a tod@s.

a) Por dinámica de la rotación entorno al punto A:

$\sum{M_A}=I_A\alpha$. Como $I_A=\dfrac{2}{5}mr^2+mr^2=\dfrac{7}{5}mr^2$,

$mg\dfrac{r}{2}=\dfrac{7}{5}mr^2\alpha$,

$\alpha=\dfrac{5g}{14r}$.

b) Planteando el DCL, tenemos que $mg\cos\theta=N$,

$N=\dfrac{\sqrt{3}}{2}mg$.

c) En este apartado, no me sale igual que el solucionario (alguna cosa habré hecho mal).

$mg\sin\theta=\mu N$,

$\mu=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

Y también $F_r=\mu N=\dfrac{mg}{2}$.

Saludos cordiales,
JCB.

[plocobio]

Muchas gracias por la respuesta!! me he puesto a volver a plantear el problema y al fin he podido dar con la solución que me dan!! ¿estás interesado en que la ponga o cerramos hilo?

[JCB]

Por supuesto, que estoy interesado en que publiques el desarrollo para la obtención de la respuesta correcta, como no podría ser de otra manera. Gracias por adelantado. Aunque pensando un poco, quizás que esperes un tiempo por si otro miembro se decide a participar, y así tenemos otro punto de vista, pero tú mismo.

[Richard R Richard]

Yo también llego a $\mu=tan\theta=\dfrac1{\sqrt3}$ en el punto 3...si en clase te demuestran que 0.16 es el resultado correcto, pásate por aquí y coméntanos como es que llegan a ese valor...

[pod]

(perdonen no poner todo con foto pero no me deja el sistema)

De hecho, sólo tienes que incluir las imágenes mínimas necesarias; en este caso el diagrama es necesario pero el resto no. No está permitido poner texto ni ecuaciones en imágenes, usa el LaTeX. Has puesto una ecuación con imágenes, lo cual no está permitido. Por favor, usa LaTeX como en el resto de tus ecuaciones.



A mi, particularmente, este tipo de problemas me gusta resolverlos utilizando vectores, que para eso están. Quizá el cálculo es más engorroso, pero más directo porque sólo hay que aplicar las fórmulas y ni siquiera hay que tener cuidado con los ángulos a la hora de poner senos y cosenos.

Elijo un sistema de coordenadas donde el centro de la bola es el punto (0, 0, 0). El eje OX es positivo hacia la derecha, el eje OY es positivo hacia arriba. Por lo tanto, el eje OZ, si nos hiciera falta, seria positivo saliendo el papel. En sistema, el punto A es $\left( -\frac r2, \ -\frac{\sqrt{3} r}2,\ 0\right)$.

El primer apartado se resuelve básicamente como ya habéis hecho. La segunda ley de Newton para el movimiento angular relaciona el torque con la aceleración angular a través del momento de iniercia,

$$\vec\tau = I \vec\alpha .$$

El eje de rotación pasa por el punto A, y con el teorema de Steiner el momento será $I = \frac75 mr^2$. Sobre la esfera hay dos fuerzas, la reacción del soporte en A y el peso en el centro de masas. La primera fuerza está a distancia cero y no proporciona torque. El peso proporciona un torque igual a $\vec r_{AO} \times \vec P$. Donde $\vec r_{AO} = \frac r2 \hat\imath + \frac{\sqrt 3 r}2\hat\jmath$ es el vector que sale de A y va hacia O y $\vec P = - m g \hat\jmath$.

El producto vectorial se puede hacer con el determinante típico, pero es más fácil aplicar la propiedad distributiva porque es muy sencillo recordar el producto vectorial de vectores de la base, $\hat\imath \times \hat\jmath = \hat k$, $\hat\jmath \times \hat k= \hat\imath$ y $\hat k \times \hat\imath = \hat\jmath$. Además, el producto de un vector por si mismo es cero; y si los factores aparecen al revés se cambia el signo. Con todo esto, el torque es

$$\vec\tau = - \frac m g r \hat k\ .$$

La aceleración angular se obtiene dividiendo esta cantidad por el momento angular,

$$\vec\alpha = - \frac5{14} \frac g r \vec k .$$

El vector aceleración angular se mete hacia dentro en el papel. Por la regla de la mano derecha eso significa que la bola se mueve hacia abajo. Todo consistente.

Para hacer el segundo apartado, necesitamos traducir la aceleración angular que hay en el punto A al movimiento del centro de masas. Esto es un simple producto vectorial,

$$\vec a_\text{cm} = \vec\alpha \times \vec r_{AO} .$$

Debo reconocer que nunca recuerdo el orden correcto de este producto vectorial. En este caso, deduzco que tiene que ser así gracias a la regla de la mano derecha (sino, saldría un movimiento del centro de masas con componente y positiva, lo cual no tiene sentido). Es sencillo hacerlo siguiendo las mismas reglas de antes,

$$\begin{aligned}<br /> \vec a_\text{cm} & = \vec\alpha \times \vec r_{AO} \\<br /> & = - \frac5{14} \frac g r \vec k \times \left( \frac r2 \hat\imath + \frac{\sqrt3r}2\hat\jmath\right) \\<br /> & = - \frac5{28} g \vec k \times \left( \hat\imath + \sqrt3 \hat\jmath\right) \\<br /> & = - \frac5{28} g \left( \hat\jmath - \sqrt3 \hat\imath\right) \\<br /> & = \frac{\sqrt 3 5g}{28} \hat\imath - \frac{5g}{28} \hat\jmath \ .<br /> \end{aligned}$$

A partir de aquí, es cuestión de usar la segunda ley de Newton, ahora para el movimiento del centro de masas. Hay dos fuerzas, la reacción que nos piden, que podemos llamar $\vec R$ y el peso, $\vec P = - mg \hat\jmath$. Aislar la reacción es sencillo,

$$\begin{aligned}<br /> \vec R & = m \vec a_\text{cm} - \vec P \\<br /> & = \frac{\sqrt 3 5mg}{28} \hat\imath - \frac{5mg}{28} \hat\jmath + m g \hat\jmath \\<br /> & = \frac{\sqrt 3 5mg}{28} \hat\imath + \frac{23mg}{28} \hat\jmath \ .<br /> \end{aligned}$$

Para mi, esta es la respuesta al apartado 2. Es un vector, y puedes darlo en cualquier base. Ahora bien, en el solucionario te ponen la componente normal y la componente tangencial a la esfera (que es igual a la fricción). Esta descomposición te será útil en el tercer apartado, así que vamos a hacerla.

La componente normal es igual a la parte de $\vec R$ que es paralela al radio vector $\vec r_{AO}$. La forma más sencilla de calcular ese valor es mediante un producto escalar. Primero, hay que buscar el vector unitario

$$\hat r_{AO} = \frac{\vec r_{AO}} r = \frac12 \hat\imath + \frac{\sqrt3}2 \hat\jmath .$$

La normal será

$$N = \vec R \cdot \hat r_{AO} = \frac{\sqrt 3 5mg}{28} \frac12 + \frac{23mg}{28} \frac{\sqrt3}2 = \frac{\sqrt3}{2} m g.$$

La componente tangencial se puede calcular de forma análoga, pero en vez de un producto escalar usando el vectorial. Esta vez no me importa el vector, así que tomo el módulo,

$$f_r = \big| \vec R \times \hat r_{AO} \big| = \left| \frac{\sqrt 3 5mg}{28} \frac{\sqrt3}2 - \frac{23mg}{28} \frac12 \right| = \frac 17 mg .$$

Finalmente, el apartado 3 es el más sencillo de todos. Por definición, el coeficiente de fricción estático determina la fuerza de rozamiento máxima,

$$f_r \le \mu_e N .$$

Si enchufamos ahí todo lo que hemos calculado

$$\frac17mg \le \mu_e \frac{\sqrt3}{2} m g \longrightarrow \mu_e \ge \frac{2}{7\sqrt3} \approx 0,16495.$$

[JCB]

Fenomenal, pod, me pondré a estudiar tu mensaje para intentar asimilarlo, aunque me costará algo de tiempo.

[plocobio]

Wow, qué magnifica respuesta! Muchísimas gracias por tomarse la molestia de hacerlo de forma tan desarrollada. En el momento en el comencé el hilo, era un recién estudiantes de física ahora 5 años después, terminé el grado! He visto pod que tiene varios ejercicios super interesantes en la parte de "Colección de problemas" de la web. ¿Le importaría si nos escribimos para compartir fuentes de libros de ejercicios? me sigue apasionando resolver ejercicios aunque ya esté graduado, le dejo mi correo Perdone que le hable desde un comentario pero, no he podido contactarle de ninguna otra forma. De nuevo, muchísimas gracias!

[JCB]

Hola a tod@s.

Mientras iba asimilando el mensaje # 4 de pod, me ha hecho dar cuenta de que en el apartado c) de mi mensaje # 2, había aplicado el equilibrio estático, en lugar del equilibrio dinámico. Si aplico este último:

$mg\sin\theta-\mu N=ma=m\alpha r$,

$\dfrac{mg}{2}-\mu\dfrac{\sqrt{3}}{2}mg=m\dfrac{5g}{14}$,

$\mu=\dfrac{2}{7\sqrt{3}}$.

Saludos cordiales,
JCB.