Fuerzas Centrales-Gravedad

[Regulus]

Hola ¿Cómo están? Tengo una duda con un ejercicio de gravitacion y fuerzas centrales, necesito de ayuda para ver si estoy entendiendo lo que hago.

un sistema está formado por tres partículas. Dos de ellas son fijas con masa m cada una y separadas a una distancia de 2a. La tercera tiene mass m₀ y se encuentra inicialmente n reposo, en un punto equidistantendenlas otras dos partículas y a una distancia Y del punto medio entre ellas.

A)determinar la velocidad de la masa m₀ cuando pasa por el punto medio de las otras dos partículas.

B) si la distancia Y es muy pequeña comparada con a (Y«a) demuestre que la masa m₀ describirá un movimiento armonico simple

Lo que hice en el inciso A fue aplicar el teorema de conservacion de la energia y relacionar mi energia potencial gravitacional con la particula, ademas que el enunciado me dice que la particula esta separa de forma equidistante d elas otras dos partículas semejantes, lo que me indica que forman un triangulo equilatero.

V₀=✓(Gm²/a√3), ni idea si está bien
La parte b no supe demostrarla.

[Al2000]

Revisa, el triángulo no es equilátero sino isósceles, con un lado de longitud "2a" (entre las dos partículas fijas) y los otros dos lados de longitud $\dst \sqrt {a^2 + Y^2}$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Regulus]

Revisa, el triángulo no es equilátero sino isósceles, con un lado de longitud "2a" (entre las dos partículas fijas) y los otros dos lados de longitud $\dst \sqrt {a^2 + Y^2}$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

Ah ok, en tal caso si tendria que aplicar la le de conservación de energiar?

O por la relación F=ma me basta?

[Al2000]

Si yo fuera tu, lo haría por conservación de la energía. Para el inciso B) depende de lo que tu profesor entienda que es suficiente para demostrar que el movimiento es un MAS. Yo creo que es aceptable llegar a demostrar que la fuerza sobre $m_0$ es restauradora y proporcional a la distancia $Y$.

Si te trancas, pregunta de nuevo.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Regulus]

Entiendo entiendo, entonces como las dos particulas ejercen una fuerza de atracción sobre m_o la energia potencial inicial seria 2Gmmo/√a²+Y². Correcto? Que sucede con la final? Se cancela?

Recuerdo también que las fuerzas restauradoras existen cuando la variable queda elevado a un numero par, creo que con eso es suficiente

[Al2000]

Cuando la partícula se encuentra en el punto medio de la línea que une las dos partículas fijas, la distancia será _________ (llena el espacio) y por lo tanto la energía potencial será _________ (otra vez), etc

Cuando te dije que la fuerza es restauradora, me refería a que en todo momento apunta hacia una posición que es la posición de equilibrio, En forma llana, la fuerza debe ser del tipo resorte, F = -k x, en donde "k" es una constante a determinar.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Alriga]

Hola Alfa Leonis, bienvenido a La web de Física, por favor, como miembro reciente lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

... B) si la distancia Y es muy pequeña comparada con a (Y << a) demuestre que la masa m₀ describirá un movimiento armónico simple ... La parte B) no supe demostrarla.

El apartado B) es sencillo. Si llamamos "y" a la coordenada vertical de la partícula $m_0$ la fuerza vertical que sufre debido a la atracción gravitatoria de las otras 2 partículas de masa $m$ es:

$\cancel{F_y}=\left (-G \ \dfrac{m \cdot m_0}{y^2+a^2} \cdot \cancel{\dfrac y a} \right ) \cdot 2$

Corrigiendo el error en la proyección vertical de la fuerza:

$F_y=\left (-G \ \dfrac{m \cdot m_0}{y^2+a^2} \cdot \dfrac y {\sqrt {y^2 + a^2}} \right ) \cdot 2$

$F_y=- \dfrac{2 \ G \ m \ m_0}{\big (y^2+a^2 \big )^{3/2}} \cdot y$

Si $a >> y \longrightarrow (y^2+a^2) \approx a^2$

y por lo tanto

$F_y\approx - \left (\dfrac{2 \ G \ m \ m_0}{a^3}\right ) \cdot y$

$\boldsymbol{F_y\approx -k \cdot y}\quad ($ Que corresponde a un movimiento armónico simple c.q.d. )


El apartado A) La energía potencial gravitatoria inicial cuando $m_0$ está en la posición "Y"

$U_i=-G\dfrac{m \ m_0}{\sqrt{Y^2+a^2}} \cdot 2$

La energía potencial gravitatoria final cuando $m_0$ está en el medio de las dos masas $m$:

$U_f=-G\dfrac{m \ m_0}a \cdot 2$

La energía cinética en ese punto medio:

$E_c=\dfrac 1 2 m_0 v^2$

Conservación de la energía:

$U_i=U_f+E_c$

$-2 \ G\dfrac{m \ m_0}{\sqrt{Y^2+a^2}}=-2 \ G\dfrac{m \ m_0}a+\dfrac 1 2 m_0 v^2$

Despejando la velocidad

$v=2 \ \sqrt{G \ m\left (\dfrac 1 a-\dfrac 1{\sqrt{Y^2+a^2}}\right )}$

Saludos