Divulgación Problema de deslizamiento de una bola de billar que patina durante unos metros

[inakigarber]

Buenas noches;
Os planteo el siguiente problema cuyos resultados no me cuadran;
Una bola de billar de 0.16 Kg y radio 3cm es golpeada por el taco mediante un impulso horizontal que pasa por su centro. La velocidad inicial de la bola es de 4m/s. El coeficiente de rozamiento cinético es 0.6
a) ¿Durante cuantos segundos desliza la bola antes de que comience a rodar sin deslizamiento?
b) ¿Qué distancia recorre deslizando?
c) ¿Cuál es su velocidad cuando comienza a rodar sin deslizamiento?
Soluciones a=0.194 seg, b=0.666 y c=2.86m/seg
A mi no me cuadran.
El razonamiento que yo he seguido ha sido el siguiente;

$$E_i=\frac{0.16\cdot 4^2}{2}=1.28J$$

Energia final del sistema Ef=Eroz+Ect+Ecr, donde Eroz=Energia perdida por rozamiento, Ect=Energia cinética de traslación y Ecr=Energia cinética traslacional
metiendo valores;

$$E_f=1,28=0.94176S+0.0128V_f^2+0.032V_f^2=0.94176S+ 0.0448V_f^2$$

Donde S es el espacio recorrido.
Por otra parte podemos relacionar la velocidad inicial, la final y el espacio recorrido mediante la formula;

$$V_f^2=V_o^2-2aS$$

donde a seria la aceleración debida al frenado; $\mu g=0.6 \cdot 9.81=5.886 m/seg^2$
Por tanto;

$$V_f^2=4^2-2\cdot 5.886S=16-11.772S$$

Sustituyendo el valor de Vf y despejando "S" me sale un espacio S=1.23 metros que no coincide con el resultado del libro, por lo que supongo debo estar metiendo la pata. Pero ¿Dónde?
Saludos y gracias.

[carmelo]

Re: Problema de deslizamiento de una bola de billar que patina durante unos metros

Hola.

$M a = -f_r=-\mu Mg$

$I\alpha = f_r . R=\mu Mg R$

De aquí obtienes $a$ y $\alpha$

Luego cálcula $v$ y $\omega$ en función del tiempo.

$v=v_0 - at$

$\omega =\omega_0 - \alpha t$

Aplica la condición de rodadura: $v=\omega R$ y despeja el tiempo.

Luego obtén la distancia y demás respuestas. No hice los cálculos. Cuando los revise te digo si me da lo mismo.

Saludos
Carmelo

- - - Actualizado - - -

...
Energia final del sistema Ef=Eroz+Ect+Ecr, donde Eroz=Energia perdida por rozamiento, Ect=Energia cinética de traslación y Ecr=Energia cinética traslacional ...

Y la energía rotacional de la bola?? Corrigiendo esto deberías llegar a buen puerto.

Los resultados que pones como respuesta del ejercicio son los correctos. Ya los verifiqué.

Saludos
Carmelo

[inakigarber]

Re: Problema de deslizamiento de una bola de billar que patina durante unos metros

Gracias por tu respuesta.
Es más fácil que mi procedimiento, no obstante, ya por cabezonería he tratado de seguir mi razonamiento para averiguar donde me equivoco.
Donde dije "Energia final del sistema Ef=Eroz+Ect+Ecr, donde Eroz=Energia perdida por rozamiento, Ect=Energia cinética de traslación y Ecr=Energia cinética traslacional ..." quise decir "Donde dije "Energia final del sistema Ef=Eroz+Ect+Ecr, donde Eroz=Energia perdida por rozamiento, Ect=Energia cinética de traslación y Ecr=Energia cinética rotacional ..."
De todos modos no me sale y quiero saber cual es mi error.
Veamos;

$$E_i=\frac{mV_i^2}{2}=\frac{0.16\cdot 4^2}{2}=1,28J$$

$$a_f=\mu g=0.6 \cdot 9.81=5.886 m/s^2$$

$$E_f=\mu g S+\frac{m \cdot V_f^2}{2}+\frac{I \omega^2}{2}$$

Como; $I=\frac{2 \cdot m \cdot r^2}{5}$ y $\omega=\frac{V_f}{r}$
sustituyendo me sale;

$$E_f=m\mu g S+\frac{m \cdot V_f^2}{2}+\frac{I \omega^2}{5}$$

simplificando;

$$E_f=m\mu g S+\frac{7 \cdot m \cdot V_f^2}{10}$$

Como la energía se conserva Ei=Ef y sustituyendo por valores;

$$1.28=0.16\cdot 0.6 \cdot 9.81\cdot S+\frac{7 \cdot 0.16 \cdot V_f^2}{10}=0.94176 S+0.112 V_f^2$$

Como $V_f^2=V_i^2-2 \mu g S=16-11.772S$
Operando obtengo; S=1,3591 metros. Lo cual está mal, pero no se donde me equivoco.
Saludos y gracias.
P.D.------------------------------------------------------
Parto de la idea de que en el instante inicial la bola patina por respecto al suelo y por tanto no gira, solo tiene movimiento de translación pero no de rotación.

[carmelo]

Re: Problema de deslizamiento de una bola de billar que patina durante unos metros

El problema con el planteamiento de energia es que no puedes calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento, ya ue en parte la bola desliza y rueda. Es decir la distancia s no es la distancia que efectivamente recorrio el centro de masa de la bola. Es facil convencerse que para que fueran iguales, la bola no deberia girar. Ten cuidado con eso, yo tambien lo pase por alto en una primera instancia.

Saludos
Carmelo

[inakigarber]

Re: Problema de deslizamiento de una bola de billar que patina durante unos metros

El problema con el planteamiento de energia es que no puedes calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento, ya ue en parte la bola desliza y rueda. Es decir la distancia s no es la distancia que efectivamente recorrio el centro de masa de la bola. Es facil convencerse que para que fueran iguales, la bola no deberia girar. Ten cuidado con eso, yo tambien lo pase por alto en una primera instancia.

Saludos
Carmelo

Entiendo que la bola en un primer instante empieza a desplazarse sin rotar y a medida que la fuerza de rozamiento va surtiendo efecto sobre la rotación va empezando a rotar. De manera que la aceleración lineal es descendente y la aceleración angular ascendente hasta que se de la condición de no deslizamiento $\omega=\frac{V}{r}$, a partir de aquí ambas son descendientes hasta llegar a detenerse la bola. En ese caso toda la energía inicial se habrá disipado en forma de rozamiento. Siempre deberá darse la condición de que la suma de energías (cinética rotacional, cinética traslacional y energía de rozamiento) sean iguales a la energía inicial( que es la que inicialmente aparece asociada a la velocidad lineal inicial (4m/s) que vale 1.28 Julios si no estoy equivocado. Es como lo veo yo ahora. ¿Me equivoco en algo?
Saludos y gracia-

[carmelo]

Re: Problema de deslizamiento de una bola de billar que patina durante unos metros

El balance es correcto. La dificultad con ese planteamiento es que no puedes calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento dado que no conoces la distancia a utilizar, ya que esta no coincide con la distancia recorrida por el cm de la bola.

Saludos
Carmelo

[inakigarber]

Re: Problema de deslizamiento de una bola de billar que patina durante unos metros

El balance es correcto. La dificultad con ese planteamiento es que no puedes calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento dado que no conoces la distancia a utilizar, ya que esta no coincide con la distancia recorrida por el cm de la bola.

Saludos
Carmelo

No entiendo porque. Si el centro de masas de la bola se desplaza 5cm (por ejemplo) la parte de la superficie en contacto con la bola también se habrá desplazado 5 cm. Yo he supuesto desde el primer momento que la energía perdida por rozamiento era $E_roz=mg\mu S$donde S era la distancia recorrida por el cm de la bola. ¿hay algo incorrecto en mi razonamiento?
Saludos y garcias-

[carmelo]

Re: Problema de deslizamiento de una bola de billar que patina durante unos metros

No entiendo porque. Si el centro de masas de la bola se desplaza 5cm (por ejemplo) la parte de la superficie en contacto con la bola también se habrá desplazado 5 cm. Yo he supuesto desde el primer momento que la energía perdida por rozamiento era $E_roz=mg\mu S$donde S era la distancia recorrida por el cm de la bola. ¿hay algo incorrecto en mi razonamiento?
Saludos y garcias-

Piensa una vez que la bola está en un movimiento de rodadura pura, el cm se desplaza una distancia d, y el trabajo de la fuerza de rozamiento es cero. (No hay deslizamiento entre las superficies). Lo mismo pasa antes de que se alcance dicha condición, no se puede decir que exista un movimiento de "deslizamiento puro", que sería lo que debería suceder para que se de que la distancia recorrida por el centro de masa sea igual que la distancia en la cual deslizan las superficies.

Por lo tanto lo incorrecto de ese razonamiento es suponer que la distancia de deslizamiento es igual a la recorrida por el cm. Otra cosa, no lo llames energía de rozamiento, llámalo trabajo de rozamiento o energía disipada.


Saludos
Carmelo

PD: Creo que la manera de que puedas ver que es plantear lo siguiente:

Calcular el valor de $s$ que debes de utilizar plantea lo siguiente:

$\dfrac{\dd s}{ \dd t}=v_{cm}-\omega R$

Integra en función del tiempo y obtendrás $s$.

Utiliza ese valor para calcular el trabajo de la fuerza de rozamiento en el balance de energía y éste se te debería cumplir.

Saludos
Carmelo

[Breogan]

Re: Problema de deslizamiento de una bola de billar que patina durante unos metros

Hola:

La dinámica rotacional siempre fue para mi un dolor de cabeza; pese a no ser anti-intuitiva, como otras ramas de la física, siempre se debe tener cuidado en como se analizan los modelos que la describen, y al principio se deben usar todos los pasos necesarios para la descripción de este.
Primero me gustaría llamar la atención sobre dos afirmaciones que realizaste con anterioridad.

De manera que la aceleración lineal es descendente y la aceleración angular ascendente hasta que se de la condición de no deslizamiento $\omega=\frac{V}{r}$, a partir de aquí ambas son descendientes hasta llegar a detenerse la bola

Una vez se cumple la condición de rodadura sin deslizamiento, la fuerza de rozamiento (en este problema y con el modelo ideal de rodadura) se anula, de forma que lo subrayado en la parte citada de tu mensaje no se cumple.
La bola seguirá rodando y desplazándose indefinidamente a cuenta de que no aparezca una fuerza que lo detenga, para la bola es como si el paño dejara de existir en ese momento, esto es porque en el punto de contacto entre la bola y el paño en ese momento no hay deslizamiento o tendencia a que este ocurra, por lo cual no existen fuerzas de rozamiento dinámicas o estáticas.

No entiendo porque. Si el centro de masas de la bola se desplaza 5cm (por ejemplo) la parte de la superficie en contacto con la bola también se habrá desplazado 5 cm. Yo he supuesto desde el primer momento que la energía perdida por rozamiento era donde S era la distancia recorrida por el cm de la bola. ¿hay algo incorrecto en mi razonamiento?
Saludos y garcias-

Lo subrayado en la cita de tu mensaje no es correcto, para verlo podes analizar casos extremos como sigue.

Imaginate la misma bola en las mismas condiciones, pero anclada a su posición por un eje que le permite girar libremente pero no desplazarse por la mesa; dicha bola después de estar girando durante un cierto tiempo en su misma posición rozando contra el paño se detendrá porque su energía se disipara por rozamiento, pese a que su centro de masa no se desplazo.
Y si esta bola cumpliera desde un principio la condición de rodadura, como vimos anteriormente, no perdería nada de su energía (no habría rozamiento.
Cualitativamente se ve que la energía perdida por rozamiento va a depender de la longitud del perímetro de la bola que se desliza sobre el paño.

Para calcularlo cuantitativamente lo mas fácil es hacer el diagrama de cuerpo libre de la bola, en este van a aparecer el peso y la reacción normal que se anularan mutuamente, y la fuerza de rozamiento que estará sobre el perímetro de la bola.
Podemos reemplazar la fuerza de rozamiento por otra fuerza (F'r) igual ubicada en el CM de la bola, y un momento igual a $\dst M = F_r \ R$ también referido al CM.
Al final lo que nos queda es un cuerpo rígido (la bola) sobre el que actúan una fuerza F'r y un momento M, y ambos producen un trabajo dados por:

$\dst W_{F'_r} = \vec F'_r . \vec v_{CM} \ t \quad y \quad W_M = \vec M . \vec \omega \ t$

o en forma diferencial:

$\dst dW_{F'_r} = \vec F'_r . \vec v_{CM} \ dt \quad y \quad dW_M = \vec M . \vec \omega \ dt$

y el trabajo total sera:

$\dst dW_{F_r} = dW_{F'_r} + dW_M = \vec F'_r . \vec v_{CM} \ dt + \vec M . \vec \omega \ dt$

Para el caso particular de este problema podemos tomar un SR tal que x,z sea el plano de la mesa, el semieje positivo y+ apunta hacia arriba, y la bola se desplaza en el semieje x+ y rueda en el plano x,y. En base a esto tendremos:

$\dst \vec F_r = \vec F'_r= - F_r \ \hat i \quad y \quad \vec v_{CM} = v_{CM} \ \hat i \quad y \quad \vec M = - M \ \hat k \quad \quad y \quad \vec \omega = - \omega \ \hat k$

por lo cual resultara:

$\dst dW_{F_r} = - F_r \ v_{CM} \ dt + M \ \omega \ dt$

$\dst dW_{F_r} = \left( M \ \omega - F_r \ v_{CM} \right) dt$

como M = Fr R queda:

$\dst dW_{F_r} = F_r \ \left( R \ \omega - v_{CM} \right) dt$

que como veras es igual a la de carmelo pero con los signos cambiados, por lo cual habría que verificar los pasos de mi desarrollo. En todo caso lo puedo hacer mañana, hoy ya es tarde.

s.e.u.o.

Suerte

[carmelo]

Re: Problema de deslizamiento de una bola de billar que patina durante unos metros

.... como M = Fr R queda:

$\dst dW_{F_r} = F_r \ \left( R \ \omega - v_{CM} \right) dt$

que como veras es igual a la de carmelo pero con los signos cambiados, por lo cual habría que verificar los pasos de mi desarrollo. En todo caso lo puedo hacer mañana, hoy ya es tarde.

s.e.u.o.

Suerte

Es lo mismo:

$\dfrac{\dd s}{ \dd t}=v_{cm}-\omega R \Rightarrow \dd s=(v_{cm}-\omega R)\dd t$ y $\dd W_r=-f_r(v_{cm}-\omega R)\dd t=f_r(\omega R- v_{cm})\dd t$

Saludos
Carmelo

[visitante20160513]

Re: Problema de deslizamiento de una bola de billar que patina durante unos metros

En esencia lo que ocurre es que el rozamiento provoca que la bola pierda energía traslacional (se frene en su movimiento de traslación) y gane energía de rotación a un ritmo constante. En el momento en que la bola gira a la velocidad que corresponde a su velocidad de traslación comienza a rodar sin deslizamiento. Ambos movimientos pueden analizarse independientemente ya que realmente lo son, y son respectivamente dos movimientos uniformemente acelerados, uno de rotación uniformemente acelerado por el par que genera la fuerza de rozamiento y otro de traslación uniformemente retardado por la propia fuerza de rozamiento, así que el análisis del fenómeno es bastante sencillo.

Salu2, Jabato.

[inakigarber]

Re: Problema de deslizamiento de una bola de billar que patina durante unos metros

En esencia lo que ocurre es que el rozamiento provoca que la bola pierda energía traslacional (se frene en su movimiento de traslación) y gane energía de rotación a un ritmo constante. En el momento en que la bola gira a la velocidad que corresponde a su velocidad de traslación comienza a rodar sin deslizamiento. Ambos movimientos pueden analizarse independientemente ya que realmente lo son, y son respectivamente dos movimientos uniformemente acelerados, uno de rotación uniformemente acelerado por el par que genera la fuerza de rozamiento y otro de traslación uniformemente retardado por la propia fuerza de rozamiento, así que el análisis del fenómeno es bastante sencillo.

Salu2, Jabato.

Gracias por vuestras respuestas. En este momento estoy justo de tiempo y no puedo extenderme largamente, yo lo que he tratado de hacer es aplicar la ley de conservación de la energía, al menos en el tiempo comprendido hasta que la bola comienza a rodar sin patinar. La suma de energías, la energía disipada por rozamiento más las energías cinética de rotación y de traslación debe de ser igual a la energía cinética inicial. Una vez que deja de patinar (suponiendo que no hubiera otros tipos de rozamiento -con el aire por ejemplo-) la bola seguiría rodando a velocidad constante.¿Es así?
Saludos.

- - - Actualizado - - -

.....Lo subrayado en la cita de tu mensaje no es correcto, para verlo podes analizar casos extremos como sigue.

Imaginate la misma bola en las mismas condiciones, pero anclada a su posición por un eje que le permite girar libremente pero no desplazarse por la mesa; dicha bola después de estar girando durante un cierto tiempo en su misma posición rozando contra el paño se detendrá porque su energía se disipara por rozamiento, pese a que su centro de masa no se desplazo...

De hecho lo que yo digo solo será cierto cuando se de la condición de no deslizamiento. Mientras haya deslizamiento, mi condición no es correcta.
Saludos.