Problema de tiro parabólico desde una altura conocida y ángulo de máximo alcance.

[JCB]

Hola a tod@s.

Fenómeno, Trisko. Con mi Excel de estar por casa (nunca mejor dicho), con los valores de $v_0=5.940\ m/s$ y $h=13\ m$, me da un alcance máximo para $45^{\circ}\ (0,79\ rad)$, igual a $3.600.380,35\ m = 3.600,38\ km$, utilizando tu fórmula, y coincide con los valores hallados a partir del alcance de la expresión que he escrito en mi mensaje # 12.

Saludos cordiales,
JCB.

[Trisko]

[Richard R Richard]

Mmmmh no me parece el mejor ejemplo lanzar algo a mach 17 (mach 1 =340m/s ) e ir a recogerlo a 3600 km donde la curvatura de la tierra ha cambiado en mucho mas que los escasos 13 m de diferencia de altura, es muy obvio que necesitamos el resultado terraplanista similar en absoluto vacio, y sin cambio de la gravedad con la altura y que este es muy similar a 45°

digo era preferible , trabajar con una velocidad 100 veces menor

veamos aún así no me desanimo

mirate esta tabla

que arme usando vuestros datos 5940m/s y 13 m con g=9.8m/s^2

usando $x_{alcance}=\dfrac{v_0^2}{g}\sin \theta \cos \theta\left(1+\sqrt{1+\dfrac{2gh_0}{v_0^2\sin^2\theta}}\right)$

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angulo	alcance
44,991	3600380,135
44,99109	3600380,138
44,99118	3600380,142
44,99127	3600380,146
44,99136	3600380,15
44,99145	3600380,154
44,99154	3600380,157
44,99163	3600380,161
44,99172	3600380,165
44,99181	3600380,168
44,9919	3600380,172
44,99199	3600380,175
44,99208	3600380,179
44,99217	3600380,182
44,99226	3600380,186
44,99235	3600380,189
44,99244	3600380,192
44,99253	3600380,196
44,99262	3600380,199
44,99271	3600380,202
44,9928	3600380,205
44,99289	3600380,208
44,99298	3600380,211
44,99307	3600380,215
44,99316	3600380,218
44,99325	3600380,221
44,99334	3600380,224
44,99343	3600380,227
44,99352	3600380,229
44,99361	3600380,232
44,9937	3600380,235
44,99379	3600380,238
44,99388	3600380,241
44,99397	3600380,243
44,99406	3600380,246
44,99415	3600380,249
44,99424	3600380,251
44,99433	3600380,254
44,99442	3600380,257
44,99451	3600380,259
44,9946	3600380,262
44,99469	3600380,264
44,99478	3600380,266
44,99487	3600380,269
44,99496	3600380,271
44,99505	3600380,273
44,99514	3600380,276
44,99523	3600380,278
44,99532	3600380,28
44,99541	3600380,282
44,9955	3600380,284
44,99559	3600380,286
44,99568	3600380,289
44,99577	3600380,291
44,99586	3600380,293
44,99595	3600380,295
44,99604	3600380,296
44,99613	3600380,298
44,99622	3600380,3
44,99631	3600380,302
44,9964	3600380,304
44,99649	3600380,305
44,99658	3600380,307
44,99667	3600380,309
44,99676	3600380,31
44,99685	3600380,312
44,99694	3600380,314
44,99703	3600380,315
44,99712	3600380,317
44,99721	3600380,318
44,9973	3600380,319
44,99739	3600380,321
44,99748	3600380,322
44,99757	3600380,323
44,99766	3600380,325
44,99775	3600380,326
44,99784	3600380,327
44,99793	3600380,328
44,99802	3600380,329
44,99811	3600380,331
44,9982	3600380,332
44,99829	3600380,333
44,99838	3600380,334
44,99847	3600380,335
44,99856	3600380,336
44,99865	3600380,336
44,99874	3600380,337
44,99883	3600380,338
44,99892	3600380,339
44,99901	3600380,34
44,9991	3600380,34
44,99919	3600380,341
44,99928	3600380,342
44,99937	3600380,342
44,99946	3600380,343
44,99955	3600380,343
44,99964	3600380,344
44,99973	3600380,344
44,99982	3600380,345
44,99991	3600380,345
45	3600380,345
45,00009	3600380,346
45,00018	3600380,346
45,00027	3600380,346
45,00036	3600380,346
45,00045	3600380,347
45,00054	3600380,347
45,00063	3600380,347
45,00072	3600380,347
45,00081	3600380,347
45,0009	3600380,347
45,00099	3600380,347
45,00108	3600380,347
45,00117	3600380,347
45,00126	3600380,347
45,00135	3600380,346
45,00144	3600380,346
45,00153	3600380,346
45,00162	3600380,346
45,00171	3600380,345
45,0018	3600380,345
45,00189	3600380,344
45,00198	3600380,344
45,00207	3600380,344
45,00216	3600380,343
45,00225	3600380,343
45,00234	3600380,342
45,00243	3600380,341
45,00252	3600380,341
45,00261	3600380,34
45,0027	3600380,339
45,00279	3600380,339
45,00288	3600380,338
45,00297	3600380,337
45,00306	3600380,336
45,00315	3600380,335
45,00324	3600380,334
45,00333	3600380,333
45,00342	3600380,332
45,00351	3600380,331
45,0036	3600380,33
45,00369	3600380,329
45,00378	3600380,328
45,00387	3600380,327
45,00396	3600380,326
45,00405	3600380,324
45,00414	3600380,323
45,00423	3600380,322
45,00432	3600380,32
45,00441	3600380,319
45,0045	3600380,318
45,00459	3600380,316
45,00468	3600380,315
45,00477	3600380,313
45,00486	3600380,311
45,00495	3600380,31
45,00504	3600380,308
45,00513	3600380,307
45,00522	3600380,305
45,00531	3600380,303
45,0054	3600380,301
45,00549	3600380,299
45,00558	3600380,298
45,00567	3600380,296
45,00576	3600380,294
45,00585	3600380,292
45,00594	3600380,29
45,00603	3600380,288
45,00612	3600380,286
45,00621	3600380,284
45,0063	3600380,281
45,00639	3600380,279
45,00648	3600380,277
45,00657	3600380,275
45,00666	3600380,273
45,00675	3600380,27
45,00684	3600380,268
45,00693	3600380,266
45,00702	3600380,263
45,00711	3600380,261
45,0072	3600380,258
45,00729	3600380,256
45,00738	3600380,253
45,00747	3600380,25
45,00756	3600380,248
45,00765	3600380,245
45,00774	3600380,242
45,00783	3600380,24
45,00792	3600380,237
45,00801	3600380,234
45,0081	3600380,231
45,00819	3600380,228
45,00828	3600380,225
45,00837	3600380,222
45,00846	3600380,22
45,00855	3600380,216
45,00864	3600380,213
45,00873	3600380,21
45,00882	3600380,207
45,00891	3600380,204
45,009	3600380,201

si observan el gráfico tuve que llegar hasta el sexto orden de decimales para hallar la diferencia entre el angulo 45° y el máximo real 45.00081 es decir el máximo esta a la derecha de 45





con el método de la arcotangente tenemos $\theta=44.9998\°$


pero con una velocidad mucho menor verán facil la diferencia.

[Trisko]

Como ya he comentado no se corresponde con la realidad pero mi objetivo era demostrar que el valor que obtuve es el de máximo alcance para tales ecuaciones (el valor que puse fue el primero que me salió con la función random.uniform), por supuesto que el ejercicio como se plantea solo tendría sentido en un mundo de dos dimensiones sin curvatura con gravedad constante y sin rozamiento pero no estamos tratando eso.

[JCB]

... / ... pero con una velocidad mucho menor verán facil la diferencia.

Hola a tod@s.

Richard, probemos con $v_0=5\ m/s$ y $h=10\ m$. Para estos valores, con la expresión de Trisko, se obtiene $\theta_{max}=\arctan{\dfrac{v_{0}}{(v^2_{0}+2gh)^{\frac{1}{2}}}}=0,3245\ rad=18,5897^{\circ}$, que substituyendo en mi expresión, me proporciona un alcance máximo

$x=\dfrac{v_0^2\sin 2\theta}{2g}+\dfrac{v_0^2\cos \theta}{g}\sqrt{\sin^2\theta+\dfrac{2gh}{v_0^2}}=7,5847\ m$ (he comprobado valores de $\theta$ en mi tabla de Excel, tanto por arriba como por abajo de $18,5897^{\circ}$, y no proporcionan un valor mayor del alcance a esos $7,5847\ m$).

Saludos cordiales,
JCB.

[Richard R Richard]

Hola JCB

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tita	alcance
18,49	7,58471463
18,4918	7,58471514
18,4936	7,58471564
18,4954	7,58471614
18,4972	7,58471662
18,499	7,58471709
18,5008	7,58471756
18,5026	7,58471801
18,5044	7,58471846
18,5062	7,58471889
18,508	7,58471932
18,5098	7,58471974
18,5116	7,58472015
18,5134	7,58472055
18,5152	7,58472094
18,517	7,58472132
18,5188	7,58472169
18,5206	7,58472205
18,5224	7,5847224
18,5242	7,58472275
18,526	7,58472308
18,5278	7,58472341
18,5296	7,58472372
18,5314	7,58472403
18,5332	7,58472433
18,535	7,58472462
18,5368	7,58472489
18,5386	7,58472516
18,5404	7,58472542
18,5422	7,58472568
18,544	7,58472592
18,5458	7,58472615
18,5476	7,58472637
18,5494	7,58472659
18,5512	7,58472679
18,553	7,58472699
18,5548	7,58472717
18,5566	7,58472735
18,5584	7,58472752
18,5602	7,58472768
18,562	7,58472783
18,5638	7,58472797
18,5656	7,5847281
18,5674	7,58472822
18,5692	7,58472833
18,571	7,58472843
18,5728	7,58472853
18,5746	7,58472861
18,5764	7,58472869
18,5782	7,58472875
18,58	7,58472881
18,5818	7,58472886
18,5836	7,58472889
18,5854	7,58472892
18,5872	7,58472894
18,589	7,58472895
18,5908	7,58472895
18,5926	7,58472894
18,5944	7,58472893
18,5962	7,5847289
18,598	7,58472886
18,5998	7,58472882
18,6016	7,58472876
18,6034	7,5847287
18,6052	7,58472862
18,607	7,58472854
18,6088	7,58472845
18,6106	7,58472835
18,6124	7,58472824
18,6142	7,58472812
18,616	7,58472799
18,6178	7,58472785
18,6196	7,5847277
18,6214	7,58472755
18,6232	7,58472738
18,625	7,5847272
18,6268	7,58472702
18,6286	7,58472683
18,6304	7,58472662
18,6322	7,58472641
18,634	7,58472619
18,6358	7,58472596
18,6376	7,58472572
18,6394	7,58472547
18,6412	7,58472521
18,643	7,58472494
18,6448	7,58472466
18,6466	7,58472437
18,6484	7,58472408
18,6502	7,58472377
18,652	7,58472346
18,6538	7,58472313
18,6556	7,5847228
18,6574	7,58472246
18,6592	7,58472211
18,661	7,58472175
18,6628	7,58472138
18,6646	7,584721
18,6664	7,58472061
18,6682	7,58472021
18,67	7,5847198

la predicción de la arcotangente es 18,589665645434379364287898867279 como tu dices

el máximo que obtengo con la fomula x =... es 18,5908 con un alcance de 7,584728952 m cuyo resultado es similar al de la arcotangente y difiere en el octavo orden, ...

la aproximación es buena, realmente muy buena, ya lo creo erra en $1 \mu m$ pero no surge directamente de resolver la derivada,

Fijate que segun el grafico de mi post #13 la discrepancia ocurre cuando h es mucho mayor que $g/v^2$

Veamos que pasa con 2 m/s y 1000 m de altura $\theta _{max}=46,8892\°$ con aproximadamente 19,7310974206707 m de alcance

yo obtengo 46,81° y un alcance de 19,7599450538335 m osea ya tenemos una diferencia de casi 3 cm... ya no son unos micrones el error, sino 10000 veces mayor

Sigo pensando que uno del los términos de

$0=-\dfrac{K \tan ^{-2}\theta}{\sqrt{1+\dfrac{K}{\sin^2\theta}}}+\left(1+\sqrt{1+\dfrac{K}{\sin^2\theta}}\right)(\cos^2\theta-\sin^2\theta)$

se desprecia para arribar al despeje por el método de la arcotangente, pero sigo sin ver cual.

[JCB]

... / ... Veamos que pasa con 2 m/s y 1000 m de altura $\theta _{max}=46,8892\°$ con aproximadamente 19,7310974206707 m de alcance

yo obtengo 46,81° y un alcance de 19,7599450538335 m osea ya tenemos una diferencia de casi 3 cm... ya no son unos micrones el error, sino 10000 veces mayor ... / ...

Hola a tod@s.

Richard, utilizando estos valores tuyos en la expresión de Trisko, obtengo $\theta_{max}=0,0143\ rad=0,8184^{\circ}$, que una vez substituidos en mi expresión, resulta un alcance máximo $x=28,5743\ m$. Vuelvo a comprobar en mi tabla Excel valores de $\theta$, tanto por arriba como por abajo de esos $0,8184^{\circ}$, y no hay valor que proporcione mayor alcance.

Es decir, vuelve a cumplirse, y no se trata de una aproximación, sino el resultado de la derivación, como ya ha dicho Trisko anteriormente.

Deberías reconocer, lo que ya es una evidencia demostrada.

Saludos cordiales,
JCB.

[sater]

Tras más intentos de los que reconocería, he llegado a:

$$\theta_{\text{max}}=\sin^{-1} \sqrt{\dfrac{1}{2}\dfrac{v_0^2}{v_0^2+gh}}$$

He probado algún valor y coincide con la fórmula de Trisko .

[sater]

Cuando tenga tiempo (y si queréis) puedo desarrollar algunos pasos. Un saludo.

[JCB]

Pues sería muy interesante, gracias. Lo intenté, pero lo tuve que dejar porque no hacía más que perderme.

[Trisko]

Lo mismo que Sater digo yo, si tengo tiempo lo haré, el problema es ese que he tenido que jugar bastante con las ecuaciones y es largo.

[sater]

Tras más intentos de los que reconocería, he llegado a:

$$\theta_{\text{max}}=\sin^{-1} \sqrt{\dfrac{1}{2}\dfrac{v_0^2}{v_0^2+gh}}$$

He probado algún valor y coincide con la fórmula de Trisko .

Usando que $\tan(\sin^{-1}(x))=\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ se puede demostrar que la fórmula de Trisko y la mía coinciden, algo que me estaba escamando. Ya me quedo más tranquilo.

Cuando saque un rato decente (estoy con cosas del máster) me entretengo en pasar a Latex algunos pasos de la deducción.

Un saludo.

EDITO: bueno pongo algunos pasos.

Para un movimiento acelerado, tenemos que $t=x/v_0 \cos\theta$. Sustituyendo en la ecuación para el eje y (con $y=0$) , tenemos una ecuación para el ángulo y la distancia final:

$$0=h+x\tan\theta-\dfrac{g}{2 v_0^2}\dfrac{x^2}{\cos^2\theta}$$

En esta se puede derivar implícitamente, y despejar $x'(\theta)$:

$$\dfrac{\dd x}{\dd \theta}=\dfrac{2bx^2 \tan\theta \sec^2\theta -x\sec^2\theta}{\tan\theta-2bx\sec^2\theta}$$

donde he llamado $b$ a $g/2v_0^2$

Igualando la derivada a cero obtenemos una ecuación que relaciona el ángulo máximo con la distancia máxima:

$$x=\dfrac{1}{2b\tan\theta}$$

Introduciendo (4) en (2) podremos despejar el ángulo que hace máximo el alcance, de donde sale ya la ecuación que puse en el post #22.

[Richard R Richard]

Deberías reconocer, lo que ya es una evidencia demostrada.

Hola JCB Siempre lo hago cuando me convenzo, como lo es el caso!, gracias...he mejorado la precisión de pi en mi ordenador, baje el numero de cálculos, y pase bien los datos de radianes a grados, no dos veces como el último caso, de allí el ultimo error. te pido disculpas por hacerte perder el tiempo, Luego obtuve una precisión hasta el décimo dígito... nada que decir así me hubiera convencido antes... Entonces debe haber un método para que la derivada igualada a cero llegue a tita máximo...como el que propone sater que vere si puedo reproducir .

Luego veré porque me sale la diferencia que tengo en el post #13 que seguro obedece a la precisión de excel...o a un nuevo error.
Agradezco a Trisko el aporte de la solución que obviamente desconocía, y se la porfie sin sentido. Saludos a todos... y inakigarber ya tiene lo que buscaba ...creo ....Saludos a todos.

[sater]

Este problema me está dando que pensar. Se me ha ocurrido otra manera de hacerlo. Nos podríamos plantear en general cuál es la tangente del ángulo para un tiro oblicuo con altura inicial $h$ que llega a una distancia final $x$. Operando con las dos ecuaciones de siempre se llega a que:

$$\tan\theta=\dfrac{1}{2bx}\pm\sqrt{1-4b(bx^2-h)}$$

con $b=g/2v_0^2$. Como se ve, el $\pm$ señala que para cada alcance dado se tienen dos ángulos posibles (como es costumbre, y auguro que serán simétricos respecto al máximo). Lo que se me ha ocurrido es que, para que la tangente exista (y no sea imaginaria), el alcance debe estar acotado. En concreto, su máximo valor posible es el que haga nulo el interior de la raiz. Resolviendo, obtendríamos el alcance máximo:

$$x_{\text{max}}=\dfrac{\sqrt{1+4bh}}{2b}$$

Sustituyendo (2) en (1) la raiz es nula y obtenemos el valor del ángulo que hace máximo el alcance:

$$\theta=\tan^{-1}\left(\dfrac{v_0}{\sqrt{v_0^2+2gh}}\right)$$

[inakigarber]

He vuelto a retomar el problema, pero me complico en los cálculos y me veo incapaz de hallar la solución para el ángulo máximo.

[sater]

He vuelto a retomar el problema, pero me complico en los cálculos y me veo incapaz de hallar la solución para el ángulo máximo.

Buenas Inakigarber.

¿Has probado a seguir mi desarrollo? Creo que el del mensaje #23 es poco claro, y no sé si me convence del todo, pero desde luego el del mensaje #25 lo considero acertado. Prueba y si necesitas algún paso más los detallo

[inakigarber]

Gracias por tu respuesta.

Este problema me está dando que pensar. Se me ha ocurrido otra manera de hacerlo. Nos podríamos plantear en general cuál es la tangente del ángulo para un tiro oblicuo con altura inicial $h$ que llega a una distancia final $x$. Operando con las dos ecuaciones de siempre se llega a que:

$$\tan\theta=\dfrac{1}{2bx}\pm\sqrt{1-4b(bx^2-h)}$$

con $b=g/2v_0^2$. Como se ve, el $\pm$ señala que para cada alcance dado se tienen dos ángulos posibles (como es costumbre, y auguro que serán simétricos respecto al máximo). Lo que se me ha ocurrido es que, para que la tangente exista (y no sea imaginaria), el alcance debe estar acotado. En concreto, su máximo valor posible es el que haga nulo el interior de la raiz. Resolviendo, obtendríamos el alcance máximo:

$$x_{\text{max}}=\dfrac{\sqrt{1+4bh}}{2b}$$

Sustituyendo (2) en (1) la raiz es nula y obtenemos el valor del ángulo que hace máximo el alcance:

$$\theta=\tan^{-1}\left(\dfrac{v_0}{\sqrt{v_0^2+2gh}}\right)$$

No consigo llegar a esa expresión.
Solo consigo llegar a la expresión;
$x_{t}=\dfrac{v^2 cos(a)sen(a)+vcos(a)\sqrt{v^2 sen^2 (a)-(2 g h)}}{g}$

Pero a partir de ahi no consigo avanzar más.

[sater]

Gracias por tu respuesta.



No consigo llegar a esa expresión.

Para llegar a una ecuación de segundo grado con las tangentes tienes que:

- De la ecuación para el eje X despejar el tiempo: $t=\dfrac{x}{v_0 \cos\theta}$
- Introducirlo en la ecuación para el eje Y habiendo hecho $y=0$, pues estamos interesados en encontrar una relación entre el alcance y el ángulo. Por lo tanto, queda:

$$h+v_0 \sin\theta \dfrac{x}{v_0 \cos\theta} -\dfrac{1}{2} g\dfrac{x^2}{v_0^2\cos^2\theta}=0$$

Simplificando los $v_0$ y como $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$, queda

$$h+x\tan\theta-\dfrac{g}{2v_0} x^2 \dfrac{1}{\cos^2\theta}$$

Para que nos queden tangentes, usamos que $\dfrac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta$, y llamando $b=\dfrac{g}{2v_0^2}$ y así lo anterior se reescribe como:

$$bx^2\tan^2\theta-x\tan\theta+bx^2-h=0$$

Esto es una ecuación de segundo grado para la tangente, si la resuelves con paciencia y simplificas se llega a:

$$\tan\theta=\dfrac{1}{2bx}\pm\dfrac{\sqrt{1-4b(bx^2-h)}}{2b}$$

Si os fijáis, no es la misma que puse, pues bajo la raíz se me olvidó el factor $2b$, aunque no cambia el razonamiento siguiente ni el resultado.

¿Hasta aquí bien?

Un saludo Inaki.

[inakigarber]

Para llegar a una ecuación de segundo grado con las tangentes tienes que:

- De la ecuación para el eje X despejar el tiempo: $t=\dfrac{x}{v_0 \cos\theta}$
- Introducirlo en la ecuación para el eje Y habiendo hecho $y=0$, pues estamos interesados en encontrar una relación entre el alcance y el ángulo. Por lo tanto, queda:

$$h+v_0 \sin\theta \dfrac{x}{v_0 \cos\theta} -\dfrac{1}{2} g\dfrac{x^2}{v_0^2\cos^2\theta}=0$$

Simplificando los $v_0$ y como $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$, queda

$$h+x\tan\theta-\dfrac{g}{2v_0} x^2 \dfrac{1}{\cos^2\theta}$$

Para que nos queden tangentes, usamos que $\dfrac{1}{\cos^2\theta}=1+\tan^2\theta$, y llamando $b=\dfrac{g}{2v_0^2}$ y así lo anterior se reescribe como:

$$bx^2\tan^2\theta-x\tan\theta+bx^2-h=0$$

Esto es una ecuación de segundo grado para la tangente, si la resuelves con paciencia y simplificas se llega a:

$$\tan\theta=\dfrac{1}{2bx}\pm\dfrac{\sqrt{1-4b(bx^2-h)}}{2b}$$

Si os fijáis, no es la misma que puse, pues bajo la raíz se me olvidó el factor $2b$, aunque no cambia el razonamiento siguiente ni el resultado.

¿Hasta aquí bien?

Un saludo Inaki.

A mi no se me hubiera ocurrido como simplificarlo tan bien;

Solo un detalle, a mi la expresión final me sale distinto, quizá me haya equivocado de nuevo,
$\tan\theta=\dfrac{1}{2bx}\pm\dfrac{\sqrt{1-4b(bx^2-h)}}{2bx}$

[Richard R Richard]

para que sea dimensionalmente correcta la expresión cuadratica debe ser 2bx el denominador