Problema de tiro parabólico desde una altura conocida y ángulo de máximo alcance.

[sater]

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Solo un detalle, a mi la expresión final me sale distinto, quizá me haya equivocado de nuevo,
$\tan\theta=\dfrac{1}{2bx}\pm\dfrac{\sqrt{1-4b(bx^2-h)}}{2bx}$

Gracias, es así. No doy una.

[inakigarber]

Gracias, es así. No doy una.

Tranquilo, no hay problema, yo tampoco lo hubiera entendido sin tu ayuda. Además, aun no alcanzo a calcular el ángulo con el cual se alcanzaría el máximo alcance.

[sater]

aun no alcanzo a calcular el ángulo con el cual se alcanzaría el máximo alcance.

Lo siguiente que hay que hacer es analizar esa tangente que hemos obtenido. Si te fijas:
- tiene un $\pm$, lo que quiere decir para cada alcance $x$, hay dos ángulos $\theta$ posibles (lo cual ya ocurría en un tiro parabólico sin altura inicial, debido a la periodicidad de las funciones trigonométricas).
- Cuando el radicando sea nulo, se tendrá un único ángulo. La cosa es, ¿es este ángulo el que corresponde al alcance máximo?
- Y resulta que sí, y sin necesidad de optimizar. La clave es darte cuenta de que existe un alcance máximo $x_{\text{max}}$ que hace el radicando nulo, y para alcances mayores el radicando es negativo y por tanto la tangente imaginaria, y no queremos eso.
- Resolviendo el interior del radicando igual a cero, obtienes el alcance máximo. $x_{\text{max}}=\dfrac{\sqrt{1+4bh}}{2b}$
- Sustituyendo de nuevo en la ecuación para la tangente, se anula el radicando y obtienes (si despejas) que $\theta=\tan^{-1}\left(\dfrac{v_0}{\sqrt{v_0^2+2gh}}\right)$

[inakigarber]

Lo siguiente que hay que hacer es analizar esa tangente que hemos obtenido. Si te fijas:
- tiene un $\pm$, lo que quiere decir para cada alcance $x$, hay dos ángulos $\theta$ posibles (lo cual ya ocurría en un tiro parabólico sin altura inicial, debido a la periodicidad de las funciones trigonométricas).
- Cuando el radicando sea nulo, se tendrá un único ángulo. La cosa es, ¿es este ángulo el que corresponde al alcance máximo?
- Y resulta que sí, y sin necesidad de optimizar. La clave es darte cuenta de que existe un alcance máximo $x_{\text{max}}$ que hace el radicando nulo, y para alcances mayores el radicando es negativo y por tanto la tangente imaginaria, y no queremos eso.
- Resolviendo el interior del radicando igual a cero, obtienes el alcance máximo. $x_{\text{max}}=\dfrac{\sqrt{1+4bh}}{2b}$
- Sustituyendo de nuevo en la ecuación para la tangente, se anula el radicando y obtienes (si despejas) que $\theta=\tan^{-1}\left(\dfrac{v_0}{\sqrt{v_0^2+2gh}}\right)$

Gracias por tu respuesta, yo no habría podido entenderlo sin tu ayuda.

Cuando llegue a esta expresión $\tan\theta=\dfrac{1}{2bx}\pm\dfrac{\sqrt{1-4b(bx^2-h)}}{2bx}$ pensé que se trataba de calcular la derivada de la función, hacerla igual a cero (condición de máximos y mínimos) pero ese camino me llevo por la calle de la amargura.

[sater]

Por ese método lo hice en un post anterior pero creo que es mucho más complicado (y ni si quiera compruebas que es un máximo).

Me alegro de que te haya ayudado =)