Problemas de sistemas no inerciales

[MrHawk123]

Hola a todos, espero que estén muy bien, hoy les traigo un problema de sistemas no inerciales. Aquí el problema.

Una partícula de masa $m$ se puede mover libremente y sin roce a lo largo de un alambre en forma de anillo de radio a, ver figura 1. El anillo rota en torno a un eje vertical que pasa por su centro con velocidad angular constante $w$. Si la partícula se encuentra en presencia de la gravedad, y en $t = 0, \theta = \dot{\theta} = 0$, donde $\theta$ es el ángulo que la posición de la partícula hace con la vertical.

a) Escriba la ecuación de movimiento de la partícula.

b) Encuentre la velocidad de la partícula según un observador inercial y su energía cinética.

c) Encuentre la posición de la partícula para la cual su energía es máxima.


Estoy trabajando con esta ecuación

$m\vec{\ddot{r}}^{} = \sum_{i} F_{i}^{(R)} - m\vec{\ddot{R}} - 2m\vec{w} \times \vec{v}^{'} - m\frac{d\vec{w}}{dt} \times \vec{r}^{'} - m\vec{w} \times (\vec{w} \times \vec{r}^{'})$

defini mi sistema $S^{'}$ tal que los ejes no roten con respecto a $S$ para poder hacer cero el termino $\vec{w}$ y quedar con una ecuacion mas simple.

$m\vec{\ddot{r}}^{} = \sum_{i} F_{i}^{(R)} - m\vec{\ddot{R}}$.



$x = x^{'}$
$y = y^{'}$
$z = z^{'}$

$S^{'}$ va con la partícula , después pensé que lo mas natural seria utilizar coordenadas esféricas, pero me quedo una expresión bastante fea.

Si lo intentan cuéntenme que tal les fue.

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Considerando unos ejes de coordenadas solidarios al anillo de radio $R$, he llegado a unos resultados, que estimo válidos para $0^{\circ}\leq\theta\leq180^{\circ}$.

1) Coordenadas de posición.

La coordenada $y$ de la partícula es $y=R-\dfrac{1}{2}gt^2$.

Como las coordenadas $x$ e $y$ están restringidas por la relación $x^2+y^2=R^2$, entonces

$x=\sqrt{R^2-y^2}=\sqrt{R^2-\left(R-\dfrac{1}{2}gt^2\right)^2}=\sqrt{Rgt^2-\dfrac{1}{4}g^2t^4}$.

2) Velocidades.

$v_x=\omega x=\omega \sqrt{Rgt^2-\dfrac{1}{4}g^2t^4}$,

$v_y=gt$.

Seguiré.

Saludos cordiales,
JCB.

[MrHawk123]

Hola JCB, en tu desarrollo o en el ejercicio?.

[Richard R Richard]

Hola este problema tampoco lo necesitas resolver por energías o desarrollo de lagrangiano?

[MrHawk123]

Hola Richard, mi profesor nos dijo que este era un problema de sistemas no inerciales y debíamos utilizar la ecuación que escribí mas arriba.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola , no estoy familiarizado con la resolución vectorial, aun así veo que tienes un gazapo en la fórmula tienes que agregar una masa para que sea dimensionalmente correcta.


$m\vec{\ddot{r}}^{} = \sum_{i} F_{i}^{(R)} - m\vec{\ddot{R}} - 2m\vec{w} \times \vec{v}^{'} - (m)\frac{d\vec{w}}{dt} \times \vec{r}^{'} - m\vec{w} \times (\vec{w} \times \vec{r}^{'})$

por lo pronto si puedes describir que son los vectores r y R , aún no veo de que va la cosa con ese planteo.Porque esa ecuación es una ecuación diferencial , no es la ecuación del movimiento, parametrizada en el tiempo, que surgiría en todo caso de resolver esa ecuación diferencial.

del mismo modo que tienes una ecuación para r o R tienes que tener una para $\theta$ ya que el movimiento es en mas de una dimensión.

para la coordenada $\phi$ es facil $\vec\phi=\vec\omega t$

[MrHawk123]

¿Richard donde faltaría una m?.

el vector r es el vector posición de la partícula respecto al sistema no inercial y el vector R es el vector posición del sistema no inercial, respecto al inercial.

Saludos.

[Richard R Richard]

La he colocado entre paréntesis en este mensaje.

[MrHawk123]

se me había olvidado disculpa, ya lo corregí.

[JCB]

Hola a tod@s.

MrHawk123: el comentario se refería a mi mensaje # 2, que está plagado de errores y es totalmente prescindible.

- Se trata del movimiento referido a un sistema móvil con rotación $\omega$ (cuando estudiaba, la llamábamos de arrastre).

- A su vez, la partícula describe un movimiento con velocidad y aceleración relativas.

- Entiendo que en primer lugar has planteado la dinámica de la partícula para hallar la velocidad y aceleración relativas.

En cualquier caso, no es un ejercicio sencillo (al menos para mí). Si hiciese algún progreso al respecto ya lo publicaría.

Saludos cordiales,
JCB.

[carroza]

Hola.

Este es un problema de movimiento con ligaduras, que se resuelve típicamente haciendo uso de lagrangianos.

Sin lagrangianos, la forma de plantearlo es ver las fuerzas que actúan en la dirección del alambre, para un ángulo $\theta$ determinado. Estas serán una cierta componente de la gravedad, y una cierta componente de la fuerza centrífuga. La fuerza de coriolis va en la dirección perpendicular al alambre, y se cancelaría con la reacción de este.

Una vez calculada la fuerza, se iguala al producto de la masa por la aceleración a lo largo del alambre, que es $a {d^2 \theta \over dt^2}$.

[JCB]

Hola a tod@s.

Planteando la segunda opción de carroza (no recuerdo haber estudiado lagrangianos), considero una posición de la partícula donde ha descrito un ángulo $\theta$ y una dirección tangencial perpendicular al radio del anillo. En esta situación, el equilibrio dinámico en la dirección tangencial es

$mg\sin\theta+m\omega^2x\cos\theta=ma$. Como $\dfrac{x}{R}=\sin\theta$,

$a=g\sin\theta+\omega^2R\dfrac{\sin2\theta}{2}$.

A partir de aquí, carroza, ya no estoy seguro de que sea correcto afirmar que $\alpha=\dfrac{a}{R}$, e integrar $\alpha$ para hallar $\dot{\theta}$.

En caso de respuesta afirmativa,

$\dot{\theta}=\sqrt{\dfrac{2g}{R}(1-\cos\theta)+\dfrac{\omega^2}{2}(1-\cos2\theta)}$.

Gracias y saludos cordiales,
JCB.

[MrHawk123]

Hola a todos, espero que esten bien.

Como la partícula esta girando alrededor del anillo, ¿debe existir una fuerza centripeta real cierto?.

En ese caso la sumatoria de fuerzas reales actuando sobre el cuerpo seria.

$\sum_{i} F_{i}^{(R)} = mgsen\theta\hat{\theta} + mgcos\theta\hat{r} - mw_\theta^2\hat{r}$

Luego determine el segundo termino $\ddot{\vec{R}}$ usando coordenadas esfericas.

$\vec{a} = (\ddot{r} - r\dot{\theta^2} - r\dot{\phi}sin^2\theta)\hat{r} \: + \: (r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta} - r\dot{\phi}^2sin\theta cos\theta)\hat{\theta} + (r\ddot{\phi} sin\theta + 2\dot{r}\dot{\phi}sin\theta + 2r\dot{\phi}\dot{\theta}cos\theta)\hat{\phi}$

como $r$ es constante entonces $\dot{r}$ y $\ddot{r}$ son cero y como $\dot{\phi }$ es constante entonces $\ddot{\phi}$ es cero.

finalmente la expresion en esfericas queda.

$\vec{a} = ( - r\dot{\theta^2} - r\dot{\phi}sin^2\theta)\hat{r} \: + \: (r\ddot{\theta} - r\dot{\phi}^2sin\theta cos\theta)\hat{\theta} + ( 2r\dot{\phi}\dot{\theta}cos\theta)\hat{\phi}$

si luego igualamos

$0 = mgsen\theta\hat{\theta} + mgcos\theta\hat{r} - mw_\theta^2\hat{r} - m(( - r\dot{\theta^2} - r\dot{\phi}sin^2\theta)\hat{r} \: + \: (r\ddot{\theta} - r\dot{\phi}^2sin\theta cos\theta)\hat{\theta} + (2r\dot{\phi}\dot{\theta}cos\theta)\hat{\phi})$

haré el cambio de notación que corresponde

r = a
$\dot{\phi} = w$
$\dot{\theta} = w_\theta$
$\ddot{\theta} = \alpha_\theta<br />$

$0 = mgsen\theta\hat{\theta} + mgcos\theta\hat{r} - mw_\theta^2\hat{r} -m((-aw_\theta^2 - aw^2sin^2\theta)\hat{r} + (a\alpha_{\theta} - aw^2sin\theta cos\theta)\hat{\theta} +(2aww_\theta cos\theta)\hat{\phi})$


Ahora vere que obtengo de las ecuaciones.

Saludos.

[MrHawk123]

Hola a todos.

Igualando las componentes vectoriales llego a esto.

$0 = mgsen\theta - ma\alpha_{\theta} + maw^2sin\theta cos\theta$ $(\hat{\theta})$

$0 = mgcos\theta + maw_\theta^2 + maw^2sin^2\theta$ $(\hat{r}$

$0 = -m2ww_{\theta}cos\theta$ $(\hat{\phi})$

De la primera ecuacion obtengo.

$\alpha_{\theta} = \frac{gsen\theta}{a} + w^2sin\theta cos\theta$

luego al integrar esta obtengo.

$\dot{\theta} = \sqrt{-\frac{2g}{a}(cos\theta - 1) + w^2sin^2\theta}$

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

Respuesta a tu pregunta del mensaje # 7: Sí, claro que existe una fuerza centrípeta (como en cualquier rotación), pero debido al vínculo con el anillo, queda compensada con una reacción del anillo. Fíjate que es similar a la aceleración de Coriolis que comentó carroza en su mensaje # 5. Otra cosa es que, mediante tu método vectorial, debas considerarla o no.

Comentario a tu mensaje # 8: Las expresiones que has obtenido son muy similares a las mías. Revisaré las mías (podrías hacer lo propio con las tuyas).

b) Considero a este apartado casi resuelto. Si fuesen correctas mis expresiones (como he dicho, las revisaré):

- La velocidad relativa de la partícula es $v_r(\theta)=\dot{\theta}R=\sqrt{2gR(1-\cos\theta)+\dfrac{\omega^2R^2}{2}(1-\cos2\theta)}$.

- La velocidad de arrastre de la partícula es $v_a(\theta)=\omega R\sin\theta$.

- Como las dos componentes anteriores siempre son perpendiculares, la velocidad absoluta de la partícula es

$v(\theta)=\sqrt{v_r^2(\theta)+v_a^2(\theta)}=\sqrt{2gR(1-\cos\theta)+\dfrac{\omega^2R^2}{2}(1-\cos2\theta)+\omega^2R^2\sin^2\theta}$.

- La energía cinética es inmediata.

a) No tengo idea.

c) Se trata de encontrar un máximo de energía teniendo en cuenta a la cinética y a la gravitatoria. Lo miraré.

Saludos cordiales,
JCB.

[carroza]

Hola.

A ver, Hawk, tienes que introducir una reaccion del anillo que compense la fuerza de Coriolos. Si no, tienes una componente a lo largo de la direcccion $\hat \phi$, que no se te anula. JCB, la fuerza de coriolis no es la fuerza centrifuga. Es otra cosa, que depende de la velocidad en el sistema no inercial

Vuestras expresiones para $\dot \theta$ son iguales. Esto da la solución a a) (Ecuación de movimiento). Esta expresión no tiene una solución analítica, y la descripción cualitativa es que theta aumenta desde cero, hasta pi (que es cuando la particula está en el fondo del anillo, y luego theta sigue aumentando hasta 2 pi, que es cuando vuelve a la cima del anillo.

La energía mecánica (cinética más potencial) es máxima ocurre cuando el ángulo $\theta = \pi/2$ . Es curioso plantearse por qué la energía mecánica debería variar.

Esto es porque el anillo ejerce trabajo sobre la bola, y este trabajo lo hace precisamente la reacción del anillo que compensa la fuerza de Coriolos.

Saludos

[JCB]

Hola a tod@s.

Gracias carroza, por tu explicación. Quizás me expresé mal, pero quería matizar lo siguiente, pues creo saber distinguir entre la aceleración de Coriolis y la centrípeta:

- La aceleración de Coriolis $(\vec{a}=2\vec{\omega}\times\vec{v_r})$, queda totalmente compensada por la reacción en el anillo, que obliga a seguir una trayectoria sobre el anillo (sería algo parecido a una trayectoria sobre un meridiano terrestre).

- Por el contrario y en cuánto a la aceleración centrípeta $(a=\omega^2x)$, ésta solo queda parcialmente compensada por la reacción en el anillo, pues hay una componente que no se anula (la tangencial que consideré al inicio, en el equilibrio dinámico del mensaje # 6).

- “Nuestras” expresiones de $\dot{\theta}=\dfrac{d\theta}{dt}$, aunque parecidas, no son exactamente iguales: en el primer sumando, la expresión de MrHawk123, tiene $\alpha$ en el denominador y en la mía tengo $R$. Comparando el segundo sumando, son diferentes.

- En cuanto al apartado a) “Escriba la ecuación del movimiento de la partícula”, entiendo que el enunciado pide el vector posición $(\vec{r})$ de la partícula en un sistema de coordenadas fijo, y creo que solo se puede obtener por el método vectorial que emplea MrHawk123.

- El apartado b), ya he dicho en mi mensaje # 9, que a falta de revisión, lo veo bastante bien.

- El apartado c), lo tengo pendiente de dedicación.

Saludos cordiales,
JCB.

[MrHawk123]

Hola JCB, no es alpha el denominador, es a.
Recuerda que R = a
Saludos.

[JCB]

Fabuloso, confusión mía (no sé por qué motivo te cambié "a" por "R"). Si quieres que la letra no quede tan pequeña (de ahí también viene mi confusión), usa \dfrac, en lugar de \frac. Queda pendiente el segundo sumando.

[MrHawk123]

gracias por el consejo, lo tendré en cuenta.

[MrHawk123]

Hola a todos.

Carroza, ¿entonces debería añadir una Fuerza normal en la componente $\hat{\phi}$ para que se me anule la fuerza coriolis?, pero ademas de eso ¿la expresion de la velocidad angular es correcta?.

Saludos.

[Alriga]

... Este es un problema de movimiento con ligaduras, que se resuelve típicamente haciendo uso de lagrangianos ...

Por si ayuda, voy a intentar calcular el Lagrangiano.

Energía cinética por la rotación del aro:

$T_r=\dfrac 1 2 I \omega^2=\dfrac 1 2 m r^2 \omega ^2=\dfrac 1 2 m (a \sin \theta)^2 \omega^2=\dfrac 1 2 m a^2 \sin^2 \theta \omega^2$

Energía cinética debida a la velocidad tangencial de la partícula en el aro:

$T_t=\dfrac 1 2 m v_t^2=\dfrac 1 2 m (a \dot \theta)^2=\dfrac 1 2 m a^2 \dot \theta^2$

La energía cinética es la suma de ambas:

$T=\dfrac 1 2 m a^2 \dot \theta^2+\dfrac 1 2 m a^2 \sin^2 \theta \omega^2$

La energía potencial, tomando como referencia el nivel del centro de la circunferencia:

$U=mga\cos \theta$

El Lagrangiano:

$L=T-U$

$$L=\dfrac 1 2 m a^2 \dot \theta^2+\dfrac 1 2 m a^2 \sin^2 \theta \omega^2-mga \cos \theta$$

A partir de aquí es muy fácil aplicar la Ecuación de Euler-Lagrange:

$$\dst {d\over dt }{\partial L\over\partial \dot{\theta}} - {\partial L\over\partial \theta} = 0$$

$\dst {\partial L\over\partial \theta}=m a^2 \omega^2\sin \theta \cos \theta+m g a \sin \theta$

$\dst {\partial L\over\partial \dot{\theta}}=m a^2\dot \theta$

$\dst {d\over dt }{\partial L\over\partial \dot{\theta}}=m a^2 \ddot \theta$

La ecuación del movimiento:

$$a\ddot \theta-a\omega^2 \sin \theta \cos \theta -g \sin \theta=0$$

Por si puede ayudar, para que veáis a dónde tenéis que llegar siguiendo el otro método.

Saludos.

[JCB]

Gracias Alriga. Esta expresión de la aceleración que has obtenido mediante el lagrangiano, coincide con la expresión que obtuve en mi mensaje # 6.

[JCB]

Hola a tod@s.

- A partir de la velocidad absoluta de la partícula (ver mensaje # 9), la energía cinética por unidad de masa es

$e_c=gR(1-\cos\theta)+\dfrac{\omega^2R^2}{4}(1-\cos2\theta)+\dfrac{\omega^2R^2}{2}\sin^2\theta$.

- La energía potencial gravitatoria por unidad de masa es $e_{pg}=gR(1+\cos\theta)$.

Sumando las dos expresiones anteriores y derivando respecto de $\theta$, llego a que $\sin\theta\cos\theta=0$, pudiendo ser $\theta=0^{\circ}\ (180^{\circ})$, o bien $\theta=90^{\circ}\ (270^{\circ})$.

Comprobando con valores numéricos, se cumple lo escrito por carroza en su mensaje # 10: la energía mecánica total es máxima para $\theta=90^{\circ}\ (270^{\circ})$, y mínima para $\theta=0^{\circ}\ (180^{\circ})$.

Saludos cordiales,
JCB.

[MrHawk123]

Hola JCB, ¿como lograste sacar la energia potencial?.

Saludos.

[JCB]

Hola a tod@s.

MrHawk123, la ventaja de la energía potencial gravitatoria, es que puedes tomar un nivel de referencia a tu conveniencia. Yo he tomado como nivel de referencia , al punto más bajo que puede tener la partícula, siendo éste el punto más bajo del anillo. Entonces, para una posición cualquiera (como la mostrada en tu dibujo), la altura respecto del punto más bajo es

$h=R+R\cos\theta=R(1+\cos\theta)$.

Luego la energía potencial gravitatoria es $Ep_g=mgh=mgR(1+\cos\theta)$.

Saludos cordiales,
JCB.

[MrHawk123]

Muchas gracias.

Saludos.