Otras carreras Sistemas de partículas

[Visitante]

Hola de nuevo,
me he estado rompiendo la cabeza con este ejercicio durante una hora y no he sido capaz de resolverlo, a ver si alguien tiene alguna idea. Enunciado:

Un sistema de dos partículas de masas $m_A= 0,2$kg y $m_B= 0,3$ kg, parte del reposo en el origen de coordenadas bajo la acción de las fuerzas exteriores $\vec{F_A}=(0,-3y^2, 5z)$ y $\vec{F_B}=(2x,-10,0)$, ambas en Newtons, no habiendo fuerzas interiores. En el momento en que la partícula alcanza la posición (0,-2,3) y la segunda (3,-5,0) ¿cuál es la velocidad del centro de masas?

Yo lo que he hecho ha sido calcular la posición del centro de masas cuando las partículas alcanzas las posiciones del segundo instante y he conseguido hallar con algunos cálculos la aceleración que tendría (pues al estar sometido el sistema a unas fuerzas entiendo que van a estar bajo una aceleración) pero no soy capaz de ver cómo extraer la velocidad a partir de los datos. Por cierto, entiendo que las diferentes fuerzas actúan una sobre la partícula A y otra sobre B pero no estoy segura tampoco.

A ver si alguien tiene una idea feliz,
un saludo

[Richard R Richard]

Fijate si puedes resolver las ecuaciones diferenciales(ED) que te permiten obtener la posición de las partículas en función del tiempo, con ello podrás sacar la posición del CM en función del tiempo, y derivando su velocidad y evaluar para el instante que coincidan las ecuaciones de posición que te sirven como condiciones de contorno, para calcular las constantes de integración de las ED.

como ejemplo $F_A= m_Aa_x=m\dfrac{\partial^2 x}{\partial t^2}=f(x,y)$

de esta forma puedes armar cuatro ED que te pemiten hallar la aceleración la velocidad y la posición de las dos masas en función del tiempo.

Sabes como hacerlo?

[Visitante]

Lo he intentado y no consigo hallar una forma de expresar la aceleración en función del tiempo, pues lo que he calculado ha sido la aceleración instantánea. Estoy intentando encontrar algún otro camino para sacar la velocidad pero no se me ocurre nada. De todos modos, aunque en esta asignatura no se contempla el uso de EDO's si que me parece una buena idea lo que tu propones pues las he usado mucho en electrodinámica el problema es el que te he comentado, que no soy capaz de expresarlo en función del tiempo.

Si se os ocurre algo lo agradecería un montón. Un cordial saludo.

[Richard R Richard]

Si tienes $\ddot x(t)$ entonces la velocidad es $\dot x(t)=\dst \int\ddot x(t) \,dt$ y luego si tienes $\dot x(t)$ entonces la posición es $x(t)=\dst \int\dot x(t) \,dt$ .
esto es posible solo si las $x(t)$ son independientes de las $y(t)$, para las $y(t)$ debes seguir el mismo procedimiento de aceleración a velocidad y de allí a posición.
Postea los pasos principales del desarrollo y veremos si lo has hecho bien.

[Al2000]

Creo que no hace falta calcular la posición en función del tiempo. Como las ecuaciones son independientes en cada coordenada, se podría hallar la ecuación de la velocidad en función de la posición de manera relativamente simple. Por ejemplo, para el movimiento en el eje X (como sería el caso de la partícula B):

$$m_B \frac {d v_{Bx}}{dt} = F_{Bx} \quad \Rightarrow \quad m_B\,dv_{Bx} = F_{Bx}\,\frac {dt}{dx}\,dx = \frac {F_{Bx}}{v_{Bx}}\, dx$$

que se puede resolver rápidamente para obtener $\dst v_{Bx}$ en función de $x$. Análogamente se obtienen las otras tres ecuaciones para $\dst v_{Ay},\,v_{Az},\, v_{By}$.

Calcular la velocidad del centro de masas es ahora un cálculo sencillo.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[carroza]

Un matiz: Esto dan las ecuaciones para las componentes de la velocidad al cuadrado. No nos daría el signo de las velocidades. Estas se obtienen ya que las fuerzas tienen siempre un signo definido, lo cual permite saver el signo de las velocidades que parten del reposo.

[carroza]

Si tienes $\ddot x(t)$ entonces la velocidad es $\dot x(t)=\dst \int\ddot x(t) \,dt$ y luego si tienes $\dot x(t)$ entonces la posición es $x(t)=\dst \int\dot x(t) \,dt$ .
esto es posible solo si las $x(t)$ son independientes de las $y(t)$, para las $y(t)$ debes seguir el mismo procedimiento de aceleración a velocidad y de allí a posición.
Postea los pasos principales del desarrollo y veremos si lo has hecho bien.
En caso dependencia de y(x) puedes cambiar la

Hola. Un matiz, que sin dida conoces, pero es tremendamente importante cuando uno utiliza estas expresiones. La integral relevante en la resolución de ecuaciones diferenciales es la definida. Los valores de $t$ que aparecen bajo el signo integral so diferentes de los que aparecen en el término a la izquierda.

$\dot x(t')- \dot x(t_0) =\dst \int_{t_0}^{t'} \ddot x(t'') \,dt''$

$x(t)-x(t_0)=\dst \int_{t_0}^t \dot x(t') \,dt'$ .

Un saludo

[Richard R Richard]

Sin duda en un todo de acuerdo...

[Al2000]

La observación de carroza es importante a la hora de determinar cada vector velocidad. Hay otro aspecto que me incomoda y es que a primera vista no veo como determinar la consistencia de los datos. El problema pide la velocidad del centro de masas cuando las partículas pasan por ciertas posiciones, pero no se puede asegurar por simple inspección que las partículas pasen por esas posiciones ni que lo hagan simultáneamente en el caso de que efectivamente pasen por esas coordenadas.

Si uno va a desconfiar de los datos (que creo es una medida prudente siempre), habría que resolver el problema determinando la posición en función del tiempo para poder chequear la consistencia.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

Hola, concuerdo en que el problema nos da casi todas las condiciones de contorno, pues dice que parte del reposo y del origen de coordenadas, como tenemos las aceleraciones directamente lo que tenemos que buscar cual es el tiempo (t), en que se cumple la segunda condición de contorno la coincidencia con las coordenadas, es un sistema de ecuaciones , creo, 2x2 , que debe satisfacer un único valor de t>0... Le he dedicado un rato a buscar un hilo, blog , o que ..ya no recuerdo en el que estaban todas as relaciones entre parámetros cinemáticos, ej si la velocidad depende de la posición , etc,) pero me temo que estaba en los grupos viejos de demostraciones, que ya no están en la versión nueva del foro. vere si le puedo hechar un rato a pensar como resolver las ED, y luego postear.

[Richard R Richard]

Bueno para la primer ED media rarita $\dfrac{d^2 y}{dt^2}=-15y^2$ en Wolfram Alpha obtengo una primitiva que es una función de Weierstrass, https://www.wolframalpha.com/input/?...15+y%5E2+%3D+0 (un sumatorio al infinito) de cosenos de valores e contorno e exponente impar , que según dice la wikipedia no es diferenciable https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%...de_Weierstrass, por tanto no podemos hallar la velocidad.......
no veo que le haya errado en dada... por las dudas revisen,
pero si fuera correcto dudo que sea fácil resolver el problema, ese exponente 2 es la base del problema,

estas completamente seguro, que el enunciado es ese? porque el resto de las ED son netamente fáciles.

[carroza]

Hola.

La ecuación en y de la primera particula puede reseolverse.

Segun lo que indica al2000, la energía cinética en la dirección y de la primera partícula, $1/2 m_A v_y^2$, debe ser igual al trabajo de la fuerza en la dirección y, que sería $-y^3$. Con eso, teniendo en cuenta que tanto y como $v_y$ son negativos,

${d y \over dt} = -\sqrt{2 \over m_A} (-y)^{3/2}$

que puede integrarse facilmente.

Saludos

[Richard R Richard]

Hola.

$1/2 m_A v_y^2$, debe ser igual al trabajo de la fuerza en la dirección y,

Esto es cierto sea F o no conservativa?... ahora mismo estoy mareado, o da lo mismo ya que F es la resultante sobre la partícula....


edito antes que contesten, ya pensé la gansada que pregunte...pero sería descortés borrarlo, si alguien se puso pensarlo para contestarme..


Entiendo que solo piden la velocidad del CM que no habría necesidad de llegar a la posición , pero como calculamos entonces el tiempo t? supongo que no evaluando esa integral sino cualquier otra, para que coincida la posición en (x,y o z) en ese tiempo no?

Edito

tampoco veo fácilmente integrable ${d y \over dt} = -\sqrt{2 \over m_A} (-y)^{3/2}$

https://www.wolframalpha.com/input/?...7B3%2F2%7D%3D0

Saludos

Editado de nuevo ... ya entiendo, el tiempo tampoco haría falta, solo considerar el trabajo de las fuerzas desde el origen hasta los puntos considerados...

en realidad, conociendo los puntos y las masas sabemos la posición del CM, y sabiendo las componentes de las velocidades en esos puntos, sabemos la velocidad del CM...

[Al2000]

El problema con las tres primeras ecuaciones es que si las partículas están en reposo en el origen ¿cómo diablos se ponen en movimiento? La única fuerza no nula en el origen es la componente Y de la fuerza sobre la segunda partícula

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Richard R Richard]

JA,....cuanta razón...

y ya me había usado tu método ,para sacar

$v_{A(0,-2,3)}=(0,-\sqrt{80},15)$

$v_{B (3,-5,0)}=(\sqrt{60},-\sqrt{\frac{1000}{3}},0)$

con $V_{CM}=\dfrac{m_Av_{A(0,-2,3)}+m_Bv_{B (3,-5,0)}}{m_A+m_B}$

[Visitante]

ostras Al2000, no me había dado cuenta pero tienes razón, si tenemos en cuenta que cada fuerza actúa solo sobre la partícula con su mismo subíndice solo la segunda se movería... la verdad es que visto así no tiene sentido ni consistencia el enunciado del ejercicio.

Por si alguien tiene interés, supuestamente en las soluciones pone que la velocidad del centro de masas debe ser de 16,39 m/s, ahora lo que no sé es cómo han llegado a ese resultado, lo que más sentido me tiene es la última solución que ha aportado Richard R Richard aunque no lo he comprobado.

Muchas gracias por vuestros comentarios e ideas, muy útiles.

[carroza]

tampoco veo fácilmente integrable ${d y \over dt} = -\sqrt{2 \over m_A} (-y)^{3/2}$

https://www.wolframalpha.com/input/?...7B3%2F2%7D%3D0

${d y \over dt} = -\sqrt{2 \over m_A} (-y)^{3/2}$

$(-y)^{-3/2} d y = -\sqrt{2 \over m_A} dt$

Integrando entre 0 y t, poniendo $y(0)= y_0$

$(+2) \left( (-y)^{-1/2} - (-y_0)^{-1/2} \right) = -\sqrt{2 \over m_A} t$

$(-y) = {(-y_0) \over \left(- t \sqrt{ -y_0 \over 2 m_a} + 1 \right)^2}$


Richard, deberías curar tu dependencia de Wolfram

Aqui se ve lo que habeis indicado: Si inicialmente $y_0 = 0$, entonces $y(t)=0$ para cualquier instante de tiempo.


Saludos

[Richard R Richard]

Bueno parece peor el remedio que la enfermedad , se supone que wolfram es lo mejorcito en matemáticas aunque yo no lo sea.

[Weip]

Por comentar un poco el problema de Wolfram Alpha, lo que sucedió Richard es que los paréntesis del 3/2 han de ser redondos: y'+k (-y)^(3/2)=0. Luego, si pones esto Wolfram Alpha ya resuelve la edo, pero lo hará pensando que la variable es k. Para corregirlo hay que escribir: y(t)'+k(-y(t))^(3/2)=0.