1r ciclo Duda con resolución de ecuación - Dinamica

[bruno_uy]

Hola a todos, tengo la siguiente duda:

En un ejercicio de dos poleas y dos cuerdas se llega a la siguiente ecuacion:
$y_2 + 2x - 2L_2 - c =L_1$

En donde $y_2$ y $x$ son variables (son las partes de las cuerdas que varian) y $L_1, L_2$ y $c$ son constantes (son las partes de las cuerdas que no varian)

Entonces la profesora halla la derivada segunda de esta ecuación llega a:
$y''_2 = 2x''$ o sea que $a_1 = 2a_2$ ya que la derivada segunda es la aceleración.
Mi duda es como llegar a esa derivada segunda paso a paso.
Yo hago lo siguiente:

Parto de:
$y_2 + 2x - 2L_2 - c =L_1$
Tenemos que $y_2$ y $x$ son funciones del tiempo, pero no conozco su forma sólo se que dependen de $t$
entonces escribo:

$y_2(t) + 2x(t) - 2L_2 - c =L_1$

entonces si derivo dos veces a $y_2$ respecto al tiempo sé que:
$d^2y_2/dt^2 = a_1$

y derivando dos veces a $x$ respecto al tiempo y obtengo que:
$2d^2x/dt^2 = a_2$ usando la propiedad de que: $f ' (2x)= 2f '(x)$


Lo que no entiendo como llegar a que: $a_1 = 2a_2$

Agradecería cualquier aporte ya que quedé estancado con esto.

[Al2000]

Re: Duda con resolución de ecuación - Dinamica

Pues apartando el signo negativo (debería ser $a_1 = - 2 a_2$), lo que hizo tu profesora fue aplicar las derivadas a toda la ecuación, tomando en cuenta que la derivada de una constante es cero:

$$y_2 + 2 x - 2 L_2 - c = L_1 \quad \Rightarrow \quad y_2' + 2 x' = 0 \quad \Rightarrow \quad y_2'' + 2 x'' = 0$$

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[bruno_uy]

Re: Duda con resolución de ecuación - Dinamica

Muchas gracias por responder, y muy acertado lo que dices del signo.
Pero lo que no entiendo es que: teniendo una sola ecuación hace las dos derivadas, la de $x$ y la de $y_2$, "en simultaneo"?
No entiendo el paso a paso que hace o en que regla o teorema se basa.
Yo lo que sé es derivar la variable $x$ respecto al tiempo, o la variable $y_2$ respecto al tiempo. Pero las dos en simultaneo, si bien resultaría fácil hacerlo, no entiendo en qué teorema o propiedad se fundamenta.
Espero haber sido claro.

[Alriga]

Re: Duda con resolución de ecuación - Dinamica

1ª regla a aplicar: "Si dos funciones son iguales sus derivadas son iguales". Eso te permite derivar simultáneamente a la derecha y a la izquierda del signo "igual"

Y ahora, siempre que se deriva una suma se derivan cada uno de los sumandos. (La 2ª "regla" que aplicamos es que "derivada de una suma igual a suma de derivadas")

$y_2 + 2 x - 2 L_2 - c = L_1$

$\dfrac{d}{dt} (y_2 + 2 x - 2 L_2 - c) = \dfrac{dL_1}{dt}$

$\dfrac{dy_2}{dt} + \dfrac{d(2 x)}{dt} - \dfrac{d(2 L_2)}{dt} - \dfrac{dc}{dt} = \dfrac{dL_1}{dt}$

$\dfrac{dy_2}{dt} + 2 \dfrac{dx}{dt} - 0 - 0 = 0$

$y_2' + 2 x' = 0$ Como te ha escrito Al2000

Y para la derivada segunda volvemos a derivar aplicando las mismas reglas.

Por otro lado, bienvenido a la Web de Física, si vas a participar otras veces, por favor échale un vistazo a Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

Saludos.

[bruno_uy]

Re: Duda con resolución de ecuación - Dinamica

Muchas gracias esta claro lo explicado.
Sólo una última duda, considerando que el miembro izquierdo de la ecuación tiene dos variables, estabamos derivando una función de dos variables. Entonces, intuitivamente digo que otra regla aplicada fue: al derivar una función de dos variables se deriva término a término respecto a la variable que aparezca en dicho término. (en el caso particular de que no aparezcan ambas variables en un término)

Esto es correcto?

[Alriga]

Re: Duda con resolución de ecuación - Dinamica

Hay que aplicar siempre las reglas generales de la derivación, te pongo otro ejemplo a ver si lo ves bien:

Supón que hay que derivar respecto de t la expresión $y+2x+3xy^2=k$

Con $x=x(t)$ y también $y=y(t)$

$\dot y + 2 \dot x + 3 ( \dot x y^2 + 2 y \dot y x) = 0$

Ahora se ha aplicado la derivación de: una suma, de una multiplicación y de un cuadrado.

Saludos.

[bruno_uy]

Re: Duda con resolución de ecuación - Dinamica

Gracias, mi error era que estaba entreverado pensando que la función era de dos variables $x$ e $y$, cuando en realidad la única variable es $t$, es como tener las funciones $f(t)$ y $g(t)$, por ej: $f(t) = t^2$ y $g(t) = t$ y , y luego tener una combinación lineal de estas:
$f(t)+g(t)+f(t)g(t)$ para hallar la derivada de esto, derivo respecto a $t$ y listo.