Principio Trabajo-Energía Cinética

[Publio]

Hola, os pediría una ayuda con el siguiente problema:

"Calcular la máxima velocidad del deslizador B si el sistema parte del reposo con x = y. El movimiento es en el plano vertical sin rozamiento y restringido a $y \geq 0$. A y B tienen la misma masa."



El problema lo he solucionado aplicando la ley de la conservación de la energía mecánica: $T_{1}+V_{1}= T_{2}+V_{2}$, considerando al conjunto como un sistema. Mis tribulaciones llegan cuando intento verificar el resultado considerando solo a B como el sistema y aplicando el principio del trabajo y la energía cinética: $U_{1-2}+T_{1}= T_{2} \; \; \;(1)$

Para ello la componente del peso de A que actúa sobre B la calculo de la siguiente forma:

$\dst F_{A}= mg\cos \theta \Rightarrow F_{B}= F_{A}\cos\left ( 90^{\circ} -\theta \right )= mg\cos \theta \sin \theta = mg\frac{y}{0.9}\frac{x}{0.9}$

El trabajo a lo largo del desplazamiento en el eje X sería por tanto la integral:

$\dst U_{1-2}= \int\frac{mg}{0.9^{2}}xy \: dx =\int\frac{mg}{0.9^{2}}x\sqrt {0.9^2-x^2} \: dx= -\frac{100mg} {243}\left ( 0.81-x^{2} \right )^{\frac{3}{2}}+C$

Hallando C, y sustituyendo en (1):

Para $\dst x= y= 0.636\; \; \; \; U_{1-2}= 0\Rightarrow C= 1.04245m \Rightarrow 1.04245m-\frac{100mg} {243}\left ( 0.81-x^{2} \right )^{\frac{3}{2}}+0= \frac{1}{2}mv^{2}$

Si despejamos $\dst v= \sqrt{2\cdot1.04245-\frac{200}{243}g\left ( 0.81-x^{2} \right )^{\frac{3}{2}}}$ y hallamos el máximo, me sale $v_{max}=1.44\; m/s$ cuando debe salir $0.961 \; m/s$.

Yo creo que la integral debe estar mal planteada, pero no veo por qué. ¿Alguien me puede dar algo de luz?

[Al2000]

...
Para ello la componente del peso de A que actúa sobre B la calculo de la siguiente forma:

$\dst F_{A}= mg\cos \theta \dots$
...

¡Pero esto sólo es cierto si fuese un caso estático! Necesitas hacer el análisis dinámico para obtener la fuerza que transmite la barra que une los dos cuerpos.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[Publio]

Gracias Al2000. ¿No sería análisis dinámico integrar el valor de F_B en cada momento en función de la variación del ángulo theta para encontrar la función que gobierna el trabajo realizado a lo largo del desplazamiento en el eje X?

[carroza]

Hola. Sabes lagrangianos?

[Publio]

Hola Carroza. No, no sé utilizar lagrangianos.

[carroza]

Lástima. Con el lagrangiano podrías haber obtenido la trayectoria, para cualquier instante de tiempo

Bueno, hay otra forma de hacerlo sin lagrangianos.

Partes de que la energía se conserva. Esta energía es la suma de energía potencial, $V = mgy$, más energía cinética $T = 1/2 m {\dot x}^2 + 1/2 m {\dot y}^2$. Ahora, tienes en cuenta la ligadura entre x e y: $x^2 + y^2 = R^2$. Por tanto, haciendo derivadas temporales, $2 \dot x x + 2 \dot y y = 0$. Eso te permite expresar la energía cinética sólo en función de $\dot x$, como

$T = 1/2 m {\dot x}^2 \left( 1 + {x^2 \over y^2} \right) = 1/2 m {\dot x}^2 \left( {R^2 \over y^2} \right)$

La energía inicial es $E = m g y_0$, ya que inicalmente las masas están en reposo. Obviamente, $y_0$ es la coordenada y inicial. Por tanto, la conservación de la energía implica que, en cualquier momento
$mgy_0 = mgy + 1/2 m {\dot x}^2 \left( {R^2 \over y^2} \right)$.

Si de ahi despejamos ${\dot x}^2$, nos sale
$(mgy_0 - mgy) \left( {y^2 \over 1/2 m R^2} \right) = {\dot x}^2$.

Pues nada, si quieres encontrar los puntos donde ${\dot x}$ y por tanto ${\dot x}^2$ sean máximas, derivas la expresión anterior con respecto a y, igualas a cero, obtienes los valores de y que hacen máxima (o mínima) la velocidad, y luego sustituyes en la expresión de la energía para obtener las velocidades.

Un saludo

[JCB]

Estupendo, carroza. Intenté resolverlo como Publio, considerando el trabajo de la fuerza ejercida por A sobre B, pero no hubo manera. Gracias.

[Abdulai]

Lo podés hacer por energía: $mgy_0 = mgy + \frac{1}{2}mV_A^2 + \frac{1}{2}mV_B^2\;\;\longrightarrow\;\;2g(y_0-y) = V_A^2 +V_B^2$
$( y_0 = \frac{L}{\sqrt 2} )$

Como las masas están vinculadas por la varilla: $x^2+y^2=L^2$ derivando $2xx'+2yy'= 2xV_B+2yV_A=0\;\;\longrightarrow\;\;V_A = -\dfrac{x}{y} V_B$
$\therefore\quad V_A^2+V_B^2 = V_B^2 \dfrac{x^2}{y^2} +V_B^2 = \dfrac{L^2}{y^2} V_B^2$

Reemplazando en la 1er ecuación te lleva a: $V_B^2 = \dfrac{2g}{L^2}\left(y_0-y\right)y^2$
Función a la que fácilmente hallás el máximo.

(hice los cálculos y me coincide con el resultado de de la guía)

[Publio]

Gracias Carroza. Aplicando la ley de la conservación de la energía conseguí solucionarlo, considerando a los dos deslizadores como un sistema. No consigo el mismo valor sin embargo cuando considero aisladamente
al deslizador B aplicando el principio del trabajo-energía cinética. En este caso considero la variación de la energía cinética del deslizador B y el trabajo que realiza A sobre B. Algo debo hacer mal al plantear la integral.

[Publio]

Gracias Abdulai. Veo que indicas también la ley de.conservación de la energía para la solución, como apunta Carroza.

[carroza]

Hola. Cuando lo haceis por "trabajo", no os sale ya que estais poniendo $F_A = mg \cos \theta$. Esto solo sería el caso si el objeto A tuviera aceleración nula, lo cual no es el caso.

Saludos

[Publio]

Gracias Carroza. Me sigue pasando lo mismo que a JCB. Tengo en cuenta que la aceleración no es nula pero no consigo sacar nada en claro más allá de plantear las ecuaciones del sumatorio de fuerzas en A y en B, que no sé ni si estarán bien. Teniendo en cuenta que la fuerza $\vec{F}_{A}$ que actúa sobre B será la opuesta, por la tercera ley de Newton, a la que actúa sobre A $-\vec{F}_{A}$, las ecuaciones en el sentido del movimiento serían:

$F_{A}\cos\left ( 90^{\circ}-\theta \right )= ma_{B}$
$F_{A}\cos \theta -mg= ma_{A}$

pero de ahí no paso. Lo he intentado de cien mil maneras pero no consigo sacar una exprexión válida para $v_{max}$ que me dé el resultado correcto. No sé si me podrías dar algo más de luz.

[carroza]

Hola.

Si quieres resolverlo de esa forma, puedes tener en cuenta que las aceleraciones de A y B están relacionadas.


$x^2 + y^2 = R^2$

derivando con respecto al tiempo

$2 \dot x x + 2 \dot y y = 0$

y derivando otra vez

$2 \ddot x x + 2 \ddot y y + 2 {\dot x}^2 + 2 {\dot y}^2 = 0$

si sigues por aqui, introduciendo las fuerzas donde aparecen las aceleraciones, entiendo que debes llegar a ecuaciones similares a las obtenidas por la energía.

Saludos

[Publio]

Gracias Carroza, voy a ver si consigo algo.