¿Son todos los sistemas de referencia en caída libre inerciales entre sí?

[inakigarber]

Buenas noches;

La pregunta en cuestión me ha surgido tras leer el siguiente experimento mental que propongo, extraído del libro de Kip Thorne "Agujeros negros y tiempo curvo", cuya imagen adjunto.



En la parte central tenemos a un observador en caída libre al borde de un acantilado. Cuando el observador pasa junto al borde del acantilado se dispara una bala. Un perro que observara la trayectoria de la bala vería una trayectoria balística, pero para el observador en caída libre la trayectoria sería una linea recta. Bien, haciendo cálculos me ha salido que la distancia entre el observador y la bala en un tiempo $t_1$, considerando el origen como $t_0$ es de $X_1=t_1\sqrt{V_{bi}^2+2V_{bi}V_iSen(\alpha)+V_i^2}$.

Donde;

$$X_1$$

$$V_{bi}$$

$$V_i$$

$$\alpha$$

Dado que todos lo parámetros son constantes (dependen solo de las condiciones iniciales), excepto $t_1$, podemos decir que $X_1=T_1 k$, con lo que me sale que se separan entre si a una velocidad constante con lo que podemos decir que respecto al observador en caída libre la bala se encuentra en un sistema de referencia inercial. Obviamente, para un observador que estuviera en la bala el observador que cae por el acantilado también deberá estar en un sistema de referencia inercial. Ahora bien, esto es lo que me resulta más chocante, puesto que localmente son indistinguibles un sistema de referencia inercial y la ingravidez, el observador en la bala también deberá sentir la ingravidez incluso cuando vea que aún gana altura respecto al suelo.

Espero no haber metido la pata demasiado.

Saludos y gracias.

[Richard R Richard]

Hola, para darte una respuesta hay que definir bien como es el pensamiento abstracto del tema o como se ha llegado a tal idealización,hagamos la siguiente suposición

la curvatura de la tierra localmente no es tenida en cuenta, es decir es la aceleración es constante con la posición y con la altura.

De ese modo cualquier observador en caída libre es inercial respecto de cualquier otro observador en caída libre.

Pero si la gravedad cambia con la altura, entonces habrá diferencias en el módulo de la aceleración de los dos observadores y ya no serán inerciales.

Y si tienes en cuenta que la tierra es un simil a una esfera , la direccion de la aceleracion será hacia el CDG de la tierra, luego dos observadores en caída libre no tienen porque tener trayectorias paralelas sino que se cortan en el CDG , la velocidad de acercamiento depende del radio al centro de la tierra, luego tampoco serían inerciales.


Por eso en relatividad general se habla de localía cuando las curvaturas son constantes y el plano tangente a la superficie es similar al de la superficie esférica en sí, con esas condiciones podrias decir que dos observadores son localmente inerciales. por eso te aclaran que todo sucede sobre el mismo acantilado (la misma región espaciotemporal) El espaciotiempo local, pasa a ser un espacio cuasi Minkowski plano, donde a bajas velocidades la teoría newtoniana es aplicable sin un marcado margen de error, y puedes decir que la trayectorias descritas por los objetos en caída libre vistos por un observador en caída libre son trayectorias rectas.

[pod]

Primero, no creo que sea correcto decir que dos sistemas de referencia son "inerciales entre si". La cualidad de ser inercial es intrínseca al sistema de referencia. Si tienes dos sistemas de referencia, puede que uno sea inercial y el otro no, que lo sean los dos o que lo no sean ninguno. Así, pues, no seria correcto decir

con lo que me sale que se separan entre si a una velocidad constante con lo que podemos decir que respecto al observador en caída libre la bala se encuentra en un sistema de referencia inercial.

Lo correcto, como mínimo semánticamente (más sobre esto en adelante), seria decir "el observador en caída libre está en un sistema de referencia inercial porque observa un MRU". Eso es algo ligado al observador, no a lo observado.

Ahora bien, ¿qué significa que un sistema de referencia sea inercial? Es difícil de definir... pero para nuestros propósitos podríamos decir que un sistema de referencia es inercial si las observaciones que se hacen en base a ese sistema inercial cumplen las leyes de Newton.

Fíjate que si hacemos un análisis puramente newtoniano, él observador en caída libre vería que la bala no tiene aceleración. Pero, newtonianamente, la bala está sometida a la fuerza de gravedad, y a ninguna otra (despreciando rozamiento, claro): esto está en clara violación de la segunda ley de Newton. Así, pues, un observador en caída libre newtonianamente no es inercial. Por el mismo motivo, un observador solidario a la bala tampoco lo es.

Como has creado este hilo en mecánica newtoniana, esta es la respuesta con la que te tienes que quedar. Los observadores en caída libre, newtonianamente, no son inerciales.


Por curiosidad... ¿Qué ocurre en relatividad? Pues que se descuelga Einstein y nos dice que dejemos de tratar la gravedad como una fuerza, sino como curvatura del espacio tiempo. Con este formalismo, entonces la bala ya no está sujeta a ninguna fuerza, y por lo tanto el observador en caída libre se podría considerar inercial.

De forma naive, uno diría desde el punto de vista del observador sentado en el acantilado, que la bala tiene cierta aceleración sin estar sufriendo ninguna fuerza. Así, pues, este observador no seria inercial. Lo que ocurre en realidad es más complicado: sabemos que la segunda ley de Newton tiene derivadas, y las derivadas dependen de la geometría del espacio-tiempo. Si lo hacemos, veremos que las leyes de Newton ya no implican que un cuerpo no sometido a fuerzas siga una linea recta; lo que implica es que sigue una curva geodésica (obviamente, las geodésicas, en general, sólo son rectas en un espacio-tiempo plano). Así, pues, en relatividad general, gracias a que hemos aprendido a derivar teniendo en cuenta la curvatura, somos capaces de aplicar la generalización de las leyes de Newton (en general, la generalización de todas las leyes de la Física) a cualquier sistema de referencia, no sólo lo que antes considerábamos inercial. De hecho, en relatividad general ya no tiene sentido hablar de observadores inerciales o no, simplemente observadores y todos son igualmente válidos para hacer física.

Lo que sigue siendo cierto es que un observador en caída libre puede, localmente, ignorar la curvatura y utilizar las ecuaciones de la relatividad especial. Insisto, solo para observaciones locales. Por eso es común decir que, en RG, la generalización del concepto de observador inercial corresponde con los observadores en caída libre. Esto lo hemos visto ejemplificado antes: para el observador en caída libre, si quitamos la gravedad como fuerza, la bala sigue un MRU, que es lo que esperaríamos si no hay ninguna fuerza.

[inakigarber]

...Fíjate que si hacemos un análisis puramente newtoniano, él observador en caída libre vería que la bala no tiene aceleración. Pero, newtonianamente, la bala está sometida a la fuerza de gravedad, y a ninguna otra (despreciando rozamiento, claro): esto está en clara violación de la segunda ley de Newton. Así, pues, un observador en caída libre newtonianamente no es inercial. Por el mismo motivo, un observador solidario a la bala tampoco lo es.

Pero el observador en caída libre no siente ninguna fuerza (eso lo tenía claro desde antes de abrir el hilo). No lo tenía claro en lo referente al observador en la bala, pero ya lo veo claro. Si sustituyéramos el campo gravitatorio terrestre por una caja uniformemente acelerada con una aceleración g hacia arriba, (en el sistema de referencia del observador) obtendríamos el mismo resultado tal y como lo veo en el siguiente diagrama.


En el sistema de referencia del observador en reposo, el conjunto caja cañón y perro se mueven aceleradamente con una aceleración $g=9.81 m/seg^2$. Al llegar a la altura del observador se lanza una bala que acaba impactando en el suelo de la caja. Desde sistema de referencia del observador la bala impacta en el suelo tras seguir una trayectoria recta (inercial). En el sistema de referencia del perro, el observador humano cae aceleradamente y la bala impacta en el suelo tras seguir una trayectoria parabólica.

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De forma naive, uno diría desde el punto de vista del observador sentado en el acantilado, que la bala tiene cierta aceleración sin estar sufriendo ninguna fuerza. Así, pues, este observador no seria inercial. Lo que ocurre en realidad es más complicado: sabemos que la segunda ley de Newton tiene derivadas, y las derivadas dependen de la geometría del espacio-tiempo. Si lo hacemos, veremos que las leyes de Newton ya no implican que un cuerpo no sometido a fuerzas siga una linea recta; lo que implica es que sigue una curva geodésica (obviamente, las geodésicas, en general, sólo son rectas en un espacio-tiempo plano). Así, pues, en relatividad general, gracias a que hemos aprendido a derivar teniendo en cuenta la curvatura, somos capaces de aplicar la generalización de las leyes de Newton (en general, la generalización de todas las leyes de la Física) a cualquier sistema de referencia, no sólo lo que antes considerábamos inercial. De hecho, en relatividad general ya no tiene sentido hablar de observadores inerciales o no, simplemente observadores y todos son igualmente válidos para hacer física.

No me queda claro lo que dices de que las derivadas dependen de la geometría del espacio-tiempo. Supongo que se relaciona con el hecho de que el tiempo depende del sistema de referencia de cada observador (creo que este comentario vendría mejor en el apartado de relatividad y cosmología).

Saludos y muchas gracias.

[inakigarber]

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Por eso en relatividad general se habla de localía cuando las curvaturas son constantes y el plano tangente a la superficie es similar al de la superficie esférica en sí, con esas condiciones podrias decir que dos observadores son localmente inerciales. por eso te aclaran que todo sucede sobre el mismo acantilado (la misma región espaciotemporal) El espaciotiempo local, pasa a ser un espacio cuasi Minkowski plano, donde a bajas velocidades la teoría newtoniana es aplicable sin un marcado margen de error, y puedes decir que la trayectorias descritas por los objetos en caída libre vistos por un observador en caída libre son trayectorias rectas.

Totalmente de acuerdo, no había tenido en cuenta el hecho de que el experimento se refiere a un entorno local, de otra forma g no sería constante.

[pod]

Pero el observador en caída libre no siente ninguna fuerza (eso lo tenía claro desde antes de abrir el hilo).

No sé si con "siente" te refieres a la sensación fisiológica de ingravidez, o realmente a la ausencia de fuerzas. La sensación fisiológica es totalmente errónea en muchos casos; los astronautas, por ejemplo, experimentan ingravidez, pero sabemos que si no hubiera gravedad no estarían en orbita.

Fíjate que el párrafo que citas decía ser un punto de vista puramente Newtoniano. Newton dice

$$\vec F = - G \dfrac{m_1 m_2}{r^2} \hat r .$$

Así que, Newtonianamente, si estas cerca de un cuerpo masivo (como la Tierra en este caso) hay una fuerza. Desde el punto de vista Newtoniano, no hay discusión al respecto; si a caso, la discusión seria si el punto de vista Newtoniano es la mejor descripción de la realidad (huelga decir que no lo es).

Luego está la observación (ya no Newtoniana) del principio de equivalencia que ilustras. Tirar del hilo de este principio es lo que lleva a desechar el concepto Newtoniano.

No me queda claro lo que dices de que las derivadas dependen de la geometría del espacio-tiempo. Supongo que se relaciona con el hecho de que el tiempo depende del sistema de referencia de cada observador (creo que este comentario vendría mejor en el apartado de relatividad y cosmología).

Derivar viene a significar medir cuanto cambia "algo" cuando cambias otro "algo". No en vano se define como el limite de un cociente de variaciones. Por ejemplo, la velocidad mide como cambia la posición cuando transcurre algo de tiempo. Ahora bien, el cambio de posición está condicionado por la geometría del espacio.

No quiero entrar en detalles de geometría diferencial. Pero, básicamente y hablando con una imprecisión que causaría un ictus cualquier matemático (y a muchos físicos), cuando yo muevo un vector de un punto a otro, puede ser que yo no "quiera modificar" el vector, pero que la geometría del espacio me lo cambie "sin querer" (si quieres buscar las matemáticas de esto, puedes buscar por "transporte paralelo"). Un ejemplo: si yo voy caminando por la superficie de la Tierra, en linea recta, en realidad estaré describiendo un arco en el espacio. Esto es por que la tierra es esférica (más o menos...), y la esfera es una variedad curva.

A la práctica, lo que tenemos que hacer es aprender a saber que "parte" en el cambio en el vector se debe a la curvatura, y que parte es un cambio real que se debe a una interacción física. La derivada covariante mide precisamente sólo esta segunda parte; de alguna forma, descuenta los efectos de la variación debida a la curvatura y sólo mide el cambio "real" del vector.

En resumen, si yo tengo una ley de la Física que funciona correctamente en relatividad especial, sin gravedad, entonces si yo substituyo todas las derivadas sobre coordenadas con derivadas covariantes, entonces esa ley de la Física automáticamente ya funciona en relatividad general en presencia de gravedad (= curvatura). Esto a menudo se le conoce como "coma-goes-to-semicolon-rule" (la regla de que la coma se convierte en punto y coma); porque las derivadas convencionales se suelen representar con comas, $\dfrac{\dd x_\mu}{\dd x^\nu} = x_{\mu,\nu}$, mientras que la derivada covariante se indica mediante un punto y coma $x_{\mu;\nu}$.

[Jaime Rudas]

Como el sistema solo me deja poner una vez "gracias", pongo aquí otras dos y las elevo al grado de "muchísimas gracias".

[pod]

Pues muchísimas de nadas. Y gracias por el cumplido que representa (aunque quizá algo exagerado).

[inakigarber]

Muchas gracias por tu respuesta, me parece muy aclaradora aunque todavía me queda mucho por entender.

No sé si con "siente" te refieres a la sensación fisiológica de ingravidez, o realmente a la ausencia de fuerzas. La sensación fisiológica es totalmente errónea en muchos casos; los astronautas, por ejemplo, experimentan ingravidez, pero sabemos que si no hubiera gravedad no estarían en orbita.

Fíjate que el párrafo que citas decía ser un punto de vista puramente Newtoniano. Newton dice

$$\vec F = - G \dfrac{m_1 m_2}{r^2} \hat r .$$

Así que, Newtonianamente, si estas cerca de un cuerpo masivo (como la Tierra en este caso) hay una fuerza. Desde el punto de vista Newtoniano, no hay discusión al respecto; si a caso, la discusión seria si el punto de vista Newtoniano es la mejor descripción de la realidad (huelga decir que no lo es).

Me refería a la ingravidez, pero mi frase no es muy afortunada, ya que el observador en caída libre sufrirá una "espaguetización" debida al gradiente gravitatorio.

En resumen, si yo tengo una ley de la Física que funciona correctamente en relatividad especial, sin gravedad, entonces si yo substituyo todas las derivadas sobre coordenadas con derivadas covariantes, entonces esa ley de la Física automáticamente ya funciona en relatividad general en presencia de gravedad (= curvatura).

De manera que todas las fórmulas de la relatividad general donde intervienen derivadas de primer, segundo ó enésimo orden son válidas también en la relatividad general simplemente sustituyendo las derivadas por derivadas covariantes de primer, segundo ó enésimo orden. (la coma va al semicolón). En el caso de un espaciotiempo plano los Símbolos de Christoffel serán nulos y la derivada covariante coincidirá con la ordinária.

Luego está la observación (ya no Newtoniana) del principio de equivalencia que ilustras. Tirar del hilo de este principio es lo que lleva a desechar el concepto Newtoniano.

Aún me resulta sorprendente que a partir de este principio tan sencillo pueda deducirse una teoría tan compleja.

[pod]

De manera que todas las fórmulas de la relatividad general donde intervienen derivadas de primer, segundo ó enésimo orden son válidas también en la relatividad general simplemente sustituyendo las derivadas por derivadas covariantes de primer, segundo ó enésimo orden. (la coma va al semicolón).

Así es.

Por supuesto, esto explota cuando intentamos meter la cuántica. La forma naïve de hacerlo seria tomar el lagrangiano y substituir las derivadas, eso implicaría que la conexión pasa a ser un campo más y se debe cuantizar. Esto se ha hecho, pero da como resultado una teoría que no es renormalizable; por lo tanto no es físicamente aceptable. Pero eso es otra historia.

En el caso de un espaciotiempo plano los Símbolos de Christoffel serán nulos y la derivada covariante coincidirá con la ordinária.

Bueno, eso depende del sistema de coordenadas. Lo que debe ser cero son los tensores de curvatura (en todos los puntos; solo que haya un punto donde no es cero ya no tienes espacio plano; que se lo digan a Schwarzschild).

Aún me resulta sorprendente que a partir de este principio tan sencillo pueda deducirse una teoría tan compleja.

Supongo que toda esa es la aspiración de todo físico teórico. Que toda la teoría se sustente a partir de unos pocos enunciados que pueden ser explicados con palabras sencillas (mira, por ejemplo, los 4 principios de la termodinámica y todo lo que implican).

De hecho, la RG viene a resolver uno de las inquietudes que, consciente o inconscientemente, había en la ciencia desde los tiempos de Newton: lo difícil que es definir un sistema de referencia inercial. Lo más que sabemos decir es "donde funcionan las leyes de Newton" y "si un sistema se mueve a velocidad constante respecto a otro que es inercial, entonces el primero también lo es". El propio Newton probablemente era consciente de esta debilidad en cuanto a la definición, y siempre se refería al "sistema de referencia de las estrellas lejanas". El principio de equivalencia nos dice de forma muy clara que, por lo menos localmente, el sistema de referencia inercial es aquel que está en caída libre; y la potencia de la RG completa nos permite usar cualquier observador, sin tener que utilizar el concepto de inercialidad.

[inakigarber]

Bueno, eso depende del sistema de coordenadas. Lo que debe ser cero son los tensores de curvatura (en todos los puntos; solo que haya un punto donde no es cero ya no tienes espacio plano; que se lo digan a Schwarzschild).

Creo que lo comprendo, en un espacio tridimensional plano los símbolos de Christoffel serán nulos si uso coordenadas cartesianas $y,y,z$ pero no lo serán en coordenadas esféricas $R,\theta, \varphi$.

[pod]

Creo que lo comprendo, en un espacio tridimensional plano los símbolos de Christoffel serán nulos si uso coordenadas cartesianas $y,y,z$ pero no lo serán en coordenadas esféricas $R,\theta, \varphi$.

Así es. Más o menos lo mismo que cuando en primero o segundo nos enseñan a cambiar la definición del operador nabla para hacer gradientes/rotacionales/divergencias en esféricas o polares.

Los Christoffels, simplificando mucho, nos vienen a decir cómo cambian los vectores de la base cuando cambiamos de un punto a otro de la variedad. Dicho cambio puede ser debido a la curvatura o a una elección del sistema de coordenadas particular. O cualquier combinación de ambas cosas a la vez.