Aceleración de un objeto que cae expresada en coordenadas polares

[inakigarber]

Buenas noches;

En este blog sobre relatividad he encontrado el siguiente párrafo sobre gravedad Newtoniana;
"Clásicamente, para el análisis del movimiento de un cuerpo que siempre se está moviendo bajo la influencia de una fuerza que siempre está dirigida hacia un punto central, se recurre al uso de coordenadas polares con el origen de las mismas coincidiendo con el centro de la fuerza, dejando abierta la posibilidad de que la órbita pueda ser circular o elíptica. En coordenadas polares, la componente radial de una aceleración es:"
$a_r=\dfrac{d^2 r}{dt^2}-r\left(\dfrac{d \theta}{dt}\right)^2$

"y la componente transversal (ángular) de la aceleración es"

$a_{\theta}=\dfrac{1}{r}\dfrac{d}{dt}\left(r^2\dfrac{d\theta}{dt}\right)$

Aunque no es necesario para entender el desarrollo del texto a continuación, bastaría con darlo por cierto, me gustaría saber como se deducen estas fórmulas primero por curiosidad y también para familiarizarme con el uso de las coordenadas polares, dado que son importantes para comprender la métrica de Schwarzchild, pero no se por donde seguir.

Lo único que se es transformar las coordenadas;
$x=Rsen(\theta)cos(\phi)$
$y=Rsen(\theta)sen(\phi)$
$z=Rcos(\theta)$
y tampoco se si por aquí llegaré a alguna parte.

Saludos y gracias.

[arivasm]

Échale un vistazo a las páginas 4 y 5 de este documento: http://w3.mecanica.upm.es/~goico/mec.../cbd/cbd-b.pdf

[pod]

Te ayudaré a hacer el cálculo de la forma que más me gusta a mi (que no es la que está en la mayoría de libros, pero a mí particularmente me parece más esclarecedora). Para empezar, simplificaré un poco el problema usando coordenadas polares en vez de esféricas; en la fuerza central el movimiento es en un plano así que las polares son suficiente (equivale a hacer $\phi = 0$ en tus esféricas... y quizá intercambiar el papel de las coordenadas z e y).

Así, pues, partimos del cambio

$$\begin{aligned}<br /> x(t) & = r(t) \cos\theta(t) , \\<br /> y(t) & = r(t) \sin\theta(t) .<br /> \end{aligned}$$

A partir de aquí, no pondré explícitamente las dependencias con el tiempo, no obstante debemos recordar que todo depende del tiempo a la hora de derivar.

En el cambio de coordenadas, el objetivo es encontrar dos vectores base $\hat r$ y $\hat \theta$ unitarios y ortogonales entre sí, tal que $\hat r$ apunte en la dirección de radio creciente y $\hat \theta$ apunte en la dirección de ángulo creciente. Al contrario que la base cartesiana, estos vectores base son diferentes en cada punto. Está claro que $\hat r$ debe ser paralelo al radio vector $\vec r = x \hat\imath + y \hat\jmath$. Basta con convertirlo en unitario:

$$\hat r = \dfrac{x \hat\imath + y \hat\jmath}{\sqrt{x^2 + y^2}} .$$

A partir de ahí, en 2-D obtener el vector perpendicular es muy sencillo: basta intercambiar las coordenadas y cambiar una de signo:

$$\hat\theta= \dfrac{-y \hat\imath + x \hat\jmath}{\sqrt{x^2 + y^2}} .$$

El signo global de este vector podría estar al revés y seguiría siendo perpendicular; pero con esta elección de signos tenemos que $\hat\theta$ apunta en la dirección de $\theta$ creciente. Para verlo, piensa en el punto (1, 0). Aquí, aumentar $\theta$ significa ir hacia arriba y a la izquierda, así que $\hat\theta$.

Ahora lo que podemos hacer es aplicar el cambio a coordenadas polares. Con ellos, nos queda

$$\begin{aligned}<br /> \hat r & = \cos\theta \hat\imath + \sin\theta\hat\jmath,\\<br /> \hat \theta & = -\sin\theta\hat\imath + \cos\hat\jmath.<br /> \end{aligned}$$

Guardamos esta base en un cajón y vayamos a calcular la aceleración. Empezamos con el vector posición, utilizando la base cartesiana pero haciendo el cambio a coordenadas polares

$$\vec r = x\hat\imath + y\hat\jmath = r \cos\theta\hat\imath + r\sin\theta\hat\jmath .$$

Bien, ahora vamos a derivar. Dos veces. Usaré la notación de que un punto indica una derivada: $\dot\Box{} = \dfrac{\dd}{\dd t} \Box{}$.

$$\vec v = \dot{\vec r} = \Big( \dot r \cos\theta - r \dot\theta \sin\theta \Big) \hat\imath + \Big( \dot r \sin\theta + r \dot\theta \cos\theta \Big) \hat\jmath .$$

Aquí vemos por qué los libros no suelen hacerlo tan a pico y pala; salen carros horribles. La aceleración es peor,

$$\vec a = \ddot{\vec r} =<br /> \Big( \ddot r \cos\theta - 2 \dot r \dot\theta \sin\theta - r \ddot\theta \sin\theta - r \dot\theta^2\cos\theta\Big) \hat\imath +<br /> \Big( \ddot r \sin\theta + 2\dot r \dot\theta \cos\theta + r\ddot \theta\cos\theta - r \dot\theta^2\sin\theta \Big) \hat\jmath .$$

El objetivo es expresar esta monstruosidad usando los vectores base polares que tenemos en un cajón,

$$\vec a = a_r \hat r + a_\theta \hat\theta.$$

Una forma muy sencilla de hacerlo es con un producto escalar, gracias a las propiedades de ortonormalidad de la base, si multiplicamos por $\hat r$ esta última expresión obtenemos directamente $a_r$,

$$\hat r \cdot \vec a = a_r \underbrace{\hat r\cdot \hat r}_1 + a_\theta \underbrace{\hat r \cdot \hat\theta}_0 = a_r.$$

Pues, ¡al lío!

$$a_r =<br /> \Big( \ddot r \cos\theta - 2 \dot r \dot\theta \sin\theta - r \ddot\theta \sin\theta - r \dot\theta^2\cos\theta\Big) \cos\theta +<br /> \Big( \ddot r \sin\theta + 2\dot r \dot\theta \cos\theta + r\ddot \theta\cos\theta - r \dot\theta^2\sin\theta \Big) \sin\theta .$$

Como suele pasar en estas cosas, hay una "cancelación mágica" de términos con $\sin\theta \cos\theta$, y con los términos que quedan podemos sacar factor común de $\sin^2\theta + \cos^2\theta$, que como sabemos és igual a 1. Esto da directamente la expresión de $a_r$ que estás buscando,

$$a_r = \ddot r - r \dot\theta^2 .$$

Fíjate que el segundo término es la aceleración centrifuga; aquí queda claro que su origen es que los vectores de la base giran.

Para la aceleración angular no hay que trabajar un mucho más:

$$a_\theta =<br /> -\Big( \ddot r \cos\theta - 2 \dot r \dot\theta \sin\theta - r \ddot\theta \sin\theta - r \dot\theta^2\cos\theta\Big) \sin\theta +<br /> \Big( \ddot r \sin\theta + 2\dot r \dot\theta \cos\theta + r\ddot \theta\cos\theta - r \dot\theta^2\sin\theta \Big) \cos\theta .$$

Las cancelaciones dan

$$a_\theta = 2 \dot r \theta + r \ddot \theta .$$

El primer término es la aceleración de Coriolis. El blog prefiere unificar los dos términos en uno, con una derivada de un producto; trivialmente podrás comprobar que el resultado es equivalente.

[inakigarber]

Muchas gracias por tu comentario.

Me parece una información muy detallada, aunque aún me tienen confundido los pasos 8 y 9 y 10. Los pasos anteriores me mantuvieron confundidos hasta que me di cuenta de que al ser $r$ y $\theta$ variables con el tiempo había que utilizar la regla de Leibniz $y=a_{(t)}b_{(t)}c_{(t)}$, entonces $\dot y=\dot a_{(t)}b_{(t)}c_{(t)}+a_{(t)}\dot b_{(t)}c_{(t)}+a_{(t)}b_{(t)}\dot c_{(t)}$ tras un tiempo y haber llenado de papeles la papera también he llegado al punto (7). Creo que en el punto (11) el LATEX te ha pasado una mala pasada y se te ha escapado un punto por encima del signo $\theta$, con ese punto la ecuación si coincide con la del libro.

Saludos.

[pod]

Creo que en el punto (11) el LATEX te ha pasado una mala pasada y se te ha escapado un punto por encima del signo $\theta$, con ese punto la ecuación si coincide con la del libro.

Correcto

pasos 8 y 9 y 10.

8 no es un paso. Es la definición de $a_r$ y $a_\theta$. Álgebra lineal de primero: dada cualquier base, existe una única combinación lineal única de los vectores de la base que permite escribir cualquier vector.

9 consiste en aplicar la propiedad distributiva y después aplicar la condición de ortonormalidad de la base polar.

10 consiste en aplicar el resultado de 9, tomamos la expresión del vector 7 y multiplicamos por $\hat r$.

[inakigarber]

Muchas gracias por tu comentario.

Debo reconocer que en mi anterior post estuve mucho más que espeso,

9 consiste en aplicar la propiedad distributiva y después aplicar la condición de ortonormalidad de la base polar.

10 consiste en aplicar el resultado de 9, tomamos la expresión del vector 7 y multiplicamos por $\hat r$.

Simplemente no era más que aplicar un producto escalar de $\hat r = \cos\theta \hat\imath + \sin\theta\hat\jmath,$ con $\vec a = \ddot{\vec r} =<br /> \Big( \ddot r \cos\theta - 2 \dot r \dot\theta \sin\theta - r \ddot\theta \sin\theta - r \dot\theta^2\cos\theta\Big) \hat\imath +<br /> \Big( \ddot r \sin\theta + 2\dot r \dot\theta \cos\theta + r\ddot \theta\cos\theta - r \dot\theta^2\sin\theta \Big) \hat\jmath .$
Dado que $ij=0$ para $i\neq j$ e $ij=1$ para $i= j$, solo sobreviven dos términos en el resultado final que es el que tu pones;
$a_\theta =<br /> -\Big( \ddot r \cos\theta - 2 \dot r \dot\theta \sin\theta - r \ddot\theta \sin\theta - r \dot\theta^2\cos\theta\Big) \sin\theta +<br /> \Big( \ddot r \sin\theta + 2\dot r \dot\theta \cos\theta + r\ddot \theta\cos\theta - r \dot\theta^2\sin\theta \Big) \cos\theta .$

que simplificando da; $a_r = \ddot r - r \dot\theta^2 .$

Lamento haber metido un poco de basura en este hilo.