Divulgación Problema sobre la caida de un cubo en un sistema de masa variable.

[inakigarber]

Buenas noches;
Planteo el siguiente problema con cuya solución no coincido;
En la cubierta de un pozo hay un torno cuyo tambor tiene de masa $m_t$ y Radio R. Virtualmente toda la masa del tambor se concentra a una distancia R del eje. Alrededor del tambor se enrolla un cable de masa $m_c$ y de longitud L, de donde cuelga un cubo de masa $m_a$. Cuando el cubo esta arriba, a usted se le resbalan las manos y el cubo cae del pozo, desenrollando el cable. Cuando el cubo ha caído una distancia d $d<L$, ¿a que velocidad se cae el cubo?
Solución;

$$V_f=\sqrt{\frac{(2m_a L +m_c d)gd}{(m_c+m_a+m_t)L}}$$

A mi no me coincide. A ver donde me equivoco.
Como el cubo cae una altura "d"

$$E_a=m_a g d$$

Por lo que respecta a la cuerda, la masa colgante de la cuerda será.

$$x=\frac{d m_c}{L}$$

$$E_{pc}=\frac{d^2 m_c g}{2L}$$

(El centro de masa solo cae la mitad de la altura)
Suma de ambas energías;

$$E_{ptot}=\frac{gd}{2L}(2m_a L+dm_c)$$

Energias cinéticas;

$$E_a=\frac{m_a V_a^2}{2}$$

Para calcular la energía del centro de masas de la cuerda tengo en cuenta que cae la mitad de la altura.

$$E_{cm}=\frac{d m_c}{2L}\left(\frac{V_a}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{d m_c V_a^2}{4L}$$

Para la energía cinética rotacional del torno y teniendo en cuenta el enunciado donde se menciona que la masa esta concentrada en el radio, $I_t=m_tR^2$ y considerando que no hay deslizamiento.

$$E_t=\frac{m_tR^2\frac{V_a^2}{R^2}}{2}=\frac{m_t v_a^2}{2}$$

Sumando las energías;

$$E_{ct}=\frac{m_a V_a^2}{2}+\frac{d m_c V_a^2}{4L}+\frac{m_t v_a^2}{2}$$

igualando energías:

$$E_{ct}=E_{ptot}=\frac{gd}{2L}(2m_a L+dm_c)=\frac{m_a V_a^2}{2}+\frac{d m_c V_a^2}{4L}+\frac{m_t v_a^2}{2}$$

Despejando y simplificando me sale;

$$\boxed{V_a=\sqrt{\frac{2 g d (2m_a L + dm_c)}{2m_a L+dm_c+2m_t L}}}$$

¿Dónde me equivoco?
Saludos y gracias.

[Al2000]

Re: Problema sobre la caida de un cubo en un sistema de masa variable.

Permítanme presentar otra opción, por lo que pueda valer. En muchos ejercicios como esta yo prefiero hacer caso omiso de sistemas de referencia y trabajar directamente con las variaciones de energía. En ausencia de fuerzas disipativas:

$$\left(\Delta E_p + \Delta E_k \right)_\text {cubo} + \left(\Delta E_k \right)_\text {tambor} + \left(\Delta E_p +\Delta E_k \right)_\text {cuerda}$$

Sustituyendo valores se tiene que

$$-m_a g d + \frac 1 2 m_a V_f^2 + \frac 1 2 m_t V_f^2 - m_c \frac d L g \frac d 2 + \frac 1 2 m_c V_f^2 = 0$$

Sólo resta despejar $V_f$...

Saludos,

$\mathcal A \ell$

- - - Actualizado - - -

De alguna forma no puedo editar mi mensaje anterior para añadir el "= 0" en la primera ecuación y es que el internet me ha estado tomando el pelo y debe haber metido alguna basura en el código de mi mensaje.

[felmon38]

Re: Problema sobre la caida de un cubo en un sistema de masa variable.

inaki, creo que tienes que revisar el càlculo de la energía cinética de la cuerda. Mira el valor que pone AI.
Saludos

[inakigarber]

Re: Problema sobre la caida de un cubo en un sistema de masa variable.

....Sustituyendo valores se tiene que

$$-m_a g d + \frac 1 2 m_a V_f^2 + \frac 1 2 m_t V_f^2 - m_c \frac d L g \frac d 2 + \frac 1 2 m_c V_f^2 = 0$$

Sólo resta despejar $V_f$...

Saludos,

Aquí hay algo que no entiendo.

En el tiempo inicial, podemos despreciar la masa de cuerda que está desprendida. En el tiempo final el cubo ha caído una altura d (en el dibujo he escrito H por error) y se desplaza a velocidad final $V_a$. En ese instante de tiempo el centro de masas de la cuerda ha caído la altura d/2. ¿A que velocidad final se desplaza el cm de la cuerda?¿No sería la mitad?
Siguiendo tu desarrollo se llega a la conclusión del libro, de manera que mi razonamiento estará equivocado, pero ¿Por qué?
Creo que lo que no he tenido en cuenta es que cada molécula de la cuerda se desplaza a la velocidad del cubo y que aquí he vuelto a engañarme a mi mismo. Por otra parte, al considerar la energía cinética de la cuerda hay que considerar la totalidad de la masa de la cuerda (ya que toda ella está en movimiento) y no solo la masa colgante. Así si coincide el resultado, ¿Es así?
Saludos y gracias.

[arivasm]

Re: Problema sobre la caida de un cubo en un sistema de masa variable.

Creo que no coincido completamente con lo escrito. Rectifico: mi resultado es el mismo que el de Al.

En primer lugar, cuando la cuerda se ha desenrollado una distancia $d$ todavía tenemos una longitud $L-d$ arrollada en el tambor. Por tanto, el momento de inercia va cambiando a medida que se desenrolla la cuerda, de manera que cuando la longitud de cuerda desenrollada es $d$ vale $\dst I=\left(m_t+m_c\frac{L-d}{L}\right)R^2$. La energía cinética de rotación es entonces $\dst K_{rot}=\frac{1}{2}I\omega^2=\frac{1}{2}I\frac{v^2}{R^2}=\frac{1}{2}\left(m_t+m_c\frac{L-d}{L}\right)v^2$

Respecto de la energía cinética de traslación tanto el cubo como la cuerda colgante se mueven con velocidad $v$, de manera que su valor es $\dst K_{tr}=\frac{1}{2}m_av^2+\frac{1}{2}m_c\frac{d}{L}v^2$

Sumando ambas tenemos que la energía cinética vale $\dst K=\frac{1}{2}(m_a+m_c+m_t)v^2$ que es un resultado bastante razonable, pues todos los elementos infinitesimales del sistema se mueven con la misma velocidad.

Respecto de la energía potencial, tomando $h=0$ en el eje del tambor, vale $\dst U=-\left(m_a+\frac{1}{2}m_c\frac{d}{L}\right)gd$.

En definitiva, la energía mecánica del sistema vale $\dst E=\frac{1}{2}(m_a+m_c+m_t)v^2-\left(m_a+\frac{1}{2}m_c\frac{d}{L}\right)gd=0$, donde el $E=0$ procede de aplicar el lado izquierdo a la situación inicial ($v=0$ si $d=0$).

De este modo $\dst v=\sqrt{\frac{\left(2m_a+m_c\frac{d}{L}\right)gd}{m_a+m_c+m_t}}$

[inakigarber]

Re: Problema sobre la caida de un cubo en un sistema de masa variable.

Buenos días;
Ahora no tengo tiempo de desarrollar mas el asunto, yo partía de dos presupuestos erróneos. Primero que la velocidad del centro de masas correspondía a la velocidad de la cuerda (falso) y tampoco tenia en cuenta que la masa de la cuerda que no esta desenrollada también gira en el tambor, o sea, que la totalidad de la cuerda se está desplazando a la velocidad de caída del cubo. Con esto tenido en cuenta si se alcanza el resultado final. Después lo desarrollare.
Saludos y gracias.

[felmon38]

Re: Problema sobre la caida de un cubo en un sistema de masa variable.

Muy bien
Saludos

[Al2000]

Re: Problema sobre la caida de un cubo en un sistema de masa variable.

Hay una aproximación/simplificación/idealización en mi análisis (y obviamente en el análisis del autor) que es que la cuerda que permanece enrollada en el tambor se "distribuye" uniformemente en todo su perímetro, manteniendo efectivamente el centro de masa coincidiendo con el centro del tambor. Pero la cuerda no se dispone uniformemente al rededor del tambor, sino que por ser finita tendrá en general un número de vueltas completas más una vuelta incompleta. No es tan difícil determinar el cambio de posición de la vuelta incompleta (el centro de masa de un arco circular se conoce) pero creo que su efecto muy pequeño y por lo tanto lo desestimé.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[inakigarber]

Re: Problema sobre la caida de un cubo en un sistema de masa variable.

....De este modo $\dst v=\sqrt{\frac{\left(2m_a+m_c\frac{d}{L}\right)gd}{m_a+m_c+m_t}}$

Totalmente de acuerdo con lo que has puesto arriba, pero no coincido con el resultado final que pones. Es cierto que el momento de inercia del torno va variando, disminuye a medida que va largando cuerda. Pero, dado que no hay deslizamientos, la velocidad de la cuerda es la misma en toda su longitud. Todas las moléculas de la cuerda se desplazan a la misma velocidad (las que están enrolladas, así como las que cuelgan), de manera que incluso considerándolo de esta forma, llego a la misma conclusión;
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , que simplificándola me sale;

$$V_a=\sqrt{\frac{gd[2Lm_a+dm_c]}{L(m_c+m_t+m_a)}}$$

Que si me coincide con el libro.

[arivasm]

Re: Problema sobre la caida de un cubo en un sistema de masa variable.

Aparte algún subíndice en el numerador de la fracción, son la misma expresión: basta con multiplicar por L el numerador y denominador de la mía.

[inakigarber]

Re: Problema sobre la caida de un cubo en un sistema de masa variable.

Aparte algún subíndice en el numerador de la fracción, son la misma expresión: basta con multiplicar por L el numerador y denominador de la mía.

Tienes toda la razón. No me di cuenta, pido disculpas.
Saludos y Gracias.