Movimiento circular

[Visitante]

Necesito pedir ayuda con el siguiente ejercicio

Una partícula describe un movimiento circular de radio R y velocidad angular $\omega(t)=sin(\theta)$, siendo $\theta$ el ángulo del vector posición en el eje x.

Hallar:

1) Aceleración angular de la partícula en función de $\theta$.

$\alpha=\frac{\dd \omega}{\dd t}=\frac{\dd^2 \theta}{\dd t^2}$

• Mi planteamiento (mi odisea)
• -
• La velocidad angular me la dan en función de t, $\omega(t) = sin(\theta)$ y me piden la aceleración en función del ángulo, por lo que creo que la primera derivada $\omega(t) = cos(\theta)$, no me sirve o no es válida.

2) Componentes intrínsecas de la aceleración para $\frac\theta4$ y para $\frac\theta2$ , donde $\theta = \pi$ rad.

• Mi planteamiento (mi actual posición)
• -
• La aceleración tangencial es $a_t = r \cdot \alpha$ , por lo que necesito $\alpha$ y estoy hecho un lio con ella.
• -
• La aceleración centrípeta es: $a_c = \omega^2 \cdot R$, que sería $(sin(\theta))^2 \cdot R$, cambiando $\theta$ por valor de $\frac\pi4$ y $\frac\pi2$ tal y como pide el enunciado del apartado.

3) Ley $\theta = \theta(t)$.

• Mi planteamiento (ya no sé por dónde buscar más)
• -
• Ley $\theta = \theta(t)$, por más que he buscado videos, explicaciones, etc., etc., por la red, no he conseguido averiguar ni saber cómo se resuelve.

[Alofre]

Hola!! Te digo por encima algunas cosas que se me ocurren por si te ayuda
- Para el 1 me queda esto $\alpha \equiv \frac{d^2 \theta}{dt^2} = \frac{d \omega}{dt} = \frac{d \omega}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} = \cos \theta * \dot{\theta}$ es decir en función de theta como te piden.
- Las fórmulas que dices creo que son correctas y $\alpha$ lo sacas del primer apartado... aunque no veo bien como obtener su derivada sin resolver antes el c...
- Para obtener $\theta (t)$: Resolver $\frac{d \theta}{dt} = \sin \theta$:
$\frac{d \theta}{dt} = \sin \theta \Rightarrow \int_0 ^{\theta (t)} \frac{d \theta}{\sin \theta} = \int dt = t$ y habría que resolver esa bonita integral, creo.

Gracias por la ayuda, pero es que antes de nada, creo que no tengo o no me queda muy clara, cual es la diferencia entre "algo en función el tiempo" y "algo en función del ángulo".

Te comento ligeramente:

- En tu primer apartado, no entiendo muy bien por multipicas la derivada de omega por la derivada de theta. ¿la aceleracion no es la primera derivada de omega o la segunda de theta? Ese paso no lo he entendido mucho, ya que yo hubiera puesto directamente la derivada de omega, es decir, la primera derivada de la velocidad angular.

-En tu segundo comentario, te agradezco lo que dices de las fórmulas que he puesto, pero en esto no te he entendido "aunque no veo bien como obtener su derivada sin resolver antes el c..."

- En el ultimo apartado, donde me comentas lo de resolver esa bonita integral, basandome entre lo que he sacado de internet y la ligera y vaga explicación del profe, he llegado hasta ahí, pero ya tanto como para resolver esa bonta integral como dices, no me da, porque no tengo ni idea de como resolver la integral.

[Abdulai]

Esto es mas o menos lo mismo que te respondieron, lo pongo porque ya lo tenìa escrito

....
1) Aceleración angular de la partícula en función de $\theta$.

$\alpha=\frac{\dd \omega}{\dd t}=\frac{\dd^2 \theta}{\dd t^2}$[*]Mi planteamiento (mi odisea)[*]-[*]La velocidad angular me la dan en función de t, $\omega(t) = sin(\theta)$ y me piden la aceleración en función del ángulo, por lo que creo que la primera derivada $\omega(t) = cos(\theta)$, no me sirve o no es válida

Es que la primera derivada de $\omega$ es: $\omega^{\prime}(t) = \cos\theta \; \theta^{\prime}= \cos\theta \;\omega = \cos\theta \; \sin\theta$

2) Componentes intrínsecas de la aceleración para $\frac\theta4$ y para $\frac\theta2$ , donde $\theta = \pi$ rad.[*]Mi planteamiento (mi actual posición)[*]La aceleración tangencial es $a_t = r \cdot \alpha$ , por lo que necesito $\alpha$ y estoy hecho un lio con ella.

El valor de la aceleración $\alpha$ es la del punto anterior.

[*]La aceleración centrípeta es: $a_c = \omega^2 \cdot R$, que sería $(sin(\theta))^2 \cdot R$, cambiando $\theta$ por valor de $\frac\pi4$ y $\frac\pi2$ tal y como pide el enunciado del apartado.

Correcto, pero corregí el signo: $a_c = - \omega^2 \cdot R$

3) Ley $\theta = \theta(t)$.[*]Mi planteamiento (ya no sé por dónde buscar más)[*]Ley $\theta = \theta(t)$, por más que he buscado videos, explicaciones, etc., etc., por la red, no he conseguido averiguar ni saber cómo se resuelve.

De la expresión: $\omega(t) = \sin\theta \;\;\longrightarrow\;\; \dfrac{d\theta}{dt}=\sin \theta$ ; debes resolver esa ecuación diferencial.

Resolver la ED es un bonito ejercicio a tu cargo y su resultado es $\ln\tan(\frac{\theta}{2}) = t + C$

Si por simplicidad asignamos como punto inicial $t=0 \;,\; \theta=\frac{\pi}{2} \;\;\longrightarrow\;\; C=0$
Resultando $\theta(t) = 2 \arctan e^t$

$t=0,\theta=0$ es un punto singular donde la partícula se queda ahí para siempre $\;\;\longrightarrow\;\;$ no podemos usarlo de valor inicial.

Guau!!!!!!!!!

Muchísimas gracias Abdulai, por tu gran comentario.

Has sido y eres de gran ayuda, para personas que como yo, nos iniciamos en esto de la fisica y hacemos el esfuerzo de entenderla y seguir adelante, sin tirar la toalla, gracias de corazon.

[Alofre]

Hola, creo que con lo que ha dicho Abdulai está todo dicho. No obstante, por contestarte a lo que me dijiste, que depende de $\theta$ quiere decir que $f \equiv f(\theta)$ (incluyendo en principio sus derivadas). En cuanto a porqué multiplico de esa forma, sino me he equivocado al operar estoy aplicando la regla de la cadena, y efectivamente (no caí en ese momento jajaja) $\dot{\theta} = \omega$ y así ya sale

Muchas gracias Alofre, has sido y eres de gran ayuda, para todos aquiellos que empezamos en esto de fisica.

Mil gracias!!!!!!!!!!!