1r ciclo !!!incongruencia entre la gravedad de un plano infinito de espesor infinitesimal y la de una esfera hueca de radio infinito y espesor infinitesimal

[Cozara]

Hola todos, analizando la gravedad que genera una esfera hueca de espesor infinitesimal he encontrado una incongruencia que no se despejar y consiste en lo siguiente:

1) La gravedad en la superficie de un plano infinito de espesor infinitesimal debe ser la misma que la gravedad en la superficie exterior de la esfera hueca de espesor infinitesimal y de radio infinito.
2) La gravedad que existe en cualquier punto de la superficie de la esfera hueca de espesor infinitesimal es g= G·M/R² , donde R es el radio de la esfera. sabemos que la densidad de masa de la esfera densidad = M/4·pi·R<sup>2
En definitiva la gravedad g= 4·pi·G·densidad
3) La gravedad que existe en la superficie de un plano infinito de espesor infinitesimal es g= 2·pi·G· densidad (del plano infinito).

Por lo tanto se observa que existe una incongruencia pues la esfera de radio infinito es un plano infinito y sin embargo la gravedad de ambas no son iguales, sino uno es el doble de la otra.

Por favor, esta es la cuestión que planteo para saber si alguien sabe como resolverla.</sup>

[JCB]

Hola a tod@s.

Empleando el teorema de Gauss para el campo gravitatorio, llego a lo siguiente.

1) Plano infinito de espesor infinitesimal. Considero una superficie gaussiana cilíndrica, perpendicular al plano.

$\displaystyle\oint_{S}\vec{g}\vec{dS}=-4\pi GM_{int.}$

$-gS-gS=-4\pi G\sigma S$

$g=2\pi G\sigma$. La gravedad es constante y no depende de la distancia al plano.

2) Esfera de corteza infinitesimal y de radio $R$. Considero una superficie gaussiana esférica, concéntrica a la corteza infinitesimal, y situada a una distancia radial $r$.

$-g4\pi r^2=-4\pi G\sigma 4\pi R^2$

$g=4\pi G\sigma\dfrac{R^2}{r^2}$

Si el punto considerado está sobre la corteza esférica, $r=R$, $g=4\pi G\sigma$.

A ver si alguien nos aclara el asunto, Cozara.

Saludos cordiales,
JCB.

[Abdulai]

Lo analizo sin fórmulas.

- Consideremos dos observadores, uno cerca de la superficie de un plano finito pero muy grande , y otro cerca de la superficie de un cascarón esférico muy grande.

- A la misma distancia, el observador del plano mide la misma gravedad de un lado del plano que del otro, mientras que el de la esfera mide una cierta gravedad cuando está fuera y cero cuando está dentro --> Luego, por mas que tiendan a infinito no son situaciones equivalentes, aunque localmente lo parezcan.

[JCB]

De acuerdo, Abdulai. Al tratarse de situaciones diferentes, no podemos pretender que los resultados sean los mismos.

[arivasm]

No son sistemas equivalentes, ni siquiera en el límite de puntos próximos a la superficie, en el que hay contribuciones al campo en todas las direcciones situadas "por debajo" del punto en cuestión. Pero en el caso del plano infinito las masas creadoras de las mismas estarían situadas a distancias cada vez mayores, mientras que en la esfera hueca no. Por eso es lógico que el resultado para esta última sea más intenso.

[Cozara]

En mi opinión no veo claro que no sean equivalente. Pongo el siguiente ejemplo:

Supongamos que estamos en un planeta plano de un tamaño tal como la via láctea, por ejemplo, de espesor infinitesimal. Al estar en la superficie de este planeta sentimos ese la gravedad propia de este plano "infinito" y ahora supongamos que se aplican unas fuerzas en todos los sentidos que hacen que este planeta se transforme en una esfera con espesor infinitesimal de un enorme radio. Entonces no percibo cómo es posible que la gravedad en los puntos de la superficie de esta esfera ahora haya pasado a ser el doble de antes, pues todos los puntos de materia están tremendamente alejados de ese punto donde estamos sintiendo la gravedad, veo sólo contribución de los que consideramos más cercanos. Pero si tenéis dudas deciros que este plano o esta esfera es aún pequeño deberíamos irnos a millones de millones de veces más grande para llegar al concepto de infinito, haciendo que las contribuciones de la materia alejada de la esfera sí o sí no tengan ningún valor a nivel de gravedad.

No veo cómo pueden influenciar, estos puntos tan lejanos, en la gravedad en la superficie exterior para que la gravedad pase a tener el valor del doble.

Como esto no lo veo, para mí creo que hay algo que está mal calculado y me he puesto a revisar el cálculo de la gravedad de una esfera hueca de espesor infinitesimal en los puntos de su superficie. He utilizado el siguiente enlace:
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...hell.html#wtls

Aquí yo veo un error en el cálculo integral de la gravedad en los puntos de la superficie exterior, es decir, para puntos donde r=R.
Adjunto pantallazo de la integral:

--------

En r=R la función a integral es 1 y los límites de integración están entre 0 y 2R.

Si no me equivoco eso provoca que para r=R la gravedad coincide con la gravedad que genera un plano infinito.

Lo cual es terrible obtener esto, pero eso es lo que yo veo...

[Alriga]

En La web de Física para las ecuaciones se usa LaTeX, no se admiten imágenes de expresiones matemáticas. Usar LaTeX, que es muy fácil, se aprende en media hora, aquí tienes un tutorial: Cómo introducir ecuaciones en los mensajes y aquí puedes practicar tus fórmulas La web de Física - Prueba y ejemplos de LaTeX

Además si haces doble click sobre cualquier fórmula del foro verás el código en el que está escrita, si quieres copiarla, márcala con el ratón, con el botón de la derecha del ratón haz copiar, y a continuación entre medio de los corchetes [TEX]Pegar como texto sin formato[/TEX] ¡y ya tienes tu fórmula en LaTeX!

Por ejemplo $\displaystyle F=-\dfrac{G m M}{4 R r^2} \int_{r-R}^{r+R} \left (1+ \dfrac{r^2-R^2}{s^2} \right ) \dd s$

[carroza]

Hola a todos.

Gracias, Cozara, por plantear un interesante problema.

A ver, voy a analizarlo usando la perspectiva de Abdulai: Imaginamos un observador, que está a una distancia d, de una superficie esférica de radio R.

Un observador cercano a una superficie esférica, de radio R, puede considerar que el campo gravitatorio que observa se debe a dos superficies curvilíneas, dos cascarones:

El cascarón cercano, que está a una distancia mínima distancia $d_C= d$ y que contribuye hasta una distancia $D = \sqrt{ (R+d)^2 - R^2}$.

El cascarón lejano, que está a una distancia máxima de $d_L = d+2R$, y que contribuye hasta la distancia $D = \sqrt{ (R+d)^2 - R^2}$.

Ahora hacemos el límite de aumentar $R$ hasta el infinito. Los dos cascarones se convierten en planos. El cascaron cercano a una distancia $d_C= d$ y el cascaron lejano a una distancia $d_L = d+2R$. Sabemos que el campo gravitatorio de un plano no depende de la distancia, por tanto, nuestro resultado, que no debe ser sorprendente, es que el campo de la esfera es dos veces el de la superficie plana equivalente.

Por otro lado, esta explicación permite entender que en el interior de la esfera, el campo eléctrico es nulo. Esto lo vemos porque es la suma vectorial de los dos campos debidos a las superficies planas de los cascarones cercano y lejano.

Un saludo

[Cozara]

Gracias Carroza por la explicación pero veo un problema y es con el 2º plano infinito posicionada a una distancia dl= d+ 2R. Pues este plano infinito al hacer R infinito resulta que la distancia a la cual estamos es 2R, es decir 2 veces infinito. La distancia es mucho más infinita que el propio plano y esto hace que el este plano no se comporte como un plano infinito. Y esto provoca que al estar tan lejos de él que la contribución sea nula.


Me explico, un planeta plano de un tamaño a la tierra, en su superficie podemos considerar que este es plano infinito, pero si nos alejamos 2 veces su tamaño ya ese plano infinito ya no es así, sino que veríamos que es un planeta limitado y ya no podríamos considerar el mismo comportamiento que antes.

La incongruencia para mí aún no está desvelada con este argumento.

Un saludo.

[carroza]

Cozara, el tema del limite cuando R tiende a infinito, lo puedes evitar dejando R finito, y haciendo d tender a cero.

De nuevo tienes un casquete cercano, a una distancia d, que tiende a cero y un casquete lejano, a distancia d+2R, que permanece finita. El argumento es que el punto ve dos superficies, tales que la principal contribución al campo eléctrico en la dirección vertical proviene, en ambos casos, en un intervalo angular $\delta \theta$ cercano a la direccion perpendicular. El casquete cercano tiene menos superficie en ese intervalo angular $\delta S_C = d^2 (\delta \theta) ^2 \pi$, mientras que el casquete lejano tiene más superdicie en dicho intervalo
$\delta S_L = (2R+d)^2 (\delta \theta) ^2 \pi$. Como la contribución al campo eléctrico es proporcional al area efectiva, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, ambos cuentan lo mismo para el campo eléctrico.

Una vez establecido esto, puedes hacer el limite cuando d tiende a 0, o cuando R tiende a infinito. Ambas contribuciones (cercana y lejana) son iguales. La contribucion lejana no se hace cero, ni la cercana se hace infinito.


Si quieres un argumento más preciso, y estás familiarizado con ángulos sólidos, puedes ver los siguiente:

Considera explicitamente la contribución para caso de la esfera, de radio R arbitrario, con un punto P a una distancia d arbitraria de la esfera.
Tomas una dirección arbitraria, $\hat n$, que parte del punto P y atraviesa la esfera. Esta linea la corta dos veces, la esfera, en un punto A del casquete cercano y en un punto B del casquete lejano. Sea $\hat n_A$ la dirección perpendicular a la esfera en A, y $\hat n_B$ la dirección perpendicular a la esfera en A,
Ahora consideras las constribuciones al campo eléctrido en P de los puntos que estan en un pequeño cono de ángulo sólido $d \Omega$ en torno a $\hat n$.
La superficie en torno a A dentro de ese cono de ángulo sólodo es $d S_A = D_{PA}^2 d \Omega /\cos\theta_A$, donde $\cos\theta_A = \hat n \cdot \hat n_A$.
La superficie en torno a B dentro de ese cono de ángulo sólodo es $d S_B = D_{PB}^2 d \Omega /\cos\theta_B$, donde $\cos\theta_B = \hat n \cdot \hat n_B$.

Es facil ver que $\cos\theta_A = \cos \theta_B$, (bueno, sería facil si alguien es tan amable de completar con una imagen este argumento). A partir de ahi, vemos que las cargas dentro del cono de ángulo sólido $d \Omega$ en torno a A y B son pro porcionales al cuadrado de las distancias respectivas a P, $D_{PA}, D_{PB}$con lo que los campos eléctricos de ambas son estrictamente iguales, en módulo, dirección y sentido.

Si el puntp P está en el intero de la esfera, el mismo argumento es aplicable, pero ahora los campos electricos en torno a A y B son estrictamente iguales, en módulo y dirección, pero tienen sentidos opuestos.

Con eso, e integrando sobre todas las direcciones $\hat n$ que atraviesan la esfera, llegas a que la contribucion del casquete cercano al campo eléctricoes estritcatemte igual a la del casquete lejano. Esto es, si P está fuera de la esfera. Si P estuuviera dentro, las constribuciones de anulan, y el campo eléctrico sería estrictamente nulo.
Esto es válido para d y R arbitrarios, con lo cual será válido cuando R tienda a infinito.

Saludos

[Alriga]

Cuando se utilizan límites de forma intuitiva y descuidada es muy fácil meter la pata. Este hilo me recuerda al “límite de la escalera”:

En un cuadrado de lado unidad definimos la sucesión de "escaleras" $E_n$ dibujadas en rojo, que permiten llegar del vértice inferior izquierdo del cuadrado al vértice opuesto (superior derecho):

$E_1$ es la primera escalera (línea roja), 1 escalón

$E_2$ es la segunda escalera, 2 escalones

$E_3$ es la tercera, 4 escalones, y así sucesivamente, doblando cada vez el número de escalones
........

$E_n$ es la enésima con, $2^{n-1}$ escalones

Es obvio que cuando $n \to \infty$ la escalera en rojo, con infinitos escalones de longitud infinitesimal cada uno, tiende a ser la diagonal del cuadrado. Calculemos la longitud de la diagonal como el límite de la longitud de la escalera:

$L(E_1)=1\cdot 2=2$

$L(E_2)=\dfrac 1 2 \cdot 4=2$

$L(E_3)=\dfrac 1 4 \cdot 8=2$
…….

$L(E_n)=\dfrac 1{2^{n-1}} \cdot 2^n = 2$

Vemos que todas las escaleras de la sucesión tienen longitud 2, luego la longitud en el límite es 2, y acabamos de demostrar que la diagonal de un cuadrado de lado 1 tiene longitud 2:

!!!incongruencia en el Teorema de Pitágoras...

Saludos.

[javisot20]

Me siento satisfecho de haber estudiado lo suficiente para entender esta respuesta y captar la ironía jej, la convergencia de la longitud no implica la convergencia de la derivada, en este caso.

[33terra]

Hola, Alriga creo q esto q expones es fácil de rebatir por muy infinito sea n, pues para cada escalón infinitesimal la diagonal infinitesimal siempre va a ser más pequeño que la suma de los 2 lados infinitesimal, con lo cual el decir q la diagonal del cuadrado es igual suma de los infinitos escalones es poco agudo y fácil advertir error de decir que la diagonal vale 2 y asi es facil de rebatir este incumplimiento del teorema de pitagoras.

Pero por lo q estoy leyendo en este hilo, la incongruencia está siendo difícil de doblegar.
Veremos al final q pasa pues yo no lo tengo claro.
Saludos.

[Cozara]

Hola de nuevo y en esta ocasión quiero seguir analizando los últimos argumentos que Carroza ha comentado, que me parecen muy interesantes pues veo claramente que al hacer tender la distancia d a cero, al estar tan cerca de la superficie primera, esta superficie se observaría como un plano infinito y más aún será así si el punto de observación está en su propia superficie1 de la esfera.
También entiendo que existe una superficie efectiva en la superficie 1 y otro en la superficie 2 (distanciada 2R+d) y que la contribución de ambas son de la misma magnitud para un punto que dista una distancia d de la superficie 1. Pero al hacer d tender a cero observo que ocurre algo insólito a nivel geométrico e que creo que puede influir a nivel matemático.

Para cualquier punto que diste una distancia d > 0, sean el que sea y lo pequeño que sea, existen estas 2 superficies de contribución, pero cuando el punto de observación lo ponemos exactamente en la misma superficie 1, todo cambia pues ya no tenemos una superficie 1 ni una superficie 2 de contribución claramente definida como antes.

Veo que en el límite cuando d tiene a cero el análisis geométrico es distinto a cuando d = 0. Y esto tiene tener repercusión a nivel matemático, para ello es necesario calcular la gravedad de esta esfera en puntos cercanos a la superficie 1 y puntos en la misma superficie 1.
Para ello hay que realizar la integración de todos los elementos de materia de la esfera para ambas situaciones. Esto es lo que voy a realizar a continuación, para ello me apoyo en el siguiente enlace:

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...hell.html#wtls


Se trata de calcular la integral siguiente para puntos de la superficie , es decir, para r = R y para puntos cercanos a la superficie r > R

$\displaystyle g=-\dfrac{G M}{4 R r^2} \int_{r-R}^{r+R} \left (1+ \dfrac{r^2-R^2}{s^2} \right ) \dd s$


1) Para puntos r > R, la solución de la integral es la que aparece en el enlace y es: $g=\frac {G M}{r^2}$

2) La solución para r = R, la integral a calcular es:
$\displaystyle g=-\dfrac{G M}{4 R r^2} \int_{0}^{2R} \dd s$

ya que el término R = r,

Con lo que el resultado es: $g=\frac {G M}{2r^2}$


En definitiva lo adelantado ha ocurrido, para puntos donde r tiene a R la gravedad tiende a $g=\frac {G M}{R^2}$ pero para puntos de la superficie tiene un valor la mitad al anterior $g=\frac {G M}{2R^2}$
Concluimos que la diferencia a nivel de geometría que vimos al principio provoca una diferencia a nivel matemático.

Y el valor de la gravedad en los puntos de la superficie es igual a la gravedad de un plano infinito.

$g= 2\pi G\sigma$ donde $\sigma$ = densidad superficial de masa de la esfera.

Por lo tanto la incongruencia del principio ahora no la tenemos pero tenemos algo más fuerte y duro de digerir.

Bueno esto es lo que me sale a mí de mi análisis.

[33terra]

PERO ESTE RESULTADO ES INCREIBLE. CÓMO PUEDE SER ?. Cuando yo estudiaba hace muchos años Física esto me pasó desapercibido , esta forma de hacer la integral de forma general para todos los puntos r y veo q hay un error tremendo en la generalización pues para los puntos de la superficie la función para integrar es distinta. Tengo q hacer de nuevo los cálculos pues el resultado ha sido imprevisto y disruptivo.
Espero ansioso la respuesta de las personas más sabias de aquí.

[carroza]

Hola.

Todo este tipo de problemas, de calculo de campos eléctricos/gravitatorios, asociados a distribuciones de carga/masa con ciertas propiedades de simetría (planos infinitos, lineas infinitas, distribuciones esféricas), se hacen muy bien usando el teorema de Gauss https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Gauss , que evita calcular integrales incómodas.

El uso del teorema de Gauss, en estos casos, relaciona el flujo del campo gravitatorio en una superficie con la masa contenida dentro de dicha superficie. La aplicación del teorema de Gauss requiere cierto cuidado cuando uno considera densidades volumétricas que tienden a infinito, como es el caso de una distribución superficial.

Este es el punto general que Alriga indica en su mensaje. Hay que tener cuidado con los límites. Por ejemplo, no puedo ignorar el efecto de las masas que se van a una distancia infinita, si esas masas se hacen infinitas (el caso de una distribución esférica con densidad superficial constante, en la que aumento R). No debo sorprenderme de un cambio en el campo gravitatorio cuando r tiende a R, frente al caso de r=R, si considero densidades superficiales de masa de partida. La forma correcta de hacerlo es tomar una densidad volumétrica de masa constante, en una corona esférica de espesor $\delta$, digamos entre $R+\delta/2$ y $R-\delta/2$, evaluar los campos, y luego hacer tender $\delta$ a cero.

Bueno, yo aprovecho para despedirme de este hilo. Estaré encantado de contribuir a responder otras cuestiones que 33terra o Cozara puedan plantear, aunque agradecería mayor parquedad en el uso de mayúsculas o signos de admiración.

Un saludo

[Cozara]

Hola Carroza gracias por todo y como el chat no me deja escribirte un mensaje te lo envío por aquí:
Gracias Carroza por tus comentarios e indicaciones, pero no entiendo tu afirmación de evitar cálculos de integrales incómodas. En el caso que nos lleva, la integral que se obtiene es la que es y es muy fácil de resolver. Además el método de integración es el método que utilizó Newton para el cálculo de estos campos gravitatorios, pues el teorema de Gauss es muy posterior a la muerte de Newton. Pero en este hilo lo que hemos visto es que la realización de esta integral ha sido errónea para los puntos de la superficie de las esferas huecas de espesor infinitesimal, y ha sido así durante más de 200 años.
A mí como físico esto sí que me incomoda, no haberme dado cuenta de esto y que nadie se haya dado cuenta antes. Todo físico o estudiante de física es capaz de hacer esta integral sin problemas y obtener los resultados aquí expuesto en este hilo.
Gracias de nuevo.

[33terra]

Bueno, pues yo he realizado la integral de la función para calcular el campo gravitatorio una y otra vez y está muy claro que del desarrollo de la integral se obtiene lo que Cozara ha expuesto:

En la misma superficie exterior el campo gravitatorio es $g=\frac {G M}{2R^2}$ y esto hace que la incongruencia inicial que planteó Cozara no exista

Para restos de puntos puntos exteriores a la superficie de la esfera es
$g=\frac {G M}{r^2}$ donde r es la distancia del punto al centro de la esfera.

En puntos exteriores fuera de la superficie de la esfera, muy cerca a la superficie, cuando la distancia a esta tiende a 0:
$g=\frac {G M}{R^2}$

Por lo tanto, la conclusión que sale del cálculo de la integral es que la función gravedad es una función discontinua en la superficie de la esfera hueca. Esto hace cortocircuitar mi mente y más cuando los puntos más alejados de la superficie tienen el doble de gravedad que los de la propia superficie, ya que siempre el campo gravitatorio debe ser más pequeño a mayor distancia a la masa.
Después de esto me pregunté, ¿qué pasa en la cara interior de la esfera hueca de espesor infinitesimal? para ello en el mismo enlace que envió cozara hay otro enlace para hacer el cálculo integral pero para puntos en el interior de la esfera hueca y el resultado ha sido el siguiente:
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu...ell2.html#wtls

Al final la integral que hay que resolver es la misma que para los puntos en la parte exterior y por lo tanto el resultado es:

Puntos de la superficie interior: $g=\frac {G M}{2R^2}$

Puntos interiores fuera de la superficie: $g=0$

Resumiendo:

En los puntos de la superficie interior de la esfera, la gravedad no es nula y tiene el mismo valor que en la superficie exterior. Según esto la superficie de la esfera se está comportando como un plano infinito y este resultado es válido para cualquier radio.

Pero igual que antes, la función campo gravitatorio es discontinua también en el interior.

Estos resultados han sido disruptivos total pero es lo que sale del cálculo de la integral que como bien dice cozara es el único cálculo que se tenía en la época de Newton.

Un saludo.

[javisot20]

La incongruencia que observas surge por estar comparando dos objetos diferentes: un plano infinito y una esfera hueca de radio infinito. Aunque la esfera hueca de radio infinito podría ser modelada matemáticamente como un plano infinito, esto no significa que los dos objetos sean equivalentes físicamente.

Cuando se calcula la gravedad en la superficie de un objeto, como en este caso, es importante tener en cuenta la distribución de la masa dentro del objeto. En el caso del plano infinito, toda la masa se encuentra en una sola capa plana, mientras que en la esfera hueca, la masa se encuentra distribuida en una capa esférica uniforme.

La distribución de masa de la esfera hueca de radio infinito resulta en una gravedad mayor en su superficie en comparación con la gravedad en la superficie del plano infinito. Esto se debe a que la gravedad es proporcional a la densidad de masa, y la esfera hueca tiene una densidad de masa uniforme en su superficie, mientras que el plano infinito tiene toda su masa concentrada en una capa fina.

En resumen, aunque es posible modelar la esfera hueca de radio infinito como un plano infinito matemáticamente, esto no significa que sean equivalentes físicamente. La distribución de masa de la esfera hueca resulta en una gravedad mayor en su superficie que en la superficie del plano infinito, lo que explica la discrepancia en los cálculos.

[Alriga]

Un caparazón esférico de radio R, grosor nulo y masa M es una abstracción matemática de un caparazón delgado. Si calculamos el campo gravitatorio en un punto exterior al caparazón de grosor nulo, a una distancia del centro $r>R$ obtenemos que su módulo es

$g(r)=\dfrac{G M}{r^2}$

Si calculamos el campo gravitatorio en un punto interior, a una distancia del centro $r<R$ obtenemos

$g(r)=0$

En $r=R$ (como el espesor de la concha es cero) estamos al mismo tiempo dentro y fuera del caparazón: el límite por la izquierda es distinto del límite por la derecha. Luego a priori, no deberíamos calcular el campo en $r=R$ usando ninguna de las dos expresiones señaladas, es decir la abstracción “caparazón esférico de radio R grosor nulo y masa M” no es buena para realizar el cálculo del campo en $r \to R$ de un caparazón delgado (repito, si se ha supuesto grosor nulo).

Para solucionarlo, vamos hacer el cálculo para un caparazón esférico de grosor finito $a=R_2-R_1$ de densidad uniforme y de masa M con $R_2>R_1$ . Se obtiene:

$$g(r)=0 \hspace{4.7 cm} \text{cuando } 0 \leq r < R_1$$

$$g(r)=\dfrac{GM}{R_2^3-R_1^3}\cdot \left ( r-\dfrac{R_1^3}{r^2} \right ) \qquad \text{cuando } R_1 < r < R_2$$

$$g(r)=\dfrac{G M}{r^2} \hspace{4.7 cm} \text{cuando } r>R_2$$

El campo gravitatorio que proporcionan estas expresiones está dibujado en color verde en el gráfico de abajo:

Vemos que la discontinuidad ha desaparecido, ahora los límites por la izquierda son siempre iguales a los límites por la derecha. Si calculamos el campo en la superficie interna del cascarón $r \to R_1$ obtenemos $g=0$ tanto si usamos la expresión (1) como si usamos la (2)

Del mismo modo, si calculamos el campo en la superficie externa del cascarón $r \to R_2$ obtenemos $g=\dfrac{G M}{R_2^2}$ tanto si usamos la expresión por la izquierda (2), como si usamos la expresión por la derecha (3)

La conclusión es, por lo tanto, que el campo gravitatorio en la superficie exterior de un cascarón esférico de masa M y grosor $a=R_2-R_1$, aunque el grosor $a>0$ sea tan pequeño como se quiera, es:

$$\boxed{g=\dfrac{G M}{R_2^2}} \qquad \qquad g\neq \dfrac{G M}{2R_2^2}$$

Los lectores de este hilo tal vez también podrían encontrar interesante este otro: Gravedad, interior de la tierra

Entendemos que todo el mundo ya ha tenido tiempo de opinar lo que ha creído conveniente en el hilo, y para evitar posibles futuros “trolleos” de miembros con duplicidad de cuentas, (la duplicidad de cuentas está prohibida por la normativa del foro) procedemos a cerrarlo.

Saludos.