Divulgación Problema de una barra que colisiona con una partícula

[inakigarber]

Buenas noches;
Planteo un problema "fácil" que no me está resultando nada fácil.
Una barra uniforme de longitud L1=1.2m y de masa M=2Kg. Está sujeta por un extremo a una bisagra de tal forma que puede girar en el plano vertical. La barra, inicialmente en reposo cae. Una partícula de masa m cuelga de una cuerda delgada de longitud L2 =0.8 de la misma bisagra. La partícula cuando choca se engancha a ella. Después de la colisión la barra sigue girando hasta formar un ángulo de $\phi=37º$ calcular a) m, b) ¿Cuánta energía se disipa en la colisión? El resultado que da el libro al apartado a) m=1.84 Kg no me coincide.

La estrategia que yo sigo es la siguiente. Calculo la energía potencial del sistema, para determinar la velocidad angular y en consecuencia el momento lineal.

$$E_i=2\cdot9.81*\cdot9.81\frac{1.2}{2}=11.772 Julios$$

Velocidad angular del sistema;
[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] Esto me da un valor de velocidad angular; $\omega_c=4.9522rad/seg$
Momento angular del sistema; L

$$L=\frac{2\cdot(1.2^2)}{3}\cdot 4.9522=4.7541$$

Dado que el momento se conserva esté será el mismo antes y después de la colisión.
Aquí es donde empiezo a complicarme la vida.
Primero trato de calcular la velocidad angular tras la colisión;$\omega_f$
Para ello;

$$4.7541=\left(\frac{2\cdot1.2^2}{3}+0.8^2m_b\cdot \omega_f\right)$$

Sustituyendo por valores numéricos;

$$4.7541=\left(0.96+0.8^2m_b\cdot \omega_f\right)$$

Bien, como tengo dos variables, necesito una ecuación más. Está segunda ecuación la obtengo a partir de la energía necesaria para elevar el sistema barra/partícula hasta un ángulo de 37º. Introduciendo valores númericos;

$$E_f=\frac{2\cdot 9.81 \cdot 1.2}{2} (1-cos(37))+ m_b\cdot 9.81 (1-cos(37))$$

Que simplificando me queda;

$$E_f=1.975(1,2+m_b)$$

Ahora se trata de expresarla velocidad angular tras la colisión $\omega_f$, a través de la energía final.

$$E_f=\frac{I_f\cdot }\omega_f^2{2}$$

donde el momento de inercia final ya calculado anteriormente es;

$$I_f=0.96+0.8^2m_b$$

Velocidad angular tras la colisión;

$$E_f=1.975(1,2+m_b)=\frac{(0.96+0.8^2m_b)\cdot \omega_f^2}{2}$$

Con esto ya tengo la segunda ecuación; con lo que tengo;

$$4.7541=\left(0.96+0.8^2m_b\cdot \omega_f\right)$$

$$E_f=1.975(1,2+m_b)=\frac{(0.96+0.8^2m_b)\cdot \omega_f^2}{2}$$

Esto me da un valor de masa $m_b=1.2011 Kg$ que no me coincide con el libro.
Saludos, gracias y disculpas por un post tan largo.

[Zorak]

Re: Problema de una barra que colisiona con una partícula

el balance de energia es : $\frac{1}{ 2}(I+m {0.8 }^{2 }){\omega}^{2 } = M g (\frac{L1}{2 }-\frac{L1}{2 } cos\theta)+m g (L2-L2 cos\theta)$

Con esta ecuación y la de conservación de momento angular , tenes un sistema de dos por dos, donde $\omega$ y$m$ son las incógnitas.

[inakigarber]

Re: Problema de una barra que colisiona con una partícula

Aun así, sigue sin salirme.

[Take It Easy]

Re: Problema de una barra que colisiona con una partícula

Hola inakigarber. Estoy realmente intrigado. Te explico: me interesé por este problema y me puse a hacerlo. La primera vez me salió un valor incoherente. Dije: me habré equivocado con algún valor pues el planteamiento es correcto. Lo volví a hacer y me salió lo mismo que a ti. Dije: de acuerdo, el valor de 1,84 kg está mal. Lo volví a hacer y ¡obtuve 1,84kg!, es decir, la respuesta dada. Pero buscando por internet encontré el mismo problema resuelto ¡¡con el resultado de 1,2 kg!!, es decir, el que obtuviste tú. Lo haré otra vez un día de éstos y te digo. Saludos

[Zorak]

Re: Problema de una barra que colisiona con una partícula

Con el planteo de la conservación del momento angular tenes:


$I {\omega}_{c } = (I+m {L2}^{2 }) \omega$ (1)


Planteando el balance de energía desde el punto en que la masa ya esta unida hasta el punto en que se frena:



$\frac{1}{2 } (I+m {L2}^{2 }) {\omega}^{ 2} = M g \frac{L1}{2 } (1 - cos \theta) + m g L2 (1 - cos \theta)$ (2)



De (2) despejas $\omega$ y te queda:



[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]


Reemplazas en (1):



[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]



Elevas al cuadrado ambos miembros:



${(I {\omega}_{ c})}^{2 }=2 {(I+m {L2}^{2 })}^{ 2}$ $\frac{(M g \frac{L1}{2 } (1 - cos \theta) + m g L2 (1 - cos \theta))}{(I+m {L2}^{2 })}$



Simplificamos $(I+m {L2}^{2 })$ :



${(I {\omega}_{ c})}^{2 }=2 (I+m {L2}^{2 }) (M g \frac{L1}{2 } (1 - cos \theta) + m g L2 (1 - cos \theta))$


Para no trabajar con tantas letras reemplazamos los valores conocidos y nos queda:

$22.60158 = (1.92+ m 2.88)*(2.36804 + m 1.57869)$


$4.54663 m^2+ m 9.85104 -18.0549=0$


La ecuación anterior o da los do resultados siguientes:

$m=-3.35152$

$m=1.18485$

Como la masa no puede ser negativa descartamos el primer resultado.....

[inakigarber]

Re: Problema de una barra que colisiona con una partícula

Buenas tardes;
A veces tengo la extraña capacidad de buscar la forma mas sencilla de resolver un problema y encontrar la mas complicada de hacerlo. En este caso también se ha cumplido la regla, y pretendiendo ir por el camino mas corto, he ido por el más largo. Todo se simplifica bastante si en vez de tomar la energía cinética como $E_c=\frac{I\omega^2}{2}$, lo cual obliga a calcular $\omega$ también la tomamos como $E_c=\frac{L^2}{2I}$. Teniendo en cuenta que el momento angular L se conserva (el momento de inercia I, obviamente no se conserva) me sale una única ecuación de segundo grado, uno de cuyos valores es negativo y debe descartarse y el otro es 1.84 Kg, que si no recuerdo mal era el que daba el solucionario. Más adelante volveré a intentarlo de la manera complicada. ¿Es posible que el problema pueda dar dos soluciones distintas (y que ambas sean validas) resolviéndolo de dos formas distintas?
Saludos y gracias.

[Zorak]

Re: Problema de una barra que colisiona con una partícula

Buenas tardes;
¿Es posible que el problema pueda dar dos soluciones distintas (y que ambas sean validas) resolviéndolo de dos formas distintas?
Saludos y gracias.

Desde el punto de vista físico, los problemas siempre tendrán una única solución, resolviéndolo de la forma que se te pueda ocurrir, ya que todas las ecuaciones que utilices indefectiblemente forman parte de una misma teoría , en este caso mecánica clásica, y están todas relacionadas.