Condición entre dos esferas en equilibrio en un plano inclinado.

[Testy]

Hola, tengo el siguiente problema:

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Se supone que la respuesta correcta es la 2), pero no soy capaz de llegar a ninguna respuesta en particular. Obtengo masas negativas todo el rato. Lo que hago:

Assumiento que F es la fuerza entre ambas esferas tenemos que para la esfera 1: $F + m_1g\sin{\theta} - \mu_1 m_1 g \cos{\theta} = 0$

Y para la segunda esfera: $m_2g\sin{\theta} - F - \mu_2 m_2g\cos{\theta} = 0$

Sumando ambas ecuaciones tenemos que: $m_1 = m_2\dfrac{\mu_2\cos{\theta}-\sin{\theta}}{\sin{\theta}-\mu_1\cos{\theta}}$


Puesto que la solución al ejercicio debería ser la 2, que $m_1 < m_2$, debería tener que $\dfrac{\mu_2\cos{\theta}-\sin{\theta}}{\sin{\theta}-\mu_1\cos{\theta}}<1$. Pero no veo cómo.

Asumiendo que $\mu_2>\mu_1$, tenemos que $-\mu_2<-\mu_1$ y así $\dfrac{-1}{\mu_1} < \dfrac{-1}{\mu_2}$ y por tanto $\dfrac{\mu_2\cos{\theta}-\sin{\theta}}{\sin{\theta}-\mu_1\cos{\theta}} < \dfrac{\mu_2\cos{\theta}-\sin{\theta}}{\sin{\theta}-\mu_2\cos{\theta}} < -1$

lo cual no tiene sentido pues me sale que $m_1$ es negativa. Lo mismo para $\mu_1 = \mu_2$.

[Alriga]

El enunciado en español es:

Dos esferas con masas $m_1$ y $m_2$ se mantienen en un plano inclinado como el que se muestra. Ambas están en equilibrio. ¿Cuál es la condición necesaria para ello?

$\mu_1$ es el coeficiente de rozamiento entre $m_1$ y el plano inclinado y $\mu_2$ es el coeficiente de rozamiento entre $m_2$ y el plano inclinado.

La figura:

Saludos.

[Alriga]

Hola Testy bienvenido a La web de Física, por favor como miembro reciente lee atentamente Consejos para conseguir ayuda de forma efectiva

Me extraña un poco el enunciado. Imaginemos que solo está $m_1$ con coeficiente de rozamiento con el plano inclinado $\mu_1$ . Creo que nada impediría que la componente del peso paralela al plano inclinado y la fuerza de rozamiento creasen momento que obligaría a la esfera a girar y caer por el plano inclinado, siempre.

Si añadimos la esfera $m_2$ entiendo que la fuerza de rozamiento entre $m_1$ y $m_2$ de coeficiente $\mu_{12}$ podría ser la responsable de crear momento en sentido contrario al que hemos descrito antes, que de equilibrarse, podría evitar el giro de $m_1$ y forzar una situación estática.

Pero el enunciado no habla de rozamiento entre $m_1$ y $m_2$ y eso me despista. A ver si tienes suerte y algún otro compañero se pasa por aquí y ve más claro el tema.

Saludos y de nuevo bienvenido.

[javisot20]

Entiendo que tienes razón, si no indica coeficiente para ambas parecen cajas deslizándose más que esferas rodando.

[Richard R Richard]

La condición necesaria es que haya rozamiento entre esferas, además que podemos suponer radios iguales, y esas fuerzas son perpendiculares.al plano inclinado, pero lo que no estoy seguro es si podemos independizar el resultado de los coeficientes de rozamiento y del ángulo del plano.

[Richard R Richard]

Le he dado una vuelta de tuerca más y he llegado a la conclusión.

Primero si o si tiene que haber rozamiento entre ambas esferas.

Usando la figura que aportó Alriga a y dando subíndice 3 a las interacciones entre esferas. Plantee el DCL de cada esfera, tomando eje x+ descendiendo el plano e y+ perpendicular descendiendo y $R=R_1=R_2$ hacia el plano obtengo

$$\dst\sum F_{x1}=0=N_3-\mu_1 N_1+m_1g\sin\theta$$

$$\dst\sum F_{y1}=0=\mu_3N_3-N_1+m_1g\cos\theta$$

$$\dst\sum M_{1}=0=-\mu_3N_3\cancel{R}+N_3\cancel{R}+m_1g\sin\theta\cancel{R}$$

$$0=-\mu_3N_3+N_3+m_1g\sin\theta$$

$$\dst\sum F_{x2}=0=-N_3-\mu_2 N_2+m_2g\sin\theta$$

$$\dst\sum F_{y2}=0=-\mu_3N_3-N_2+m_2g\cos\theta$$

$$\dst\sum M_{2}=0=+\mu_3N_3\cancel{R}+N_3\cancel{R}-m_2g\sin\theta\cancel{R}$$

$$0=+\mu_3N_3+N_3-m_2g\sin\theta$$

sumando las ecuaciones 3' y 6'

$$0=\cancel{-\mu_3N_3}+N_3+m_1g\sin\theta+\cancel{\mu_3N_3}+N_3-m_2g\sin\theta$$

$$0=2N_3+m_1g\sin\theta-m_2g\sin\theta$$

despejamos $N_3$ y además sabemos que es necesario el contacto entre esferas es decir que $N_3>0$

de dónde $N_3=\dfrac{(m_2-m_1)g\sin\theta}{2}>0$

como $\sin\theta>0$ para $\theta <90$ , también $g>0$ además de lo obvio $2>0$ para que $n_3>0$ debe cumplirse que $m_2-m_1>0$ esto implica que $m_2>m_1\quad\checkmark\therefore$cqd

[javisot20]

He tomado una superficie sin inclinación, dos esferas, he probado con distintos tamaños y pesos, en cuánto subo la inclinación minimamente ambas esferas salen del equilibrio y ruedan. Diría que la condición necesaria para el equilibrio es que la inclinación sea 0, algo no estoy entendiendo...

Si en vez de esferas lo resuelves con cajas deslizándose obviamente la respuesta es la 2, m1 debe ser menor que m2, salta a la vista, ¿pero con esferas?

(Igual el ejercicio no señala rozamiento entre esferas para que lo añadamos nosotros)

[Richard R Richard]

Hola, javisot20 , es un ejercicio teórico, porque en la práctica cualquier desviación de la recta que representa al gradiente del plano inclinado tendrá un torque que desviará las esferas y causará que se rompa el equilibrio, lo que habría que probar sería con cilindros de un alto coeficiente de fricción, aunque el resultado aparentemente es independiente de eso. El cilindro 1 de goma hueca y el 2 macizo , o el 1 macizo y el 2 con un núcleo de metal. Supongo que pasada cierta inclinación deberían deberían romper equilibrio, pero aparentemente el resultado es independiente de eso también.

[javisot20]

Supongo que pasada cierta inclinación deberían deberían romper equilibrio, pero aparentemente el resultado es independiente de eso también.

Entiendo, independientemente de si hablamos de 2 esferas, 2 cilindros, 2 cajas, 2 triángulos, etc la condición es la misma, que m1 sea menor que m2.

¿Entonces el ejercicio tiene que poderse resolver sin coeficiente de rozamiento entre esferas no?, supongamos que las esferas no ruedan, se deslizan como cajas, realmente el ejercicio no dice que giran.

[teclado]

Entiendo, independientemente de si hablamos de 2 esferas, 2 cilindros, 2 cajas, 2 triángulos, etc la condición es la misma, que m1 sea menor que m2.

¿Entonces el ejercicio tiene que poderse resolver sin coeficiente de rozamiento entre esferas no?, supongamos que las esferas no ruedan, se deslizan como cajas, realmente el ejercicio no dice que giran.

Al contrario, el enunciado da a entender que las esferas ruedan en cualquier caso. Esto es, que para moverse tienen que girar, como si tuvieran un coeficiente de rozamiento infinito. Me gusta pensarlo como ruedas dentadas (cilíndricas, por ejemplo, ya que el problema es bidimensional) engranadas con el suelo y la una con la otra.

[Richard R Richard]

¿Entonces el ejercicio tiene que poderse resolver sin coeficiente de rozamiento entre esferas no?, supongamos que las esferas no ruedan, se deslizan como cajas, realmente el ejercicio no dice que giran.

Yo estoy tentado a suponer que solo es posible si $\mu_3>1$, en un momento maneje algebraicamente las ecuaciones de las fuerzas y me pareció lógico.
El problema tiene el mismo enfoque para cualquier perfil geométrico mientras la proyección del vector peso que pasa por su CM no corte el segmento de su base que hace contacto con el plano, es decir que tenga posibilidades de volcar o como en este caso de rodar.
De hecho la conclusión que saqué la hice solo teniendo en cuenta los momentos torsores respectos de sus puntos de apoyo.
Y solamente no habrá posibilidad de giro si el peso no es perpendicular al plano, ya que cualquier desviación de la horizontal hará que el peso ya no pase por el punto de apoyo.
En un sistema con formas no circulares, el sistema rotará si el peso conjunto que pasa por el CM conjunto cae fuera de la base de apoyo, por lo que siempre hay una limitarte angular y un mínimo coeficiente de rozamiento para que esto ocurra, sino resbalarían sin rotar.
De esa forma de pensar (una unión o encastre entre superficie de las dos figuras circulares) se puede ver que geométricamente no puede haber estabilidad alguna si el ángulo del plano es mayor a 45° porque sino vuelca.

[javisot20]

Igual no entiendo el coeficiente de rozamiento...por ello pregunto. 2 dimensiones para simplificar, tenemos el plano inclinado a 45° y 2 circunferencias que son iguales (para empezar).

-Si el coeficiente de rozamiento entre circunferencias es 0 quiere decir que al dar una vuelta exacta la primera circunferencia, la segunda habrá dado también una vuelta exacta, ambas giran al mismo ritmo y en el mismo sentido como si no contactaran entre ellas.

-Si el coeficiente de rozamiento entre circunferencias es infinito ninguna de las dos puede girar, suponiendo que el rozamiento con el plano inclinado sea de un cierto valor finito ambas se deslizarán por el plano sin girar.

-Si el coeficiente de rozamiento entre circunferencias es de un cierto valor finito (ni 0 ni infinto), entonces ambas circunferencias girarán al mismo ritmo, pero ese ritmo será menor que el ritmo al que giraban en el caso de rozamiento 0.

¿Es correcto?

[Richard R Richard]

Igual no entiendo el coeficiente de rozamiento...por ello pregunto. 2 dimensiones para simplificar, tenemos el plano inclinado a 45° y 2 circunferencias que son iguales (para empezar).

-Si el coeficiente de rozamiento entre circunferencias es 0 quiere decir que al dar una vuelta exacta la primera circunferencia, la segunda habrá dado también una vuelta exacta, ambas giran al mismo ritmo y en el mismo sentido como si no contactaran entre ellas.

Si no hay rozamiento entre ella la primera no puede detener el giro de la segunda, por lo tanto caen cuando ambas vences en rozamiento estatico respecto del plano inclinado

-Si el coeficiente de rozamiento entre circunferencias es infinito ninguna de las dos puede girar, suponiendo que el rozamiento con el plano inclinado sea de un cierto valor finito ambas se deslizarán por el plano sin girar.

Si el angulo es 45| , los radios iguales y si el coeficiente de rozamiento es infinito es lo mismo que suponerlas soldadas en el punto de tangencia de ambas, entonces si las masas son iguales ese punto de convierte en su centro de masas, luego esta en un equilibrio meta estable, puede deslizar, o bien rotar sobre la superficie de 1.

-Si el coeficiente de rozamiento entre circunferencias es de un cierto valor finito (ni 0 ni infinto), entonces ambas circunferencias girarán al mismo ritmo, pero ese ritmo será menor que el ritmo al que giraban en el caso de rozamiento 0.

Ojo, giraran al mismo ritmo si supones rodadura es decir que no se supera el rozamiento estatico de ninguna de las dos , puede ocurrir que si las masas son desiguales una deslice y la otra rote.

[Richard R Richard]

de las ecuaciones 3 y 1 sacas que

$$N_1=m_1g\sin\theta \dfrac{\mu_3}{(\mu_3-1)\mu_1}$$

de la 4 y 6

$$N_2=m_2g\sin\theta \dfrac{\mu_3}{(\mu_3+1)\mu_2}$$

de la 3

$$N_3=\dfrac{m_1g\sin\theta}{\mu_3-1}$$

esto ya da idea que $\mu_3$ debe ser mayor a 1

de la 6 tambien

$$N_3=\dfrac{m_2g\sin\theta}{\mu_3+1}$$

si se reemplaza lo extraído en 7 y 9 en la ec 2

se llega

$$-\tan\theta=\dfrac{\mu_1(\mu_3-1)}{\mu_3(\mu_1-1)}$$

y de la 8 y la 10 reemplazadas en 5

$$\tan\theta=\dfrac{\mu_2(\mu_3+1)}{\mu_3(\mu_2+1)}$$

como $\theta<90\°$tenemos $\tan \theta>0$

de donde $\mu_1<1 \cup \mu_3>1$ o $\mu_1>1 \cup \mu_3<1$

si se igualan 11 y 12 resulta que

$\mu_3=\dfrac{\mu_1+\mu_2}{\mu_2-\mu_1+2\mu_1\mu_2}$

si $\mu_1\to0 \Rightarrow \mu_2\to\mu_3>1$

y$\mu_2\to0 \Rightarrow \mu_1\to-\mu_3$ imposible el equilibrio

y si $\mu_1=\mu_2 \Rightarrow \mu_1=\mu_2=\dfrac{1}{\mu_3}$

lo que indica que si los coeficientes son iguales y pequeños el rozamiento entre las piezas debe hacerse grande para que no roten y que si los rozamientos son grandes contra el plano no es necesario un rozamiento grande entre las masas, aún así la condición $m_2>m_1$ es necesaria para que $N_3$ resulte $>0$ y ocurra un equilibrio estático.

[javisot20]

Vale entiendo, es lógico, gracias Richard.

[javisot20]

Ojo, giraran al mismo ritmo si supones rodadura es decir que no se supera el rozamiento estatico de ninguna de las dos , puede ocurrir que si las masas son desiguales una deslice y la otra rote.

Suponiendo que existe coeficiente de rozamiento entre circunferencias implica que ambas circunferencias contactan y además descenderán al mismo ritmo ya sea girando o deslizando, o volcando ¿no?. Si descienden a distinto ritmo necesariamente se separarán.


Caso 1- La primera circunferencia se desliza mientras que la segunda circunferencia gira rozándose con la primera, descendiendo las dos al mismo ritmo. En este caso necesitaríamos que el deslizamiento de la primera circunferencia sea nulo o que el giro de la segunda circunferencia sea nulo.

Caso 2- Ambas circunferencias giran, la primera girará a cierto ritmo y la segunda girará rozándose con la primera, descendiendo las dos al mismo ritmo. En este caso necesitaríamos que el giro de cualquiera de las dos circunferencias sea nulo.

Caso 3- La primera circunferencia gira mientras que la segunda se desliza, descendiendo las dos al mismo ritmo. En este caso necesitaríamos que el giro de la primera circunferencia sea nulo o que el deslizamiento de la segundo circunferencia sea nulo.



Para el equilibrio estático tiene que cumplirse que tanto el giro como el deslizamiento de las circunferencias aisladas y en conjunto sean nulos, claro.

[Testy]

Hola. Al final faltaban detalles en el enunciado, resulta que era un ejercicio teórico sin más. La forma de resolverlo es considerar todos los casos. Si consideramos una esfera solo, obviamente rodará hacia abajo. Consideremos dos esferas, pero siendo la inferior mucho más pesada que la que se encuentra más arriba en el plano inclinado. Entonces la de arriba nunca podrá frenar a la de abajo, y se romperá el equilibrio. Así, el único caso posible es que m1 < m2