Otras carreras Duda problema sobre movimiento relativo

[mateofisico]

Tengo una duda en el siguiente problema:

El agua de un río se mueve uniformemente a una rapidez constante de 2.50 m/s entre las orillas paralelas
separadas por 80.0 m. Un observador ha de entregar un paquete directamente al otro lado del río, pero puede
nadar a sólo 1.50 m/s. a) Si escoge minimizar el tiempo que pasa en el agua, ¿en qué dirección debe
dirigirse? b) ¿A qué distancia aguas abajo será llevado por la corriente? c) ¿Qué pasaría si? Si la persona
escoge minimizar la distancia que el río lo llevará aguas abajo, ¿en qué dirección debe ir? d) ¿Qué distancia
aguas abajo será llevado por la corriente del agua? Sol: a) debe dirigirse directamente hacia la otra orilla
perpendicularmente a la corriente, b) 133 m, c) 53.1º con la orilla y en contra de la corriente, d) 107 m.

He conseguido los apartados a y b, es fácil, pero el c, no sé por donde empezar; sé que la derivada de la posición con respecto del ángulo con el que se tiene que orientar el nadador debe ser nula pero no consigo obtener ese vector posición, he planteado el esquema de velocidades, pero no sé como trasladarlo a posición, debe ser un sumatorio luego derivar e igualar a 0, pero no sé como hacerlo.

Espero que me podáis echar una mano porque llevo mucho comiendo la cabeza. Gracias de antemano

[pod]

Parece que el planteamiento general es bueno.

Sea $v_N$ la velocidad de nado y $v_A$ la velocidad del agua. Uso los ejes OX para la dirección de orilla a orilla y OY para la dirección de la corriente (el agua va en la dirección postivia). Entonces, la velocidad del sujeto será:

$$\begin{aligned}<br /> v_x & = v_N \sin\alpha \, \\<br /> v_y & = v_A - V_N \sin\alpha \ .<br /> \end{aligned}$$

Donde $\alpha$ es el angulo respecto las orillas. De ahí, la ecuación del movimiento es sencilla, basta con multiplicar por el tiempo para obtener la coordenada en cada dirección (suponiendo que sale del origen). Por lo tanto, el tiempo que tarda en cruzar será igual al ancho del rio, $\ell$, dividido por $v_x$,

$$t = \dfrac{\ell}{v_N \sin\alpha} \ .$$

Fíjate que haciendo $\frac{\dd t}{\dd \alpha} = 0$ obtienes el resultado de (a), aunque también lo puedes sacar mediante un sencillo razonamiento sin ecuaciones (básicamente, maximizar $v_x$).

La distancia que se le lleva rio abajo será:

$$d = v_y t = \dfrac{\ell \big( v_A - v_N \cos \alpha \big)}{\sin\alpha} .$$

Esta es la función a optimizar.


Postdata: Este ejercicio tiene una divertida variante... ¿Qué pasaría si $v_N > v_A$?

[delmar7]

Hola mateofisico

Bienvenido al foro

Veo la resolución de pod bastante acertada; pero hay algunas observaciones y por ello complemento; en el primer par de ecuaciones componentes de la velocidad del nadador respecto a tierra se tiene :

$v_x=v_n sen \alpha$

$v_y=v_A+v_n cos \alpha$

Esto se desprende de la fórmula general :

$V_{n/T}-V_{A/T}=V_{N/A} \rightarrow V_{n/T}=V_{A/T}+V_{N/A}$ donde $0<\alpha< \pi$ obviamente para todos esos ángulos el nadador irá aguas abajo por ser su velocidad menor que la del agua, la función a minimizar será :

$d=\frac{80(2.5+1.5 cos \alpha)}{sen \alpha}$ donde d>0, siempre

La rpta es $\alpha=180-53.1$ que equivale a 53.1º con la orilla contra corriente.


Saludos

[mateofisico]

Muchas gracias, ahora lo he entendido.