Caida libre con aceleracion variable

[rober___26]

He buscado un poco por el foro y no he encontrado la respuesta mi pregunta, por lo que la hago aqui.
Como la aceleracion de la gravedad depende de la cercania de la masa al planeta que la ejerce. ¿Cual seria la expresion que tuviera en cuenta el aumento de la gravedad a medida que el cuerpo se va acercando al planeta?
En una web he podido ver que lo deducen teniendo en cuenta un punto muy alejado del planeta, a partir de la conservacion de energia, la velocidad es

$v= \sqrt{\frac{2GM}{r} \cdot \frac{r - x}{r}} \, \mathrm{}$

Donde r es la distancia inicial de la masa respecto al centro del planeta y x el punto hasta el que cae la masa (la superficie del planeta).
Luego integraba para hallar el tiempo de caida;
$t=\int\limits^{x}_{r} \frac{1}{v} \, \mathrm{d}r$
Y llegaba a la expresion para el tiempo;

$t=\sqrt{\frac{r^{3}}{2GM}} \left(\sqrt{\frac{x}{r} - \left(\frac{x}{r}\right)^{2}} + \arccos\left(\sqrt{\frac{x}{r}}\right)\right) \, \mathrm{}$

Sin embargo no se calculaban mas cosas, por lo que me gustaria saber si hay una expresion para la aceleracion que tenga en cuenta el aumento por aproximacion al planeta, y si existe saber como hallarla. Muchas gracias de antemano.

[Richard R Richard]

Hola simplemente la aceleración depende de la altura y no del tiempo de caída.

$g=\dfrac{GM}{(R+h)^2}$

$h$ es la altura sobre la superficie terrestre de radio $R$ expresado en el sistema de unidades metricas que prefieras.

Las fórmulas que pones no las revisé exhaustivamente pero la he visto muy similares en varios hilos del foro, así que muy probablemente este correcta, porque el tiempo de caída y la trayectora depe den de la altura y velocidad en el instante inicial, dado que las fórmulas se hacen un tanto complejas, se los llama problemas de valor inicial y normalmente requiere la resolución de ecuaciones diferenciales e integración. A veces no hay fórmula y solo solución numérica.

[Alriga]

...Donde r es la distancia inicial de la masa respecto al centro del planeta y x el punto hasta el que cae la masa (la superficie del planeta).

Y llegaba a la expresion para el tiempo;

$\dst t=\sqrt{\frac{r^{3}}{2GM}} \left(\sqrt{\frac{x}{r} - \left(\frac{x}{r}\right)^{2}} + \arccos\left(\sqrt{\frac{x}{r}}\right)\right) \, \mathrm{}$

Si x es la distancia del cuerpo al centro del planeta de radio R, entonces tu expresión del tiempo es correcta para $R \leq x \leq r$

Donde r es la distancia inicial de la masa respecto al centro del planeta y x el punto hasta el que cae la masa (la superficie del planeta).

$v \neq \sqrt{\dfrac{2GM}{r} \cdot \dfrac{r - x}{r}} \, \mathrm{}$

Si x es la distancia del cuerpo al centro del planeta de radio R entonces creo que no es correcta, repásala, creo que lo correcto para $R \leq x \leq r$ es:

$v= \sqrt{\dfrac{2GM}{r} \cdot \dfrac{r - x}{x}}$

Del mismo modo que no hay expresiones algebraicas cerradas de la posición $x(t)$ y de la velocidad $v(t)$ en función del tiempo, tampoco la hay para la aceleración $a(t)$

Tenemos expresiones cerradas de la velocidad en función de la posición $v(x)$ y del tiempo en función de la posición $t(x)$ Y también tenemos la aceleración en función de la posición $a(x)$

$a=\dfrac{ G \ M}{x^2}$

Puedes ver las demostraciones en los hilos:

Ecuaciones de movimiento rectilíneo bajo la acción de un campo gravitatorio

Mira también: Gráfico posición - tiempo y velocidad - tiempo de un electrón atraído por un protón

Otro hilo relacionado: Calculo de la altura máxima en tiro balístico con g variable

Saludos.