Dinamica de rotacion

[Breogan]

Re: Dinamica de rotacion

Hola:

Breogan, de acuerdo con tus ecuaciones, aunque tengamos que admitir que se trata de una solución particular, adecuando las condiciones iniciales para la condición β=Cte. . En general β será variable.
Saludos

Gracias por tu comentario felmon38, pero lo que mencionas ya estaba mencionado en mensajes anteriores y teniendo en cuenta un comentario de Richard tome la decisión de solucionar el problema postulando la existencia de un $\beta$ máximo de equilibrio; dejando para otros mensajes una solución mas amplia de la dinámica del problema.

Estimado Richard leí tus comentarios, pero prefiero responderlos puntualmente después de haber resuelto el problema y así tener una mejor idea de la situación Física y su resultado.
Igual te adelanto que $F_r$ nunca puede ser mayor que $P_1 + T cos \beta$, si por algún acaso diera mayor quiere decir que a partir de cierto punto se empezó a producir resbalamiento y las ecuaciones planteadas ya no son correctas a partir de dicho punto ($F_r = \mu_c \ R_A$ constante con usualmente $\mu_c \ < \ \mu_e$).

Transcribo las ecuaciones halladas en mi ultimo mensaje:

1 _ $\dst F_r - T sen \beta = M \ a_{x_{CGM}}$

2 _ $\dst R_A - P_1 - T cos \beta = 0$

3 _ $\dst \cancel{F_r \ r_1 - T \ r_2= I \alpha}$

3 _ $\dst T \ r_2 - F_r \ r_1= I \alpha$

4 _ $\dst T sen \beta = m \ a_{x_m}$

5 _ $\dst T cos \beta - P_2 = m \ a_{y_m}$
[FONT=Verdana]
[/FONT]6 _ $\dst a_{x_{CGM}} = r_1 \ \alpha$[FONT=Verdana]
[/FONT]
7 _ $\dst a_{x_m} = (r_1 - r_2 \ sen \beta) \ \alpha$

8 _ $\dst a_{y_m} = - r_2 \ cos \beta \ \alpha$

Reemplazamos las ecuaciones (6), (7), y (8), en las ecuaciones (1), (4), y (5) respectivamente y dejando temporalmente de lado (2):

1 _ $\dst F_r - T sen \beta = M \ r_1 \ \alpha$

3 _ $\dst \cancel{F_r \ r_1 - T \ r_2 = I \alpha}$

3 _ $\dst T \ r_2 - F_r \ r_1 = I \alpha$

4 _ $\dst T sen \beta = m \ (r_1 - r_2 \ sen \beta) \ \alpha$

5 _ $\dst \cancel{T cos \beta - P_2 = m \ r_2 \ cos \beta \ \alpha}$

5 _ $\dst T cos \beta - P_2 = - m \ r_2 \ cos \beta \ \alpha$

Despejamos Fr en la (3) y reemplazamos en la (1):

1 _ $\dst \frac{ T \ r_2 - I \alpha}{r_1} - T sen \beta= M \ r_1 \ \alpha$

En la (4) y la (5) despejamos las funciones trigonometricas:

$\dst T sen \beta = m \ r_1 \ \alpha - m \ r_2 \ sen \beta \ \alpha$

$\dst (T +m \ r_2 \ \alpha) \ sen \beta= m \ r_1 \ \alpha$

4 _ $\dst sen \beta= \frac{m \ r_1 \ \alpha}{T +m \ r_2 \ \alpha}$


$\dst \cancel{T cos \beta - m \ r_2 \ cos \beta \ \alpha = P_2}$

$\dst \cancel{(T - m \ r_2 \ \alpha) \ cos \beta = P_2}$

5 _ $\dst \cancel{cos \beta = \frac{P_2}{T - m \ r_2 \ \alpha}}$

$\dst T cos \beta + m \ r_2 \ cos \beta \ \alpha = P_2$

$\dst (T + m \ r_2 \ \alpha) \ cos \beta = P_2$

5 _ $\dst cos \beta = \frac{P_2}{T + m \ r_2 \ \alpha}$

Reemplazando el seno de beta de la (4) en la (1), y sumando los cuadrados de la (4) y la (5) queda

1 _ $\dst \cancel{\frac{I \alpha + T \ r_2}{r_1} - T \ \frac{m \ r_1 \ \alpha}{T +m \ r_2 \ \alpha}= M \ r_1 \ \alpha}$

1 _ $\dst \frac{T \ r_2 - I \alpha}{r_1} - T \ \frac{m \ r_1 \ \alpha}{T +m \ r_2 \ \alpha}= M \ r_1 \ \alpha$

$\dst \cancel{\left( \frac{m \ r_1 \ \alpha}{T +m \ r_2 \ \alpha} \right)^2 + \left( \frac{P_2}{T - m \ r_2 \ \alpha} \right)^2 =1}$

$\dst \left( \frac{m \ r_1 \ \alpha}{T +m \ r_2 \ \alpha} \right)^2 + \left( \frac{P_2}{T + m \ r_2 \ \alpha} \right)^2 =1$

Dejo para que revisen lo hasta aquí echo, y si esta bien y si alguno encuentra la solución a este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas le quedaría infinitamente agradecido, aunque me parece que se complica un poco para ser un problema de secundaria.

Aprovechando el mensaje de felmon38 les dejo un dibujo que estaba preparando para el caso de beta variable:

Gracias.

s.e.u.o.

Suerte !

PD: edite el mensaje porque me había equivocado en un signo cuando reemplace la aceleración lineal de m en el eje y en la formula 5.

Gracias

[felmon38]

Re: Dinamica de rotacion

Breogan, rerevisando creo que falta un signo menos en la ecuación 6.
Saludos

P.D. No creo que se puedan resolver las ecuaciones algebraícamente. Resolviéndolas numéricamente (cambiando algunos signos) me ha salido:


α=5.846 rd/s², T=140.4 N, β=0.148 rd, Fr=93.7N, Nnor.μ=125.87N


y rueda, ya que la fuerza de rozamiento es inferior a Nnor.μ

[Richard R Richard]

Re: Dinamica de rotacion

He intentado despejar ambas incógnitas, la tensión T sale fácil en función de $\alpha$ ,
pero $\alpha$ en función de datos del enunciado es sumamente laboriosa algebraicamente. Un choclo de dos carillas, que se resuelve mediante un polinomio de grado 4....

la conclusión a la que llego es que ambas incógnitas quedan definidas perfectamente, en función de datos del enunciado constantes. Por lo tanto $T$ como $\alpha$ son constantes y con estos valores se ve que lo será también $\beta$

Como la aceleración en el eje x puede tomar un rango de valores, hasta alcanzar al la aceleración máxima hasta resbalar sobre el plano, dependiendo de los datos del enunciado, $\beta$tomara distintos valores pero a la vez es unico para cada aceleración.

[Breogan]

Re: Dinamica de rotacion

Hola:

Breogan, rerevisando creo que falta un signo menos en la ecuación 6.

Me olvide de aclarar que tome el sentido horario como sentido positivo de crecimiento de los ángulos, así que no hace falta el signo negativo en $\alpha$.

Al revisar me di cuenta que cometí un error en un signo en la formula 5 del ultimo mensaje y otro error en un signo de la formula 3 en un mensaje anterior (use la convención contraria para los momentos que para el angulo), los cuales ya fueron corregidos en dichos mensajes, y las formulas quedaron:

1 _ $\dst \frac{T \ r_2 - I \alpha}{r_1} - T \ \frac{m \ r_1 \ \alpha}{T +m \ r_2 \ \alpha}= M \ r_1 \ \alpha$

2 _ $\dst \left( \frac{m \ r_1 \ \alpha}{T +m \ r_2 \ \alpha} \right)^2 + \left( \frac{P_2}{T + m \ r_2 \ \alpha} \right)^2 =1$

Reordenando (2):

$\dst \left( m \ r_1 \ \alpha \right)^2 + \left( P_2 \right)^2 =(T +m \ r_2 \ \alpha)^2$

Ahora trabajamos con la (1):

$\dst \frac{(T \ r_2 - I \alpha)(T +m \ r_2 \ \alpha) - T \ r_1 \ m \ r_1 \ \alpha}{(T +m \ r_2 \ \alpha) \ r_1}= M \ r_1 \ \alpha$

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

[Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida]

Reordenando:

$\dst T^2 \ r_2 + [- I + r_2^2 \ m - r_1^2 \ m - M \ r_1^2] \ T \alpha - M \ r_1^2 \ \alpha^2 \ m \ r_2 \ - I \alpha^2 \ m \ r_2 = 0$

Teniendo en cuenta que $\dst I=r_g^2 M$ queda:

$\dst T^2 \ r_2 + [- r_g^2 M + r_2^2 \ m - r_1^2 \ m - M \ r_1^2] \ T \alpha - M \ r_1^2 \ \alpha^2 \ m \ r_2 \ - r_g^2 M \alpha^2 \ m \ r_2 = 0$

$\dst T^2 \ r_2 + [(r_2^2 - r_1^2) \ m - (r_g^2 + \ r_1^2) M] \ T \alpha - (r_1^2 + r_g^2 ) M \alpha^2 \ m \ r_2 = 0$

Reemplazando valores se tienen las siguientes ecuaciones:

$\dst 0,5 \ T^2 - 7,375 \ \alpha \ T - 55,625 \ \alpha^2 = 0$

$\dst 25 \ \alpha^2 + 40000 - (T + 10 \ \alpha)^2 = 0$

Este sistema lo resolví con Wolfram y tiene dos soluciones reales y dos soluciones imaginarias. De las dos soluciones reales solo una es congruente con la Fisica del problema y es:

$\dst \alpha = 6,70489 \ s^{-2}$

$\dst T = 135,741 \ N$

No se si realmente esta bien o me equivoque en alguna operación, realmente resulto bastante laborioso.

s.e.u.o.

Suerte !

PD: les dejo el link de Wolfram

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+%7B0.5+y%5E2+-+7.375+x+y%2B+(+-+55.625+x%5E2+)%3D+0+,+25+x%5E2+%2B+40000+-+
(y+%2B+10+x+)%5E2+%3D+0%7D

Gracias

[felmon38]

Re: Dinamica de rotacion

Hola Breogan: Afinando más en la solución numérica que daba en mi post #17, he llegado a un valor de α=5.831 rd/s². Esto significa un error del 14% respecto de tu solución, pero no estoy nada seguro de que no me haya equivocado operando.
Saludos

[Breogan]

Re: Dinamica de rotacion

Hola:

Disculpa la demora felmon38, las diferencias numéricas que tenemos en realidad no me desvelan (yo tome g = 10 m/s^2), mi intención era solo llegar al sistema de ecuaciones que describieran el problema, y visto lo engorroso de encontrar una solución simbólica esta parte la dejo acá.

Para terminar solo me gustaría desarrollar el mismo sistema de ecuaciones para el caso del angulo de la cuerda variable.

Tomamos el semieje positivo "y" hacia arriba, y el semieje positivo de las "x" hacia la derecha.
Las coordenadas del extremo de la cuerda tienen las coordenadas x e y, y los delta x e y son los incrementos de dichas coordenadas en un tiempo delta t.

Coordenada x e y en el instante t:

$\dst x(t) = - L \ sen \beta$

$\dst y(t) = - L \ cos \beta$

Coordenada x e y en el instante $t+\Delta t$:

$\dst x(t+\Delta t)= \Delta \theta \ r_1-(L+\Delta L + \Delta \beta \ r_2) \ sen(\beta+\Delta \beta)$

$\dst y(t+\Delta t)=-(L+\Delta L + \Delta \beta \ r_2) \ cos(\beta+\Delta \beta)$

Esto considerando que $\Delta \beta$ es lo suficientemente chico como para igualar aproximadamente el arco y su cuerda y que ademas dicha cuerda tiene el mismo angulo que la cuerda del que pende la masa m. El termino $\Delta \theta \ r_1$ representa el desplazamiento del CG de la masa M en el eje x, no lo dibuje porque se complicaba el dibujo.

El incremento del largo de la cuerda $\Delta L$ es igual a la diferencia entre lo que se desenrolla la cuerda por la rotación de la masa M, y el arco que adelanta el punto de tangencia de dicha cuerda.

$\dst \Delta L = (\Delta \theta - \Delta \beta) \ r_2$

Reemplazamos lo anterior:

$\dst x(t+\Delta t)= \Delta \theta \ r_1 -(L+\Delta \theta \ r_2 ) \ sen(\beta+\Delta \beta)$

$\dst y(t+\Delta t)=-(L+\Delta \theta \ r_2 ) \ cos(\beta+\Delta \beta)$

Identidades trigonométricas:

$\dst sen(\beta+\Delta \beta) =sen \beta \ cos \Delta \beta + cos \beta \ sen \Delta \beta$

$\dst cos(\beta+\Delta \beta) = cos \beta \ cos \Delta \beta - sen \beta \ sen \Delta \beta$

Considerando que $\dst \Delta \beta \to 0$ las anteriores quedan:

$\dst sen(\beta+\Delta \beta) =sen \beta + cos \beta \ \Delta \beta$

$\dst cos(\beta+\Delta \beta) = cos \beta - sen \beta \ \Delta \beta$

Reemplazando en el valor de las coordenadas:

$\dst x(t+\Delta t)= \Delta \theta \ r_1 -(L+\Delta \theta \ r_2 ) \ (sen \beta + cos \beta \ \Delta \beta)$

$\dst y(t+\Delta t)=-(L+\Delta \theta \ r_2 ) \ (cos \beta - sen \beta \ \Delta \beta)$

Operando:

$\dst x(t+\Delta t)= \Delta \theta \ r_1 -L\ sen \beta-\Delta \theta \ r_2 \ sen \beta - L \ cos \beta \ \Delta \beta-\Delta \theta \ r_2 \ cos \beta \ \Delta \beta$

$\dst y(t+\Delta t)=- L \ cos \beta - \Delta \theta \ r_2 \ cos \beta + L \ sen \beta \ \Delta \beta +\Delta \theta \ r_2 \ sen \beta \ \Delta \beta$

Y calculamos los incrementos de las coordenadas:

$\dst \Delta x =x(t+\Delta t) - x(t) = \Delta \theta \ r_1 -\Delta \theta \ r_2 \ sen \beta - L \ cos \beta \ \Delta \beta-\Delta \theta \ r_2 \ cos \beta \ \Delta \beta$

$\dst \Delta y =y(t+\Delta t) - y(t) =- \Delta \theta \ r_2 \ cos \beta + L \ sen \beta \ \Delta \beta +\Delta \theta \ r_2 \ sen \beta \ \Delta \beta$

Dividiendo los incrementos por delta t y tomando el limite cuando este tiende a cero tenemos las velocidades de la punta de la cuerda:

$\dst x'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta x(t)}{\Delta t} = \omega \ r_1 -\omega \ r_2 \ sen \beta - L \ cos \beta \ \beta'$

$\dst y'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac {\Delta y(t)}{\Delta t} = - \omega \ r_2 \ cos \beta + L \ sen \beta \ \beta'$

y derivando estas se obtienen las aceleraciones correspondientes:

$\dst x''(t) = \alpha \ r_1 -\alpha \ r_2 \ sen \beta -\omega \ r_2 \ cos \beta \ \beta' + L \ sen \beta \ \beta'^2 - L \ cos \beta \ \beta''$

$\dst y''(t) = - \alpha \ r_2 \ cos \beta + \omega \ r_2 \ sen \beta \ \beta' + L \ sen \beta \ \beta' + L \ sen \beta \ \beta'$

y las ecuaciones del movimiento quedan:

1 _ $\dst F_r - T sen \beta = M \ a_{x_{CGM}}$

2 _ $\dst R_A - P_1 - T cos \beta = 0$

3 _ $\dst T \ r_2 - F_r \ r_1= I \alpha$

4 _ $\dst T sen \beta = m \ a_{x_m}$

5 _ $\dst T cos \beta - P_2 = m \ a_{y_m}$

6 _ $\dst a_{x_{CGM}} = r_1 \ \alpha$

7 _ $\dst a_{xm} = \alpha \ r_1 -\alpha \ r_2 \ sen \beta -\omega \ r_2 \ cos \beta \ \beta' + L \ sen \beta \ \beta'^2 - L \ cos \beta \ \beta''$

8 _ $\dst a_{ym} = - \alpha \ r_2 \ cos \beta + \omega \ r_2 \ sen \beta \ \beta' + L \ sen \beta \ \beta' + L \ sen \beta \ \beta'$

[FONT=Verdana]Si no me equivoque hasta acá, termino mi participación en el hilo, la solución de este sistema de ecuaciones esta fuera de mi alcance.[/FONT]

[FONT=Verdana]s.e.u.o.[/FONT]

[FONT=Verdana]Suerte ![/FONT]