Divulgación Fuerza gravitatoria de una semicircunferencia sobre un punto situado en su centro

[inakigarber]

Buenas tardes,
Estoy tratando de resolver este problema, pero no me coincide el resultado. Supongo que estaré equivocado, pero no se donde;
El enunciado es el siguiente;
Una varilla de masa uniforme M=20 Kg y longitud L=5 m, se dobla en forma de semicircunferencia. ¿Cual es la fuerza gravitatoria ejercida por la varilla sobre una masa puntual m=0.1 Kg situada en el centro del arco?
(Solución 33,5 pN)

Yo sigo el razonamiento siguiente;
1) Dado que el sistema es simétrico respecto al al eje x, la fuerza gravitatoria respecto al eje y será cero.
2) Radio de una semicircunferencia de 5 metros;
$R_a=5/\pi=1.5915 m$ (todos los puntos de la semicircunferencia distarán esta distancia respecto al centro)
3) Densidad de la varilla $\lambda=\dfrac{20}{5}=4$
4) Masa de un elemento $dm=4 dl$
5) componente sobre el eje x de la fuerza gravitacional sobre el elemento central;
$df_x=\dfrac{G\cdot 0.1 \cdot 4 \cdot dl}{(5/\pi)^2}\cdot cos\theta$
Siendo un elemento diferencial establezco $dl\approx sen \theta$
Establezco que la fuerza central sera la integral definida entre $\theta=\pi/2\ y\ \theta=-\pi/2$
De manera que me sale;
$f_x=\int_{\theta=-\pi/2}^{\theta=\pi/2} \dfrac{0.4G\pi^2}{25}sen\theta cos\theta d\theta$
Integrando y sustituyendo valores, me sale;
$f_x=5.26728\cdot 10^{-12}$
Resultado que no coincide con el del libro.
¿Cómo lo veis?
Saludos y gracias.

[Al2000]

Re: Fuerza gravitatoria de una semicircunferencia sobre un punto situado en su centro

Deberías hacer los desarrollos con letras... al sustituir valores numéricos (y encima no poner las unidades) oscureces las relaciones y haces mas difícil el seguimiento y búsqueda del error.

No puedes poner que $dl \approx \, \mathrm {sen} \, \theta$. La verdad no quiero ni saber de donde sacaste eso... Lo correcto es $dl = R\, d \theta$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

[inakigarber]

Re: Fuerza gravitatoria de una semicircunferencia sobre un punto situado en su centro

Deberías hacer los desarrollos con letras... al sustituir valores numéricos (y encima no poner las unidades) oscureces las relaciones y haces mas difícil el seguimiento y búsqueda del error.

No puedes poner que $dl \approx \, \mathrm {sen} \, \theta$. La verdad no quiero ni saber de donde sacaste eso... Lo correcto es $dl = R\, d \theta$.

Saludos,

$\mathcal A \ell$

Gracias por tu respuesta.
Tendré en cuenta tu consejo.
Habia pensado que para un ángulo muy pequeño [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] , se daría la aproximación [Error LaTeX: Compilación LaTeX fallida] . Probablemente sea ese mi error. Repetiré los cálculos.

Saludos.

[Alriga]

Re: Fuerza gravitatoria de una semicircunferencia sobre un punto situado en su centro

Ley de la Gravitación de Newton:

$df_x=G \ \dfrac{m \ dM}{R^2} \cos \theta$

Donde:

$\lambda=\dfrac{20}5=4 \ kg/m$

$R=\dfrac 5 {\pi} \ m$

$m=0.1 \ kg$

$G=\notcien{6.6741}{-11} \ (S.I.)$

El diferencial de masa:

$dM=\lambda dl$

$d\theta=\dfrac{dl}R$

$dl=R \ d\theta$

$dM=\lambda \ R \ d\theta$

Sustituyendo:

$df_x=G \ \dfrac{m \ \lambda \ R \ d\theta}{R^2} \cos \theta=G \ \dfrac{m \ \lambda}R \cos \theta \ d\theta$

Integrando

$\dst F_x=\int_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}G \ \dfrac{m \ \lambda}R \cos \theta \ d\theta$

$F_x=G \ \dfrac{m \ \lambda}R \Big [\sin \theta \Big ]_{-\frac{\pi}2}^{\frac{\pi}2}=2 \ G \ \dfrac{m \ \lambda}R$

$F_x=2 \cdot \notcien{6.6741}{-11} \ \dfrac{0.1 \cdot 4}{\dfrac 5 {\pi}}=\notcien{33.5}{-12} \ N=33.5 \ pN$

Saludos.

[inakigarber]

Re: Fuerza gravitatoria de una semicircunferencia sobre un punto situado en su centro

Gracias por vuestras respuestas.

Supongo que un día podré recopilar los post que he ido escribiendo en en este foro y hacer un recopilatório, tal como una "ANTOLOGÍA DE LOS HORRORES", porque voy dejando una buena muestra de ellos . Una vez aplicado $dl\approx R d\theta$ sale bien, aunque cuando he escrito el anterior post no he tenido tiempo de ponerme a hacerlo.

Quise hacer una aproximación que relacionara la longitud l y el ángulo $\theta$ para tener una única variable respecto a la cual poder integrar, pero me equivoque en el modo. Supongo que hacer aproximaciones acertadas es un arte que aún está fuera de mi alcance. ¿Hay alguna técnica válida en ese arte?

Me apunto uno más a la antología (a ver si en un futuro puedo pensar en otro tipo de antologia..)

Saludos y gracias.