Divulgación Problema de lanzamiento de dos satélites en diferentes órbitas

[inakigarber]

Buenas noches,
planteo este problema cuya solución no me cuadra.

Alrededor de la tierra, a unos 1000Km de altura sobre la superficie de terrestre hay muchos satélites en órbita. Los satélites geosincronos están en órbita a una distancia de $4,22*10^7$ m del centro de la tierra. ¿Cuanta energía adicional se requiere para lanzar un satélite de 500 Kg a una órbita geosíncrona en vez de una órbita de 1000 Km por encima de la supreficie terrestre?

Bien, el planteamiento que hago es el siguiente;
a) Energía potencial necesaria para elevar el satélite a órbira geoestacionaria;

$$E_p=GmM_t\left(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{R_g}\right)$$

b) Energía cinética necesaria para mantener el satélite en órbita;
cálculo de la velocidad;

$$\dfrac{GmM_t}{R_g^2}=\dfrac{mV_g^2}{Rg}$$

De lo cual obtengo;

$$V_g^2=\dfrac{GM_t}{R_g}$$

,

$$E_c=\dfrac{GmM_t}{2R_g}$$

,

$$=GmM_t\left(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{R_g}\right)+\dfrac{GmM_t}{2R_g}$$

Simplificando me sale;

$$E_g=GmM_t\left(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{2R_g}\right)$$

Sustituyendo para una órbita $R_{1000}$, obtengo;

$$E_{1000}=GmM_t\left(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{2R_{1000}}\right)$$

La diferencia de energías $\Delta_E$ me sale;

$$\Delta_E=\dfrac{GmM_t}{2}\left(1/R_{1000}-1/R_g \right )$$

Sustituyendo valores me sale;$\Delta_E=2.2179*10^{10} Julios$,
El solucionario sale $11,1 GJulios$, supongo que he debido equivocarme en algún paso.

[arivasm]

Re: Problema de lanzamiento de dos satélites en diferentes órbitas

No aprecio ningún error en las expresiones que has escrito. Por otra parte, está claro que la energía adicional es la misma que hace falta para pasar de la órbita baja a la alta. Como ambas son circulares sus energías son $\dst-\frac{1}{2}G\frac{Mm}{R_i}$, de donde resulta inmediatamente la expresión que has escrito. Permíteme que no revise las cifras. También es posible que esté mal la solución del libro.

[Richard R Richard]

Re: Problema de lanzamiento de dos satélites en diferentes órbitas

La solución al problema es obtener la diferencia de energias mecanicas de las 2 orbitas, el dato desde donde haya sido lanzado es irrelevante por ello...

$$E_p=GmM_t\left(\dfrac{1}{R_t}-\dfrac{1}{R_g}\right)$$

es la diferencia de energías potenciales entre la tierra y la órbita, en realidad tiene que ser solo

$E_{pg}=-GmM_t\left(\dfrac{1}{R_g}\right)$

lo que arrastra

$$Em_g=GmM_t\left(-\dfrac{1}{R_g}\right)+\dfrac{GmM_t}{2R_g}=-\dfrac{GmM_t}{2R_g}$$

Edito: que coincide con lo que dice arivasm

La orbita a 1000 km sobre la superficie

$Em_{1000}=GmM_t\left(-\dfrac{1}{R_T+1000000m}\right)+\dfrac{GmM_t}{2(R_T+1000000m)}$

luego la diferencia que es lo que pide el problema

$\Delta Em=Em_g-Em_{1000}=$$GmM\left[\dfrac{1}{R_T+1000000m}-\dfrac{1}{R_g}\right ]-\dfrac12 \left[\dfrac{1}{R_T+1000000m}-\dfrac{1}{R_g}\right ]$

$\Delta Em=GmM_t\dfrac12 \left[\dfrac{1}{R_T+1000000m}-\dfrac{1}{R_g}\right ]=\notcien {1.32}{10} J$

supongo que la diferencia obedece a los valores tomados para la masa de la tierra y la constante G

[Alriga]

Re: Problema de lanzamiento de dos satélites en diferentes órbitas

La manera rápida de verlo es como dice Arivasm, sabiendo que la energía mecánica específica total en una órbita cerrada, (circular o elíptica) es constante y vale siempre:

$\varepsilon=-\dfrac{G \ M}{ 2 \ a}$

Fórmula (6) de la demostración Cálculo de la velocidad en órbitas elípticas

En el caso de este ejercicio, la órbita es circular ($a = R$) y la energía mecánica total es:

$E=-\dfrac{G \ M \ m}{ 2 \ R}$

Por lo tanto, la diferencia de energía mecánica entre las órbitas $R_1$ y $R_2$ es:

$E_2-E_1=\dfrac{G \ M \ m}2\cdot \Big ( \dfrac 1{R_1}-\dfrac1{R_2}\Big )$

Que naturalmente es la misma expresión a la que habéis llegado, y que sustituyendo números da $13.26 \ GJ$ como bien ha calculado Richard.

Saludos.