Problema bonito de cinemática

[Metaleer]

Veamos, aquí va el enunciado:

En la parte más alta de una grande piedra en forma de esfera, hay un muchacho que lanza horizontalmente una pelota con una patada... determinar la velocidad inicial mínima que hay comunicar a la pelota para que no caiga sobre algún punto de la piedra sobre la que está de pie el muchacho.

[balik]

Re: Problema bonito de cinemática

Este es un problema de tiro de proyectiles .
Fijate que la trayectoria de la pelota sera una parabola ( si despreciamos la recistencia del aire y que el radio r de la esfera es pequeño en comparacion con el radio de al tierra ,de modo que podemos suponer la g constante ), y tiene que recorrer una distancia tanto en el eje vertical como en el horizontal mayor que r ( sieendo r el radio de la esfera ) para que no cohque con ningun punto de la esfera .
Teniendo estas cosas en mente podemos usar la ecuacion de la trayectoria =

Y= (tgø)x - gx²/2vi²cos²ø
como el tiro es horizontal ,el angulo de lanzamiento con la horizontal es cero , de modo que la ecuacion se no s reduce a
Y=- gx²/2vi²
Sabemos que el alcance debe ser mayor que r ,para que no choque con la esfera pero la tomaremos como r ( asi al final tendremos una desigualdad )
y y= -r ( recuerda que nuestro origen de coordenadas esta en la parte superior de la esfera .)

-r=- gr²/2vi²

r= gr²/2vi² y despejando tenemos =


vi=(gr/2)^½
pero este en realidad seria la v para que coche con la punta del del la esquina del medio , ( dibuja lo para que te des cuenta ) asi que decimos que la v minima sera =

vi>(gr/2)^½

[[Beto]]

Re: Problema bonito de cinemática

Lo primero que se me ocurre es lo siguiente:

Para que no toque a la piedra esférica la pelota tiene que desplazarse una distancia $R+x$ horizontalmente y $R$ verticalmente, partiendo con una velocidad inicial $v_0$ horizontal que es lo que nos interesa calcular.

En el eje horizontal se tendrá que:

$t=\frac{R+x}{v_0}$ ........... (1)

En el eje vertical:

$t=\sqrt{\frac{2R}{g}}$ ........... (2)

De (1) y (2) se tobtiene que:

$v_0=\sqrt{\frac{g}{2R}}(R+x)$

En esta última ecuación se pude observar que la velocidad inicial $v_0$ es mínima si $x=0$, entonces:

$v_0(min)=\sqrt{\frac{gR}{2}}$

mmm ... creo que se me adelantaron en responder bueno de todos modos ojalá esto también sirva

Saludos.

[pod]

Re: Problema bonito de cinemática

Bueno aunque ya ha habido respuestas al tema, me permitiré poner mi método de solución

La trayectoria paramétrica es:

$x = v_0 t \ ,$
$y = R - \frac12 g t^2 \ .$

Podemos escribir la trayectoria simplemente resolviendo el sistema para eliminar el tiempo,

$y = R - \frac{g}{2 v_0^2} x^2 \ .$

Si la pelota choca contra la piedra, entonces las coordenadas (x, y) de la colisión cumplirán la ecuación de una circunferencia (que es la intersección de la superfície esférica con el plano del movimiento),

$x^2 + y^2 = R^2 \ .$

Substituyendo en la ecuación anterior,

$y = R - \frac{g}{2 v_0^2} \left( R^2 - y^2 \right) \ .$

Lo que tenemos es una ecuación de segundo grado que nos da la coordenada y de la posición donde la pelota colisionaría con la piedra, en función de la velocidad inicial. Naturalmente, y = R siempre es solución (el punto de partida), lo que nos permite simplificar la ecuación:

$y - R = - \frac{g}{2 v_0^2} (R-y)(R+y) \ ,$

con lo cual

$1 = \frac{g}{2 v_0^2} (R+y) \ ,$

lo que nos da

$y = \frac{2 v_0^2}{g} - R \ .$

Naturalmente, la ecuación de la circunferencia que hemos usado tan sólo es válida para $-R \le y \le R$. Lo cual, observando la forma de esta última ecuación, nos da la condición de que no se produzca el choque

$\frac{2 v_0^2}{g} - R > R \ ,$

lo que nos da

$v_0 > \sqrt{ R \, g } \ .$


Observamos que hay un factor 2 (en la raíz) que discrepa de los resultados anteriores. Lo que ocurre es que hay un error en el modelo que utilizamos; estamos suponiendo que la pelota es puntual (tamaño cero) y que se sitúa exactamente sobre la superficie de la piedra. Es decir, en virtud de nuestras fórmulas, ¡la pelota puede ir tanto por dentro como por fuera de la piedra!. Veamos el gráfico:



El rojo corresponde a la superfície de la piedra. La linea verde corresponde al lanzamiento con $v_0^2 = R g / 2$, el resultado de los mensajes anteriores. Como vemos, va por dentro de la piedra. La trayectoria azul, en cambio, es la calculada por mi. Como vemos, tan solo roza la superficie al principio.

[[Beto]]

Re: Problema bonito de cinemática

ups ... si me falto considerar eso .... ya se me hacia algo rara mi respuesta.

[balik]

Re: Problema bonito de cinemática

Hay algo de tu metodo que no entiendo Pod .De las ecuaciones parametricas de la trayectoria que escribiste Hay una que no comprendo :


y= R-1/2gt²
si tenia entendido que era =
y =vi(senø)t- 1/2gt²
y R no es igual a vi(senø)t
ademas de que al ser un tiro horizontal senø es cero .

Me puedes explicar esto?

[balik]

Re: Problema bonito de cinemática

ah , ya comprendo ,que estupides la mia , no tienes que explicarme nada Pod , ya me mate a mi mismo.

Por cierto muy interesante tus comcluciones he aprendido mucho.

[_FoX_]

Re: Problema bonito de cinemática

Hay algo de tu metodo que no entiendo Pod .De las ecuaciones parametricas de la trayectoria que escribiste Hay una que no comprendo :


y= R-1/2gt²
si tenia entendido que era =
y =vi(senø)t- 1/2gt²
y R no es igual a vi(senø)t
ademas de que al ser un tiro horizontal senø es cero .

Me puedes explicar esto?

$R$ es radio y a la vez la diagonal que se forma entre la variación de cada eje, por si estás confundido.

Naturalmente, la ecuación de la circunferencia que hemos usado tan sólo es válida para $-R \le y \le R$. Lo cual, observando la forma de esta última ecuación, nos da la condición de que no se produzca el choque

$\frac{2 v_0^2}{g} - R > R \ ,$

$\frac{2 v_0^2}{g} - R > R \ ,$ es decir:

$y > R \ ,$

¿Cómo es eso?

[pod]

Re: Problema bonito de cinemática

$\frac{2 v_0^2}{g} - R > R \ ,$ es decir:

$y > R \ ,$

¿Cómo es eso?

Si... La ecuación de la circunferencia es válida si $-R \le y \le R$. Si nos da un resultado en este rango, significa que si habrá colisión con la piedra. Por lo tanto tenemos que imponer $y < -R$ o $y > R$. Si te fijas en la fórmula de y, la primera no se puede dar nunca. Por eso imponemos la segunda.

[_FoX_]

Re: Problema bonito de cinemática

Otra cosa que no me cuadra, ¿Por qué la línea azul no cae en contacto con la circunferencia para:

$v_0 = \sqrt{Rg}$ ?

Se supone que esa velocidad es la máxima velocidad que hace contacto con la piedra.

Y otra duda respecto a lo anterior, ¿La altura inicial entonces es mayor que el radio, cierto?.

[pod]

Re: Problema bonito de cinemática

Otra cosa que no me cuadra, ¿Por qué la línea azul no cae en contacto con la circunferencia para:

$v_0 = \sqrt{Rg}$ ?

Entra en contacto justo en la cúspide, que es de donde sale.

Se supone que esa velocidad es la máxima velocidad que hace contacto con la piedra.

Y otra duda respecto a lo anterior, ¿La altura inicial entonces es mayor que el radio, cierto?.

No, igual al radio.

[_FoX_]

Re: Problema bonito de cinemática

Entra en contacto justo en la cúspide, que es de donde sale.

Ahh.. ya entiendo, en lo que nos basamos todos, que fue la primera respuesta, la pelota tocaría en más de un punto a la piedra al inicio si se tirara por fuera, por lo que debería tirarse por dentro de ella y sería en ese caso considerada como la velocidad máxima de la pelota (suponiendo una piedra totalmente hueca, para que no toque el borde), por otro lado la primera respuesta se basa en llegar al punto mínimo de contacto con la piedra, en ese caso habría que tirar la pelota con una altura inicial mayor que el radio con la velocidad que pod dice para que la pelota al caer, el fin de la parábola coincida con el punto de contacto con la piedra (si no se entendió, giren en 90 grados la imagen que subió pod en sentido anti-horario y supongan el punto de caída como el de lanzamiento).

[pod]

Re: Problema bonito de cinemática

Ahh.. ya entiendo, en lo que nos basamos todos, que fue la primera respuesta, la pelota tocaría en más de un punto a la piedra al inicio si se tirara por fuera, por lo que debería tirarse por dentro de ella y sería en ese caso considerada como la velocidad máxima de la pelota (suponiendo una piedra totalmente hueca, para que no toque el borde), por otro lado la primera respuesta se basa en llegar al punto mínimo de contacto con la piedra, en ese caso habría que tirar la pelota con una altura inicial mayor que el radio con la velocidad que pod dice para que la pelota al caer, el fin de la parábola coincida con el punto de contacto con la piedra (si no se entendió, giren en 90 grados la imagen que subió pod en sentido anti-horario y supongan el punto de caída como el de lanzamiento).

Eso refleja un fallo en nuestro formalismo; no estamos teniendo en cuenta que no se puede ir por dentro de la piedra Básicamente lo que demuestra el cálculo que hice es que cualquier velocidad inicial menor que $\sqrt{R \, g}$ causará que la pelota intente ir por dentro de la piedra, por lo que chocará con ella inmediatamente y bajará rodando.

[_FoX_]

Re: Problema bonito de cinemática

La parábola caería dentro de la circunferencia, para velocidades iguales o menores a $\sqrt{Rg}$ y superando esta velocidad la pelota no haría contacto en un segundo punto de la piedra.

EDITO:

Quiero agregar algo más, esa velocidad coincide con la velocidad crítica, que es la mínima velocidad que tiene que tener el borde del péndulo en el punto más alto para que al girar el péndulo en posición vertical, éste logre realizar una circunferencia.

[NuezMoscada]

Re: Problema bonito de cinemática

Sin que sirva de precedente, mañana estudiaré concienzudamente qué conduce a los foristas a comentar un problema tan simple como este, no como experimento físico sino psicológico.Ahora no puedo leer vuestras aportaciones, siéntolo: Humores vítreos alcohólicos me lo impiden.
Mañana trabajarçe en el análisis de una situación, que no de un problema que escapa a mis entendederas.
Viva la terremoto, que viva Alcorcón (manque me pese sea en Madris)
Libre y sin ofensa me siento si algún moderador cabal borra este mensaje.
Halavado sea el señor.
"Ha Panplona emos de hir"