Otras carreras Cubo que cae en un plano inclinado pero no consideramos g constante

[Pinucset]

Hola,

estoy intentando resolver el típico problema de calcular la velocidad con que un cubo llega al final de un plano inclinado pero quiero hacerlo sin considerar la fuerza de atracción debido a la tierra constante debido a la altura.

Por esto la fuerza que actua en el cubo (no hay rozamiento) es $F=G \frac{mM}{(r+h)^2}$.

siendo m la masa del cubo, M de la tierra, r el radio de la Tierra y h la altura del plano inclinado.

En el sentido del descenso pues $F=G \frac{mM}{(r+h)^2} \sin \alpha$

Con esto y la segunda ley de Newton obtengo que $a=\frac{GM \sin \alpha}{(r+h)^2}$ donde se ve claramente que al no ser h constante pues la aceleración tampoco lo es.

Lo que me intriga es que no sé como usar esto para calcular la velocidad final, es decir, entiendo que no es válida la ecuación de cinemática $v_f^2=v_i^2+2a(x_f-x_i)$ puesto que a no es constante, siendo así, como calcularíais la velocidad con la que el cubo llega al final del plano?

Un saludo y muchas gracias de antemano!

[Joey]

Re: Cubo que cae en un plano inclinado pero no consideramos g constante

Esa "fórmula" viene de integrar la aceleración supuesta constante. Lo que tienes que hacer es integrar la aceleración, pero según lo que valga con respecto al tiempo.

Aunque es más fácil hacerlo por conservación de energía.

[Pinucset]

Re: Cubo que cae en un plano inclinado pero no consideramos g constante

Hola Joey,

gracias por tu ayuda pero sigo encallado.

Llego a $dv=\frac{GM \sin \alpha}{(r+h)^2}dt$ pero para integrarlo debería relacionar la h con el tiempo, y no se me ocurre como...

[Joey]

Re: Cubo que cae en un plano inclinado pero no consideramos g constante

Hola Joey,

gracias por tu ayuda pero sigo encallado.

Llego a $dv=\frac{GM \sin \alpha}{(r+h)^2}dt$ pero para integrarlo debería relacionar la h con el tiempo, y no se me ocurre como...

Poniendo $h$ como $s\sin\alpha$.

Te queda $a=\frac{GM \sin \alpha}{(r+s \sin\alpha)^2}$

Donde $a$ es la derivada segunda de $s$ respecto del tiempo. De ahí no se seguir ya que no se nada sobre ecuaciones diferenciales.


Pero vamos, si lo que quieres es la velocidad cuando llega al final del plano hazlo por conservación de la energía y punto.

[Juanma1976]

Re: Cubo que cae en un plano inclinado pero no consideramos g constante

Hola Pinucset! Puedes hacerlo como bien dice Joey resolviendo la ecuación diferencia de orden dos:

$\frac{d^2h}{dt^2}=\frac{GM \sin \alpha}{(r+h)^2}$

Sinceramente, no se me ocurre ninguna manera de resolverla.

Pero por conservación de la energía parece que sale sencillo. De lo que recuerdo de física el teorema dice que $E=Ep+Ec$ es constante si el campo es conservativo (o algo así, y el campo gravitatorio lo es).

El potencial gravitatorio viene dado por $Ep=\frac{-GMm}{r+h}$

Entonces dado que la energía cinética es 0 al inicio, el teorema dice que

$Ecf+Epf=\frac{-GMm}{r+h}$ de donde $Ecf=GMm(\frac{1}{r}-\frac{1}{r+h})=\frac{GMmh}{r(r+h)}$

Dado que $Ecf=\frac{1}{2}mv^2$ tenemos que $v^2=\frac{2GMh}{r(r+h)}$, que nos da la componente vertical de la velocidad, la cual no depende de la inclinación del plano.

Claro, que lo que buscabas era la componente de la velocidad en la dirección del plano inclinado...

Hola,

estoy intentando resolver el típico problema de calcular la velocidad con que un cubo llega al final de un plano inclinado pero quiero hacerlo sin considerar la fuerza de atracción debido a la tierra constante debido a la altura.

Por esto la fuerza que actua en el cubo (no hay rozamiento) es $F=G \frac{mM}{(r+h)^2}$.

siendo m la masa del cubo, M de la tierra, r el radio de la Tierra y h la altura del plano inclinado.

En el sentido del descenso pues $F=G \frac{mM}{(r+h)^2} \sin \alpha$

Con esto y la segunda ley de Newton obtengo que $a=\frac{GM \sin \alpha}{(r+h)^2}$ donde se ve claramente que al no ser h constante pues la aceleración tampoco lo es.

Lo que me intriga es que no sé como usar esto para calcular la velocidad final, es decir, entiendo que no es válida la ecuación de cinemática $v_f^2=v_i^2+2a(x_f-x_i)$ puesto que a no es constante, siendo así, como calcularíais la velocidad con la que el cubo llega al final del plano?

Un saludo y muchas gracias de antemano!

[Juanma1976]

Re: Cubo que cae en un plano inclinado pero no consideramos g constante

duplicado

[Joey]

Re: Cubo que cae en un plano inclinado pero no consideramos g constante

Dado que $Ecf=\frac{1}{2}mv^2$ tenemos que $v^2=\frac{2GMh}{r(r+h)}$, que nos da la componente vertical de la velocidad, la cual no depende de la inclinación del plano.

Claro, que lo que buscabas era la componente de la velocidad en la dirección del plano inclinado...

Eso no es la componene vertical de la velocidad, es su módulo. Y toda ella lleva la dirección del plano.

En campo conservativo el trabajo no depende de la trayectoria, si no de la posición inicial y final. Ya sea caida libre, por un plano, o por una montaña rusa, si no hay rozamiento, la velocidad cuando llega a la superficie es la misma.

[Pinucset]

Re: Cubo que cae en un plano inclinado pero no consideramos g constante

Perfecto con energías, no sé por qué pero al pensar en energías me venía a la cabeza $U=mgh$ la cual ya considera g=cte ; pero poniendo la U genuína ya se calcula como yo lo quería.

Sin embargo, intentaré pedir a alguien que me ayude con la ecuación diferencial

[pod]

Re: Cubo que cae en un plano inclinado pero no consideramos g constante

Si lo que quieres es encontrar la velocidad en función de la altura, no del tiempo, lo que tienes que hacer es encontrar una ecuación diferencial donde la derivada sea $\dd v / \dd h$. ¿Cómo se hace? Pues gracias a la regla de la cadena,

$$a = \frac{\dd v}{\dd t} = \frac{\dd v}{\dd h} \frac{\dd h}{\dd t} = v\sin\alpha \frac{\dd v}{\dd h}\ .$$

Queda claro que cuando metas esto en la ley de Newton, el seno se cancelará y la velocidad dependerá sólo de la altura y no de la inclinación del plano. Ese es un resultado conocido, por energías sale lo mismo. Ahora, esta integral ya debería ser más sencilla. De hecho, sale lo siguiente,

$$m \int v \dd v = \int F \dd h \ .$$

Integrar el lado de la izquierda es fácil,

$$\frac12 m v^2 - \frac12 m v_0^2 = \int F \dd h \ .$$

¿Os suena? Sale que la variación de la energía cinética es igual a la integral de la fuerza... y la integral de una fuerza conservativa es lo que llamamos potencial. Al final en la Física todo acaba cuadrando, ¿eh?

[Pinucset]

Re: Cubo que cae en un plano inclinado pero no consideramos g constante

Buena pod, buena

[Juanma1976]

Re: Cubo que cae en un plano inclinado pero no consideramos g constante

Jeje! Fue un lapsus. Está claro que es el módulo de la velocidad. Pero, ¿por que dices que la dirección es la del plano?

Un saludo,

Eso no es la componene vertical de la velocidad, es su módulo. Y toda ella lleva la dirección del plano.

En campo conservativo el trabajo no depende de la trayectoria, si no de la posición inicial y final. Ya sea caida libre, por un plano, o por una montaña rusa, si no hay rozamiento, la velocidad cuando llega a la superficie es la misma.

[Joey]

Re: Cubo que cae en un plano inclinado pero no consideramos g constante

Jeje! Fue un lapsus. Está claro que es el módulo de la velocidad. Pero, ¿por que dices que la dirección es la del plano?

Un saludo,

Bueno si cae por el plano. ¿Hacia donde va a estar dirigida si no?

[Juanma1976]

Re: Cubo que cae en un plano inclinado pero no consideramos g constante

Para la resolución del problema, en ningún momento se ha hecho referencia a la trayectoria del objeto, el plano inclinado.

Anque la trayectoria del objeto sigue la dirección del plano inclinado, en cualquier momento, la velocidad del objeto tiene componente en cualquier dirección del plano real. Sólo preguntaba el porque tienes tan claro que el módulo de la velocidad que se calcula por conservación de la energía correponde al módulo de la componente de la velocidad en la dirección del plano inclinado y no en la dirección de la altura que es lo más intuitivo.

Bueno si cae por el plano. ¿Hacia donde va a estar dirigida si no?

[pod]

Re: Cubo que cae en un plano inclinado pero no consideramos g constante

Para la resolución del problema, en ningún
momento se ha hecho referencia a la trayectoria del objeto, el plano inclinado.

Anque la trayectoria del objeto sigue la dirección del plano inclinado, en cualquier momento, la velocidad del objeto tiene componente en cualquier dirección del plano real. Sólo preguntaba el porque tienes tan claro que el módulo de la velocidad que se calcula por conservación de la energía correponde al módulo de la componente de la velocidad en la dirección del plano inclinado y no en la dirección de la altura que es lo más intuitivo.

Todo esto lo podrías decir en cualquier plano inclinado, no es específico de éste con gravedad no constante.

La energía es un escalar, no un vector. Eso quiere decir que la energía no te dará ninguna información sobre la dirección del movimiento, sólo el módulo. Eso quiere decir que uno tiene que averiguar la dirección usando otros métodos. En este caso, el "método" es tener en cuenta que estamos en un plano inclinado, y nunca se separa de él, por lo que la velocidad tiene que ser paralela a él.

Si uno resuelve el problema por fuerzas, tener esas consideraciones (ligaduras) en cuenta no es necesario. Pero si se hace por energías sí.

[Juanma1976]

Re: Cubo que cae en un plano inclinado pero no consideramos g constante

Tienes razón. Curiosamente, este error no lo habría tenido en la secundaria . Lo siento si me he puesto un poco pesado.

Todo esto lo podrías decir en cualquier plano inclinado, no es específico de éste con gravedad no constante.

La energía es un escalar, no un vector. Eso quiere decir que la energía no te dará ninguna información sobre la dirección del movimiento, sólo el módulo. Eso quiere decir que uno tiene que averiguar la dirección usando otros métodos. En este caso, el "método" es tener en cuenta que estamos en un plano inclinado, y nunca se separa de él, por lo que la velocidad tiene que ser paralela a él.

Si uno resuelve el problema por fuerzas, tener esas consideraciones (ligaduras) en cuenta no es necesario. Pero si se hace por energías sí.